Problemas y Preguntas

1. Problemas y Preguntas

2. Ejemplo 1

3. ¿Cuál es el período del péndulo? • El período medido de un péndulo es de 3.0s en el marco en reposo del péndulo.

4. ¿ Cuál es el período cuando se mide por un observador que se mueve a una velocidad de 0.95c respecto del péndulo?

5. Solución • Si en lugar del observador moviéndose a 0.95c, consideramos que el observador esta en reposo y que es el péndulo el que se mueve a 0.95c pasando por el lado del observador estacionario. De la ecuación T = γ T1

6. Fórmula

7. Esto demuestra que un péndulo en movimiento se tarda más para completar un período comparado con un péndulo en reposo.

8. Ejemplo 2

9. Repaso de la simultaneidad y de la dilatación del tiempo • Emplee las ecuaciones de transformación de Lorentz en forma de diferencia para mostrar que: • La simultaneidad no es un concepto absoluto.

10. Solución • a) Suponga que dos eventos son simultáneos de acuerdo con un observador en movimiento en O1, por lo que ∆t1 = 0. De las expresiones para ∆t dadas en la ecuación ∆t = γ (∆t1 + v ∆x1), c2 vemos que en este caso ∆t = γ (o + v ∆x1) ≠ 0. c2 • Es decir, el intérvalo de tiempo para los mismos dos eventos según mide un observador en O no es cero, y por ello, no parecen ser simultáneos en O.

11. b) Los relojes en movimiento funcionan más lentamente que los relojes estacionarios. • Suponga que un observador en O1 encuentra que los dos eventos ocurren en el mismo lugar (∆x1 = 0), pero en tiempos diferentes (∆t1 ≠ 0). En este caso, la expresión para ∆t dada en la ecuación ∆t = γ (∆t1 + v ∆x1), se c2 convierte en ∆t = y∆t1. • Esta es laecuación para la dilatación del tiempo es el tiempo propio medido por un solo reloj localizado en O1.

12. Ejemplo 3

13. Velocidad relativa de naves espaciales • Dos naves espaciales A y B se mueven en direcciones opuestas como se muestra en la figura 1. • Un observador en la Tierra mide 0.75c como la velocidad de A, y 0.85c como la velocidad de B.

14. Determine la velocidad de B respecto a A. Figura 1

15. Solución: • Este problema puede resolverse considerando el marco S1 como si estuviera unido a A, de modo que v = 0.75c relativa al observador en la Tierra (el marco S). La nave espacial B puede considerarse como un objeto que se mueve con una velocidad ux = -0.85c relativa al observador terrestre.

16. Por lo tanto, la velocidad de B respecto de A pude obtenerse empleando la ecuación 39.14: u1x = ux – v = . -0.85c – 0.75c = -0.980c 1 – ux v 1 - -0.85c – 0.75c c2 c2

17. El signo negativo indica que la nave espacial B se mueve en la dirección negativa x según se observa en A. Observe que el resultado es menor que c. Esto significa que un cuerpo cuya velocidad es menor que c en un marco de referencia debe tener una velocidad menor que c en otro marco.

18. (Si la transformación de velocidades galileana se utilizara en este ejemplo, encontraríamos que u1x = ux – v= -0.85c – 0.75c = -1.60c, lo cual es mayor que c. La transformación galileana no funciona en situaciones relativistas.)

19. Ejemplo 4

20. El Motociclista veloz • Imagine un motociclista que se mueve con una velocidad de 0.80c y que pasa al lado de un observador estacionario, como se muestra en la figura 2. • Si el motociclista lanza una pelota hacia delante con la velocidad de 0.70c relativa a sí mismo.

21. Figura 2

22. a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota según el observador estacionario? b) Suponga que el motociclista activa un haz de luz que se aleja de él hacia delante con una velocidad c. ¿Cuál es la velocidad de la luz para el observador estacionario?

23. Solución: • a) En esta situación, la velocidad del motociclista respecto del observador estacionario es v = 0.80c. La velocidad de la pelota en el marco de referencia del motociclista es 0.70c. Por tanto, la velocidad, ux, de la pelota relativa al observador estacionario es:

24. ux = . ux1 + v . = . 0.70c + 0.80c . = 0.96c 1 + u1x v 1 + (0.70c) (0.80c) c2 c2

25. Ejemplo 5 Mensajeros relativistas

26. Dos motociclistas mensajeros llamados David y Emilio corren velocidades relativas a lo largo de trayectorias perpendiculares, como en la figura 3.

27. A) ¿Qué tan rápido se aleja Emilio del hombro derecho de David según éste último? B) ¿Calcule la velocidad de retroceso clásica para Emilio según lo observa David empleando una transformación galileana?

28. Solución (a ) La figura 2 representa la situación de acuerdo con un policía que se encuentra en reposo en el marco S, quien observa lo siguiente: David: ux = 0.75 c uy = 0 Emilio: ux = 0 uy = - 0.90c

29. Para obtener la velocidad de alejamiento de Emilio según David, consideramos S1 como si se moviera junto con David y calculamos u1x y u1y, para Emilio empleando las ecuaciones. u1x = . ux - v . = . 0 - 0.75c= - 0.75c 1 – ux v 1 - (0) (0.75c) c2 c2

30. Solución (b)

31. De este modo la velocidad de Emilio según lo observa David es:

32. Lo que está en desacuerdo con la teoría de la relatividad, viola el postulado de que c es igual en cualquier marco de referencia.

33. Ejemplo 6 • La energía de un electrón rápido

34. Un electrón se mueve con una velocidad u = 0.850c. • Encuentre su energía total y su energía cinética en electrón volts. 

35. Solución:

36. Solución (b): KE = ET – m0 c2 = (0.970 - 0.511) MeV = 0.459 MeV

37. Ejemplo 7 • La energía de un protón rápido

38. La energía total de un protón es tres veces su energía en reposo. • Encuentre la energía en reposo del protón en electrón vols. • ¿Con qué velocidad se mueve el protón? b) Determine la energía cinética del protón en electrón volts. • ¿Cuál es el momento del protón?

39. Solución (a): Energía en reposo = m0 c2 = (1.67 x 10-27 Kg.) (3.00 x 108 m / s2) 2 = (1.50 x 10-10 J) (1.00 eV / 1.60 x 10-19 J) = 938 MeV

40. b) Puesto que la energía total E es tres veces la energía en reposo, E = γ mc2 produce:

41. Solución (c ) c)K = E - mc2 = 3 mc2 – m0c2 = 2 mc2 Puesto que mc2 = 938 MeV K = 1 876 MeV

42. Podemos usar la ecuación E2 = p2 c2 + (m0c2) 2para calcular el momento con E - 3 mc2. NOTA: Por conveniente la unidad de momento se escribe MeV c

43. Ejemplo 8 Momento de un electrón

44. Un electrón que tiene una masa de 9.11 x 10-31 kg se mueve con una velocidad de 0.75c. • Encuentre su momento relativista y compárelo con el cálculo a partir de la expresión clásica.

46. La contracción de una nave espacial Ejemplo 9

47. Se mide una nave espacial y se encuentra que tiene 120m de largo mientras esta en reposo respecto a un observador. • Si esta nave espacial después es tripulada por el observador viaja a 0.95c. • ¿Qué longitud mide el observador en reposo?

48. Solución (a):

49. Solución (b): • Respuesta L = 119. 40 m • Demuestre que la respuesta es correcta.

50. PREGUNTAS