EL BILLAR NO ES PARA VAGOS

1. EL BILLAR NO ES PARA VAGOS Carlos Bosch Giral ITAM

2. ¿Qué es el billar? • Billar: del francés billard. Juego de destreza que se ejecuta con tacos, bolas de marfíl en una mesa rectangular forrada de paño, rodeada de barandas elásticas y con troneras o sin ellas.

3. Definición de Serge Tabachnikov • Una mesa de billar es una variedad Riemanniana M con frontera suave a pedazos. El sistema dinámico del billar en M está generado por el movimiento libre de un punto donde se acumula la masa (llamada bola) sujeta a la reflexión en la frontera. Esto quiere decir que un punto se mueve según una geodésica en M con velocidad constante hasta que golpea la frontera. En un punto suave de la frontera la bola se refleja de manera que la correspondiente tangencial de la velocidad sea la misma mientras que la normal cambia de signo.

4. Definición de Donald • Una mesa de billar es la unión de dos cuadrados donde el rebote de la bola es tal que el ángulo de entrada y el de salida son iguales.

5. 1800 juego de dos personas 1900 se admiten más de dos personas Tres juegos principales El billar con tres bolas La pirámide con 15 bolas rojas sin número El pool número variable usualmente 15 bolas con número, una bola sin número El pool adquiere el nombre de la forma de apostar

6. El billar es un juego antiguo • Shakespeare habla del billar en “Antonio y Cleopatra” 1607 • Llegó a Inglaterra a través de los caballeros que regresaban de las cruzadas. • La primera evidencia que se tiene del billar es en Francia siglo XV • Carlos IX de Francia y James I de Inglaterra en el siglo XVI tenian mesas de billar en sus palacios. • En América la primera mesa de billar apareció en Florida llevada por los españoles en 1565

7. Los números y los billares • Patente US 2,978,816 11 de abril de 1961 • Andrés Zavrotsky Universidad de los Andes Venezuela • Aparato óptico para calcular el máximo común divisor • Tomaremos mesas de distintos tamaños 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 45° 45° 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5

8. Máximo común divisor De 6 y 9 6= 2 X 3 9= 3 X 3 9 3 1 3 3 1 6 3 1 2 3 1 mcd (6,9)=3 De 342 y 243 342 171 57 19 1 2 3 3 19 1 243 81 27 9 3 1 3 3 3 3 3 1 9= 3 X 3 mcd (342,243)=9

9. H. Steinhaus probó que no importa cuales son las dimensiones de la mesa si una bola empieza en un vértice con un ángulo de 45° después de un número finito de rebotes llegará a alguno de los otros vértices.

10. P P A A A A Q Q N N M M Mesa de n por m, sean p y q tales que m/n =r/t con p/q irreducible así mt = nr.

11. Pregunta • ¿Qué vértice de los tres restantes es el que tocará la bola?

12. 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5802 4563 0 1 2 3 4 5

13. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 8 7 6 5 4 3 2 1 0 par impar 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 impar impar

14. 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 par 0 1 2 3 4 par

15. Máquina de Zavrotsky • Se envía un rayo de luz a 45° partiendo del origen, el rayo después de un número finito de “rebotes” llegará a uno de los vértices del rectángulo, entonces habrá sobre el lado más largo un punto iluminado A que es el más cercano al origen. • Calcular la distancia de OA Representa el doble del MÁXIMO COMUN DIVISOR

16. 6 3 0 A 5 0 A 8 6 0 0 A 9

17. P P A A A A Q Q N N 6 M M 0 A 8 2mcd(a,b)=min{d:d=2am+2an tal que m,n Z y d>0}

18. Capitán Mingaud.

19. Problemas de mínimos y máximos. Sea C una curva lisa y dos puntos fuera de ella. Queremos ir de un punto a la curva y luego de la curva al otro punto. De manera que el recorrido sea lo mas corto posible • Sean y dos puntos fijos.

20. Antecedentes (1) Si P y Q son los focos de una elipse, una bola que sale de un foco pasa siempre por el otro foco después de un rebote de tipo billar. (2) La longitud de cada una de esas trayectoria es la misma: d(X,P)+d(X,Q) = cste

21. Problemas de mínimos-máximos • d(P,Q) = distancia de P a Q • Si y son fijos, P está en C una curva lisa y L(P) = d( ,P) + d(P, ) ; L(P) alcanza un mínimo o un máximo en el punto de C entonces , , es una trayectoria de billar con rebote en C

22. Método de demostración: contradicción Supongamos que se tiene una trayectoria donde se alcanza el máximo o el mínimo PERO QUE NO ES UNA TRAYECTORÍA DE BILLAR

23. Consideremos la familia de elipses que tienen como focos a los puntos P1 y P2 • La elipse con esos focos y que pasa por P0 no comparte la tangente con la curva en el punto P ya que en ese caso la trayectoria sería de tipo billar • Pensemos en una vecindad del punto P0 suficientemente pequeña de modo que alrededor de ese punto todas las elipses interesectan “tranversalmente” a la curva. • Como d(P1 ,P0 ) + d(P2 ,P 0) es una constante, si no movemos sobre la curva tendremos hacia un lado un valor más pequeño y hacia el otro un valor mayor.

24. Consecuencias Así cualquier trayectoria que no es de tipo billar no es la más corta ni la más larga, por lo tanto si hay alguna “camino” en donde se alcanza el trayecto más largo o más corto entonces esa es de tipo billar.

26. Abstracción del problema C A

27. A B B C l ¿Cuál es el camino más corto? • El mínimo se alcanza cuando ACB sea un rebote de billar • Es decir, que si tomamos A’ el reflejado de A respecto a l y trazamos BA’ está la recta intersecta a l en el punto C y BCA será la trayectoria que buscamos (de tipo billar) l A A’

28. A Q B P R P Q A R B • ¿ QR lo más corto posible con Q en PA y R en PB? • QR debe ser una trayectoria de billar con rebotes en Q y R • Con las simetrías obtenemos los rebotes de billar

29. P tiene que ser un triángulo de billar en y • Dado un punto P en un lado de un triángulo encontrar un triángulo de perímetro mínimo cuyos vértices estén en los lados del triángulo y uno de ellos sea P Triángulo pedal = pies de las alturas

30. P

31. 3 (0,0) 5 llenar o vaciar recipiente grande llenar o vaciar recipiente pequeño mandar de un recipiente a otro

32. 3 5 3 (0,0) 5 5 0 2 3 2 0 0 2

33. 3 5 3 (0,0) 5 (1.3) 5 2 4 3 4 0 1 3

34. 3 5 3 (0,0) 5 0 3 3 0 3 3 5 1

35. Polígonos regulares y billares k cerrado, acotado, convexo int , frontera de k suave a pedazos bola de billar=punto en el interior de k Bola se mueve a velocidad constante en línea recta hasta que choca con un punto . Si P es regular (frontera suave) la bola de billar rebota en la dirección determinada por la reflexión sobre la única recta tangente en P. Si P no es regular la bola se “mueve”. La bola genera una trayectoria de tipo billar. Una trayectoria de tipo billar es periódica si regresa donde empezó.

36. 1 2 3 4 5 6 7 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Posición clave 4 Posición natural 4 Ángulo natural 3 Posición clave – ángulo natural = 4 – 3 =1

38. 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Posición clave 3.5 Ángulo natural 2 1 2 3 4 5 6 7

40. S R Q P O N M L T U V K J I A B C D E F G H 4 1 7 5 2 6 3

41. 10 6 S R P Q 4 1 7 5 2 6 3 ¿Cuántas veces rebota la bola antes de llegar al punto Q?

42. Polígonos regulares y billares • En los puntos “suaves” la bola rebota en la dirección determinada por la reflexión. • En los puntos no suaves la bola se mueve • La bola genera una trayectoria de tipo billar • Una trayectoria de tipo billar es periódica si regresa donde empezó

43. Cierto para cualquier polígono regular de n lados

44. Teorema • Un polígono convexo y cerrado P en el plano es regular si y sólo si P contiene una trayectoria periódica de tipo billar P’ semejante a P. • IDEA DEMOSTRACIÓN: • Fácil al tomar P´ el polígono formado por los puntos medios de P • P´una trayectoria periódica tipo billar vértice en P y semejante a P

45. Observaciones Cierto para cualquier polígono regular de n lados El recíproco también es cierto

46. ancho ancho ancho Figuras de ancho constante • Consideremos una figura convexa cerrada. En cada dirección la figura se encuentra limitada por dos rectas paralelas.

47. Hay una infinidad de figuras que tienen el mismo ancho en todas las direcciones Círculo Triángulo de Reuleaux

49. Teorema • Una curva suave es de ancho constante si y sólo si toda trayectoria de tipo billar que “rebota” hacia la derecha (izquierda) siempre sigue rebotando hacia la derecha (izquierda) • No hay trayectorias de tipo Sine R., Kreinovic V. Remarks on billiards Amer. Math Monthly 86, (1979), 204-206

50. P’ P Además por la semejanza de P y P’, y son una permutación una de la otra. Entonces