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Résistance des Matériaux. PARTIE II. Cours. Caractéristiques géométriques des sections planes. ENSA de TETOUAN. Introduction.

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  1. Résistance des Matériaux PARTIE II Cours Caractéristiques géométriques des sections planes ENSA de TETOUAN

  2. Introduction Ultérieurement, pour calculer les contraintes et les déformations des solides étudiés, nous aurons besoin de savoir déterminer un certain nombre de caractéristiques géométriques des sections planes : • Centre de gravité, • Moment statique, • Moments quadratiques ENSA de TETOUAN

  3. y G YG O x XG I. Centre de gravité Les coordonnées du centre de gravité G sont définies par : Soit une section plane d’aire S définie dans un repère orthonormé Oxy. Si la section S peut être décomposée en n sous-sections simples, d’aires connues Si et de centres de gravités connus (xGi et yGi) alors : ENSA de TETOUAN

  4. 10 mm 50 mm y 10 mm 50 mm G 20 O x xG I. Centre de gravité Exemple : 2 1 ENSA de TETOUAN

  5. y (S) dS Y O x X II. Moment statique Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment statique élémentaire par rapport à l’axe Ox est, par définition, la quantité : Ce qui donne pour l’ensemble de la section : De même : ENSA de TETOUAN

  6. II. Moment statique Remarques : • pour tout axe passant par le centre de gravité, le moment statique par rapport à cet axe est nul. • si la section S peut être décomposée en n sous-sections simples, d’aires connues Si et de c.d.g connus (xGi et yGi) alors : ENSA de TETOUAN

  7. y (S) dS Y O x X III. Moments quadratiques III.1 Moment quadratique par rapport à un axe Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment quadratique élémentaire par rapport à l’axe Ox est, par définition, la quantité : Ce qui donne pour l’ensemble de la section : De même : ENSA de TETOUAN

  8. III. Moments quadratiques Remarques : • Le moment quadratique est aussi appelé moment d’inertie de la section. • Il est toujours positif. ENSA de TETOUAN

  9. y y y’ dS G x y YG O x =S = moment statique/Gx = 0 III. Moments quadratiques III.2 Translation d’axes : Théorème de Huygens Soit un élément dS de S dans le repère Oxy, et soit le repère Gxy qui passe par le centre de gravité G de S et dont les axes sont parallèles à Ox et Oy. Soit : Ce qui donne : Finalement, on obtient : De même : ENSA de TETOUAN

  10. III. Moments quadratiques Théorème : Le moment quadratique par rapport à un axe est égal au moment quadratique par rapport à un axe parallèle passant par le centre de gravité, augmenté du produit de la surface par le carré de la distance entre les deux axes. Calcul pratique : Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de moments quadratiques connus IOxi et IOyi, alors: ENSA de TETOUAN

  11. III. Moments quadratiques Remarque : Généralement, pour le calcul des contraintes et des déformations, nous avons besoin de connaître le moment quadratique de la section par rapport à son centre de gravité. Donc si la section peut être décomposée en n sous-sections Si de centre de gravité Gi et de moment quadratique IGix ou IGiy connus: ENSA de TETOUAN

  12. III. Moments quadratiques III.3 Moment quadratique par rapport à un couple d’axe Ce moment quadratique est aussi appelé moment produit. Pour un élément dS, le moment produit élémentaire par rapport aux axes Ox et Oy est par définition la quantité: Ce qui donne pour l’ensemble de la section: Théorème de Huygens: Remarques: • Le moment produit est une grandeur algébrique • Si un des deux axes est un axe de symétrie pour la section alors IOxy=0 ENSA de TETOUAN

  13. III. Moments quadratiques Calculs pratiques : • Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de moments produits connus IOxyi, alors: • Si on cherche le moment produit d’une section par rapport à son centre de gravité et que celle-ci peut être décomposée en n sous-sections de c.d.g. Gi connus et de moments produits par rapport à leur c.d.g. connus IGixy, alors: ENSA de TETOUAN

  14. y (S) dS Y O x r X III. Moments quadratiques III.3 Moment quadratique par rapport à un point Ce moment quadratique est aussi appelé moment quadratique (ou d’inertie) polaire. Pour un élément dS, à une distance r de O,le moment quadratique polaire élémentaire par rapport à ce point est par définition la quantité: Ce qui donne pour l’ensemble de la section: Remarque: on peut écrire soit: Finalement, on obtient: ENSA de TETOUAN

  15. y y XG G x YG O x III. Moments quadratiques III.3 Moment quadratique par rapport à un point Changement d’origine (Théorème de Huygens) Soit: ou: Finalement, on obtient: ENSA de TETOUAN

  16. III. Moments quadratiques III.3 Remarques pratiques concernant le calcul des moments quadratiques Les moments quadratiques s’ajoutent et se retranchent. Cette propriété permet une détermination aisée dans le cas de surfaces composées d’éléments simples. 1 1 1 2 2 2 [1]+[2] [1]+[2] [1]-[2] ENSA de TETOUAN

  17. y q (S) Y dS y X Y X q x O x III. Moments quadratiques III.4 Moments quadratiques d’axes concourants III.4.1 Rotations d’axes Soit la section plane S, et deux systèmes d’axes Oxy et OXY obtenu par une rotation d’angle q. Les relations liant les coordonnées dans les deux repères sont: Calculons le moment quadratique / OX : ENSA de TETOUAN

  18. III. Moments quadratiques III.4.1 Rotations d’axes Ce qui nous donne : En passant à l’angle double : On obtient : ENSA de TETOUAN

  19. III. Moments quadratiques De même, pour le moment quadratique / OY, on obtient : III.4.1 Rotations d’axes Calcul du moment produit : Soit : ENSA de TETOUAN

  20. III. Moments quadratiques Il s’agit des directions donnant les moments quadratiques extrêmes (maximal et minimal). Pour les trouver , dérivons IOX et IOY / q et annulons ces dérivées: III.4.2 Recherche des directions principales Ces deux expressions s’annulent pour : ENSA de TETOUAN

  21. (A) y q2 Y q1 X x O III. Moments quadratiques Cette expression nous donne deux directions conjuguées définies par les angles: III.4.2 Recherche des directions principales Les directions ainsi déterminées s’appellent les directions principales (ou axes principaux), elles sont orthogonales et définies par la relation: Remarques: • Pour les directions principales, IOXY est nul. • Tout axe de symétrie, est axe principal d’inertie. • Tout axe perpendiculaire à un axe de symétrie est également axe principal d’inertie. ENSA de TETOUAN

  22. III. Moments quadratiques Pour connaître les expressions des moments quadratiques principaux (Imaxi et Imini), il suffit de remplacer, dans les formules donnant IOX, IOY et IOXY, la valeur de q par les solutions de l’équation: III.4.3 Expression des moments quadratiques principaux On obtient ainsi: ENSA de TETOUAN

  23. III. Moments quadratiques Reprenons les expressions donnant IOX et IOXY III.4.4 Représentation graphique – Cercle de Mohr Effectuons la somme des carrés, on obtient: Ce qui correspond à l’équation d’un cercle de centre C et de rayon R ENSA de TETOUAN

  24. Icouples d’axes IOxy Imini IOy IOx Imaxi O C -2q1 Iaxes -IOxy III. Moments quadratiques III.4.4 Représentation graphique – Cercle de Mohr ENSA de TETOUAN

  25. Fin

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