Procesamiento Digital de Señales

1. Tema 3: La Transformada Z Procesamiento Digital de Señales Ing. Jorge Enrique Montealegre jorge.montealegre@unad.edu.co

2. La Transformada Z Definición de la Transformada Z Propiedades de la Transformada Z La Transformada Z inversa Sistemas LTI y dominio Z Estructuras para la realización de sistemas discretos

3. 1. Definición de la Transformada Z. La Transformada Z directa. La transformada Z de una señal discreta x(n) está definida como una serie de potencias Donde z es una variable compleja. La transformada es llamada directa por transformar una señal del dominio del tiempo x(n) al plano complejo X(z). El proceso inverso es llamado transformada inversa Z.

4. Al ser la transformada Z una serie infinita de potencias, existe solo para valores de z donde la serie converge. La región de convergencia (ROC) de X(z) es el conjunto de valores de z para el cual X(z) alcanza valores finitos. Ejemplos: x1(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1} X1(z) = 1 + 2z-1 + 5z-2 + 7z-3 + z-5 x2(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1} X2(z) = z2 + 2z + 5 +7z-1 + z-3 x3(n) = {0, 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1} X3(z) = z-2 + 2z-3 + 5z-4 + 7z-5 + z-7 x4(n) = {2, 4, 5, 7, 0, 1} X4(z) = 2z2 + 4z +5 +7z-1+z-3 x5(n) = δ(n) X5(z) = 1 x6(n) = δ(n - k), k > 0 X6(z) = z-k, k > 0 x7(n) = δ(n + k), k > 0 X7(z) = zk, k > 0 ¿Cuál es la ROC en cada caso?

5. La ROC de señales de duración finita es todo el plano Z salvo en ocasiones z = {0, ∞}. • Estos puntos quedan excluidos pues zk (k > 0) no está acotada para ∞ y z-k (k > 0) para 0. • La transformada Z es una forma alternativa de representar una señal. • El exponente de z tiene la información necesaria para identificar las muestras de la señal. • La suma finita o infinita de la transformada Z puede expresarse en forma compacta.

6. Determina la transformada Z de la señal x(n) = ½n u(n).

7. Expresemos la variable compleja z en forma polar z = rejθ donde r = |z| y θ= ∟z. La transformada Z puede expresarse entonces como En la ROC de X(z), |X(z)| < ∞. Pero Entonces |X(z)| es finita si x(n)r-n es en absoluto sumable.

8. La ROC de X(z) se determina con el rango de valores der donde la secuencia x(n)r-n es en absoluto sumable. • Si X(z) converge en alguna región del plano complejo, entonces los dos sumandos son finitos en esa región. • Si converge el primer sumando, los valores de r son lo suficientemente pequeños para que la secuencia x(-n)rn,1 ≤ n < ∞, sea en absoluto sumable y la ROC correspondiente es una circunferencia de radio r1 < ∞. • Si converge el segundo sumando, los valores de r son lo suficientemente grandes para que x(n)/rn, 1 ≤ n < ∞, sea en absoluto sumable y la ROC son todos los puntos fuera de una circunferencia de radio r < r2.

9. Im(z) Plano z r1 r2 Re(z) Región deconvergenciade |X(z)|r2 < r < r1 Im(z) La convergencia de X(z) exige que los sumandos sean finitos. Entonces la ROC de X(z) es la región anular del plano z: r2 < r < r1, que es la zona donde las sumas son finitas. Plano z r1 Re(z) Región deconvergencia Im(z) Plano z r2 Re(z) Si r2 > r1 no existe región de convergencia común y X(z)no existe. Región deconvergencia

10. Determina la transformada Z de la señal x(n) = αn u(n). Determina la transformada Z de la señal x(n) = - αn u(-n-1). Determina la transformada Z de la señal x(n) = αn u(n) + bn u(-n-1).

11. Una señal discreta x(n) queda unívocamente determinada por su transformada z, X(z), y la región de convergencia de X(z). La ROC de una señal anticausal es el interior de una circunferencia de radio r1 mientras que la ROC de una señal causal es el exterior de un círculo de radio r2. La ROC para una señal que se extiende hasta el infinito por los dos lados es un anillo (región anular) en el plano z. Transformada Z unilateral:

12. r1 r2 r2 r1 Señales de duración finita Plano z excepto z = 0 Causal Plano z excepto z = ∞ Anticausal Plano z excepto z = ∞ y z = 0 Bilateral Señales de duración infinita |z| > r2 Causal … Anticausal … |z| < r1 Bilateral … … r2 < |z| < r1

13. La Transformada Z inversa. El procedimiento para transformar una señal del dominio z al dominio del tiempo se denomina transformada Z inversa. Se emplea el teorema integral de Cauchy. Tenemos: Multiplicamos por zn-1 e integramos sobre un contorno cerrado C en el interior de la ROC y que contiene al origen. Al converger la serie en los puntos de C podemos tener

14. La integral de Cauchy dice: Aplicando esta integral tenemos finalmente: Im(z) Plano z C r1 r2 Re(z) Contorno C para la integral

15. 2. Propiedades de la Transformada Z. Linealidad. Si Entonces Determina la transformada Z y la ROC de la señal x(n) = [3(2n) – 4(3n)]u(n). Determina la transformada Z de las señales x(n) = (cos ωn )u(n) y x(n) = (sen ωn)u(n).

16. Determina la transformada Z de la señal: Desplazamiento en el tiempo. Si Entonces La ROC de z-kX(z) es la misma que la de X(z) salvo para z = 0 si k > 0 y z = ∞ si k < 0. Determina las transformadas Z de las señales x1(n) = {0, 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1} yx2(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1} a partir de la TZ de x0(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}.

17. Escalado en el dominio z. Si Entonces Para cualquier constante a real o compleja. Determina la TZ de las señales x(n) = an(cos ωn )u(n) y x(n) = an(sen ωn)u(n).

18. Inversión temporal. Si Entonces Determina la TZ de la señal x(n) = u(-n)

19. Diferenciación en el dominio z. Si Entonces Determina la señal x(n) si X(z) = log(1 + az-1) con |z| > |a|. Determina la TZ de la señal x(n) = nanu(n).

20. Convolución de dos secuencias. Si Entonces La ROC de X(z) es, cuando menos, la intersección de las de X1(z) y X2(z) Determina la convolución de x1(n) = {1, -2, 1} y x2(n) = {1, 1, 1, 1, 1, 1}.

21. El cáculo de la convolución de dos señales empleando la transformada z exige los siguientes pasos: • Calcular las transformadas z de la señales a convolucionar • X1(z) = Z{x1(n)}X2(z) = Z{x2(n)} • (Dominio del tiempo Dominio z) • Multiplicar las dos transformadas zX(z) = X1(z) X2(z) (Dominio z) • Encontrar la transformada z inversa de X(z) • x(n) = Z-1{X(z)} • (Dominio z Dominio del tiempo)

22. Correlación de dos secuencias. Si Entonces La ROC de Rx1x2(z) es, como mínimo, la intersección de las de X1(z) y X2(z-1). Multiplicación de dos secuencias. Si Entonces C es un contorno cerrado que encierra al origen y se halla en la región de convergencia común a X1(v) y X2(1/v).

23. Relación de Parseval. Si x1(n) y x2(n) son dos secuencias complejas, entonces Siempre que r1lr2l < 1 < r1ur2u, donde r1l < |z| < r1u, y r2l < |z| < r2u, son las ROC de X1(z) y X2(z). El teorema del valor inicial. Si x(n) es causal, es decir, x(n)= 0 para n < 0, entonces

24. Transformadas Z racionales. Polos y ceros. Los ceros de la transformada z son los valores para los cuales X(z) = 0. Los polos de la transformada z son los valores para los cuales X(z) = ∞. Si X(z) es una función racional entonces,

25. Si a0 ≠ 0 y b0 ≠ 0, se pueden evitar las potencias negativas de z sacando factores comunes: Al ser N(z) y D(z) polinomios de z entonces: Donde G ≡ b0/a0.

26. X(z) tiene M ceros en z = z1, z2,…,zM, N polos en z = p1, p2,…,pN y |N - M| ceros (si N > M) o polos (si N < M) en el origen z = 0. • Puede haber polos o ceros en z = ∞: • Existe un cero en z = ∞ si X(∞) = 0 • Existe un polo en z = ∞ si X(∞) = ∞ • Si contamos los polos y ceros, incluyendo los que están en z = 0 y z = ∞, veremos que X(z) tiene exactamente el mismo número de ceros y polos. • X(z) puede representarse gráficamente con el diagrama de polos (×) y ceros (○) en el plano complejo. • Por definición, la ROC de una transformada z no puede contener ningún polo.

27. Algunos pares de transformada Z.

28. Determina el diagrama de polos y ceros de x(n) = anu(n) y para a > 0

29. Localización de polos y comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales. Existe una relación entre la localización de un par de polos en el plano z y la forma de la señal en el dominio del tiempo. El comportamiento de la señales causales depende de si los polos se hallan en la región |z| < 1, en |z| > 1, o sobre la circunferencia unidad|z| = 1. Si la TZ de una señal real tiene un solo polo, este debe ser real. La única señal así es la exponencial real: Que tiene un cero z1 = 0 y un polo p1 = a sobre el eje real.

30. Plano z Plano z Plano z Plano z Plano z Plano z 0 0 0 0 0 0 x x 1 1 1 1 1 1 x x x x ¿Cómo es la señal con respecto a la localización del polo? … … … … … …

31. Plano z Plano z Plano z Plano z Plano z Plano z 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Una señal causal con doble polo es de la forma: m=2 x x … … m=2 m=2 m=2 … x x … … m=2 … m=2 x x

32. Plano z Plano z Plano z 0 0 0 1 1 1 Par de polos conjugados rn x r … ω x r = 1 x … r ω x rn … x r ω x

33. Plano z 0 1 Doble par de polos conjugados sobre la circunferencia m=2 x r … ω x m=2

34. Función de transferencia de un sistema LTI. La propiedad de convolución nos permite expresar: Y(z) = H(z)X(z); H(z) = Y(z)/X(z) Como H(z)caracteriza al sistema en el plano z. H(z) y h(n) son descripciones equivalentes del sistema. H(z) se denomina función de transferencia del sistema. Si describimos al sistema mediante edcc: entonces

35. El sistema LTI descrito por una edcc tiene una función de transferencia racional. Si ak = 0 para 1 ≤ k ≤ N tenemos En este caso H(z) tiene M ceros, determinados por {bk} y un polo de orden M en z = 0. Este sistema se denomina sistema de todo ceros, o sistema FIR o sistema MA (media móvil).

36. Si bk = 0 para 1 ≤ k ≤ M tenemos En este caso H(z) tiene N polos, determinados por {ak} y un cero de orden N en z = 0. Este sistema se llama sistema de todo polos, o sistema IIR. La forma general se denomina sistema de polos y ceros con N polos y M ceros. Los polos y/o ceros en z = 0 y z = ∞ no se cuentan explícitamente. Es un sistema IIR. a0 ≡ 1

37. Determina la función de transferencia y la respuesta al impulso del sistema descrito por y(n) = ½y(n-1) + 2x(n) . Determina la función de transferencia y respuesta al escalón de y(n-1)=¼y(n-2)+x(n)

38. 3. La Transformada Z inversa (TZI). La transformada Z inversa está dada por una integral de contorno sobre el camino cerrado C que encierra al origen y se halla en la ROC de X(z). Por simplicidad C puede ser una circunferencia dentro de la ROC de X(z) en el plano z. Existen tres métodos empleados su cálculo: 1. Cálculo directo, mediante la integración del contorno. 2. Expansión en serie de términos en z y z-1 3. Expansión de fracciones simples y búsqueda en tabla.

39. TZI por integración. Teorema del residuo de Cauchy. Sea f(z) una función de variable compleja z y C un contorno en el plano z. Si la derivada df(z)/dz existe dentro y sobre C, y si f(z) no tiene polos en z = z0, entonces: De forma general, si existe la derivada de orden (k + 1) de f(z) y ésta no tiene polos en z = z0, entonces

40. Si suponemos que el integrando de la integral de contorno es P(z) = f(z)/g(z), donde f(z) no tiene polos dentro del contorno C y g(z) es un polinomio con raices distintas z1, z2, …, zn dentro de C. Entonces, donde

41. Los valores {Ai(zi)} son los residuos de los correspondientes polos en z = zi, i = 1, 2, …, n. Por eso la integral es igual a la suma de los residuos de todos los polos dentro de C. Para el caso de la transformada Z inversa tenemos: siempre que los polos {zi}sean simples. Si X(z)zn-1 no tiene polos dentro del contorno C para uno o más valores de n, entonces x(n)=0 para esos valores.

42. TZI por expansión en serie de potencias. Dada X(z) con su ROC, la podemos expandir como: la cual cual converge en la ROC dada. Entonces, x(n) = cn para toda n. Si X(z) es racional, la expansión se puede realizar a través de la división.

43. Determina la transformada Z inversa de Cuando ROC: |z| > 1 y |z| < 0.5

44. TZI por expansión de fracciones simples. Tratamos de expresar X(z) como una combinación lineal: X(z) = α1X1(z) + α2X2(z) + … + αKXK(z) donde X1,…, XK(z) son expresiones con TZI x1(n),…,xK(n) disponibles en tablas. Si la descomposición es posible, tendremos: x(n) = α1x1(n) + α2x2(n) + … + αKxK(n) El método es útil si X(z) es racional. Sin pérdida de generalidad, suponemos a0 = 1, entonces si a0 ≠ 1, dividimos entre a0.

45. La función es propiasi aN ≠ 0 y M < N. Una función racionalimpropia (M ≥ N) es la suma de un polinomio y una función racional propia, y en general puede expresarse como:

46. Expresa la transformada racional impropiaen términos de un polinomio y una funciónpropia.

47. Primer paso: Sea X(z) una función racional propia, esto es: con aN ≠ 0 y M < N. Eliminamos las potencias negativas multiplicando por zN: Como N > M, entonces es siempre propia.

48. El objetivo es obtener una suma de fracciones simples. Para eso, factorizamos el polinomio denominador en factores que contengan los polos p1, p2, …, pN de X(z). Tenemos dos casos: polos diferentes y de orden múltiple. Polos diferentes. Suponemos a los polos p1, p2, …, pN todos diferentes. Buscamos la expansión de la forma: Debemos determinar A1, A2, ..., AN.

49. Podemos obtener los coeficientes A1, A2, …, AN si multiplicamos por los términos (z - pk), k = 1, 2, …, N, y calculamos las expresiones resultantes en las posiciones de los polos p1, p2, …, pN. Así tenemos: Entonces, si z = pk, obtenemos los k-ésimos coeficientes Este proceso es aplicable tanto a polos reales como complejos que sean distintos. Los polos conjugados complejos producen coeficientes de la expansión en fracciones simples que son conjugados complejos.

50. Polos de orden múltiple. Si X(z) tiene un polo de multiplicidad l, esto es, aparece en el denominador un factor de la forma (z-pk)l, entonces la expansión ha de tener los términos: Los coeficientes {Ak} se obtienen de derivaciones sucesivas.