Procesamiento Digital de Señales

1. Tema 4: Análisis de señales y de sistemas discretos en el dominio de la frecuencia Procesamiento Digital de Señales Ing. Jorge Enrique Montealegre jorge.montealegre@unad.edu.co

2. Análisis de señales y de sistemas discretos en el dominio de la frecuencia Introducción La transformada discreta de Fourier. La transformada rápida de Fourier

3. 1. Introducción Representación de señales periódicas (SDF). Sea x(n) una señal periódica de periodo N, tal que x(n) = x(n + N) para toda n. Esta señal se puede representar mediante un desarrollo de series de Fourier: donde k es un entero y {ck} son los coeficientes de la representación. A causa de la periodicidad tenemos Solo bastan N exponenciales complejas periódicas para la representación de x(n) en series de Fourier.

4. Empleando propiedades de ortogonalidad y manipulación matemática podemos obtener los coeficientes de la serie de Fourier a partir de x(n): Donde la secuenciack es periódica con periodo N, esto es, ck = ck+N. Entonces, el espectro de una señal x(n) periódica con periodo N, es también una secuencia periódica de periodo N.

5. Determinar el espectro de:

6. Propiedades del desarrollo en SFD. Linealidad. Dadas dos señales periódicas x1(n) y x2(n), ambas con periodo N, tales que Entonces Desplazamiento de una señal. Si una señal periódica x(n), tiene como coeficientes de Fourierck, entonces x(n - m) es una versión desplazada de x(n) y

7. Convolución periódica. Sean x1(n) y x2(n) dos secuencias periódicas, ambas con periodo N, y cuyos coeficientes de su desarrollo en serie de Fourier sonc1k y c2k respectivamente. Si tenemos Entonces la convolución de estas secuencias es: En resumen Por dualidad

8. Dualidad. Si entonces

9. Transformada de Fourier de señales aperiódicas en tiempo discreto. La TF de una señal de energía finita x(n) (aperiódica) en el tiempo discreto se define como X(ω) es una descomposición de x(n) en sus componentes de frecuencia. Donde, X(ω) es periódica con periodo 2π, esto es Finalmente, la transformada inversa es:

10. 1. La transformada discreta de Fourier Muestreo en el dominio de la frecuencia y reconstruccion de señales en tiempo discreto. Consideremos una señal aperiódica en tiempo discreto x(n), con transformada de Fourier Ahora, muestreamos X(ω) periódicamente a una tasa de δω = 2π/N radianes. Si ω= 2πk/N entonces cada muestra de X(ω) es k = 0, 1, …, N - 1

11. X(kδω)

12. Reacomodando tenemos que cada muestra es: para k = 0, 1, …, N-1. La señal obtenida repitiendo x(n) cada N muestras, es periódica con periodo fundamental N, y puede desarrollarse en serie de Fourier como Cuyos coeficientes de Fourier son: periódica

13. Entonces tenemos que Por lo tanto la señal periódica xp(n) puede obtenerse a partir de las muestras de X(ω) x(n) puede recuperarse a partir de xp(n) si no existe aliasing en el dominio del tiempo, es decir, si x(n) no está limitada en tiempo a una duración menor que el periodo N de xp(n).

15. Dado que x(n) = xp(n) para 0 ≤ n ≤ N – 1 tenemos que la señal original x(n) obtenida de las muestras de X(ω) es Ahora bien Y si definimos Función de interpolación

16. La transformada de Fourier obtenida a partir de sus muestras estará dada por Donde no se presente aliasing. P(ω) tiene la propiedad En consecuencia, obtendremos exactamente los valores de las muestras X(2πk/N) para ω = 2πk/N.

17. Consideremos la señal x(n) = anu(n) con 0 < a < 1. Su espectro se muestreaa ωk = 2πk/Ncon k = 0, 1, …, N-1. Determinar el espectro reconstruido paraa = 0.8 cuando N = 5 y N = 50

18. La Transformada de Fourier Discreta (DFT). Recordemos que una señal periódica es: Considerando solo las L muestras de esta señal tenemos Cuando se muestrea X(ω) a una tasa de 2πk/N podemos decir que

19. Finalmente, las fórmulas de la DFT e IDFT de x(n) son:

20. La DFT como una transformación lineal Las fórmulas para la DFT e IDFT de x(n) se pueden expresar como: donde:

21. Si definimos las señales como vectores:

22. Podemos expresar de forma matricial la DFT Donde WN es la matriz de transformación lineal. La IDFT se expresa como o bien Donde

23. Calcula la DFT de la secuencia de cuatro puntos x(n) = {0 1 2 3}

24. Propiedades de la DFT La DFT es un conjunto de Nmuestras {X(k)} de la TF X(ω) de una señal finita {x(n)} de longitud L ≤ N. El muestreo de X(ω) se presenta en N frecuencias igualmente espaciadas ωk = 2πk/N, k = 0, 1, 2, .., N-1. Las N muestras {X(k)} representan a la secuencia {x(n)} en el dominio de la frecuencia. Las DFT e IDFT de una secuencia {x(n)} de N puntos son:

25. Periodicidad Si x(n) y X(k) son un par de la DFT de N puntos, entonces x(n + N) = x(n) para toda n X(k + N) = X(k) para toda k Linealidad. Si entonces para cualquier par de constantes a1 y a2, reales o complejas, se cumple

26. Simetría circular de una secuencia. La DFT de N puntos de la señal x(n) con longitud L ≤ N equivale a la DFT de N puntos de la secuencia periódica xp(n) de periódo N, la cual se obtiene extendiendo x(n) periódicamente así Si desplazamos xp(n) en k unidades a la derecha tenemos y además vemos que se relaciona con la secuencia original x(n) por medio de un desplazamiento circular.

27. En general, el desplazamiento circular de una secuencia se puede representar como el índice de módulo N. Ejemplo, con k = 2 y N = 4, tenemos Lo cual implica que x’(n) es x(n) desplazada circularmente dos unidades de tiempo en el sentido opuesto a las manecillas del reloj.

28. x(n) x(1) = 2 n 0 1 2 3 x(0) = 1 x(2) = 3 x(n) xp(n) n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x(3) = 4 xp(n-2) x’(1) = 4 n -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x’(0) = 3 x’(2) = 1 x(n) x’(n) n x´(3) = 2 0 1 2 3

29. Una secuencia de N puntos es circularmente par si es simétrica respecto al punto cero en el círculo. Esto implica que Una secuencia de N puntos es circularmente impar si es antisimétrica respecto al punto cero en el círculo. Esto implica que El tiempo inverso de una secuencia de N puntos se obtiene invirtiendo sus muestras alrededor del punto cero en el círculo. Así, la secuencia x((-n))N esta dada por que equivale a dibujar x(n) en el sentido de las manecillas del reloj en un círculo.

30. Propiedades de simetría de la DFT. Asumimos que la secuencia de N puntos x(n) y su DFT son complejas, pudiéndose expresar como: Sustituyendo en la expresión de la DFT

31. De manera similar, para la IDFT tenemos: Secuencias reales. Si x(n) es real, tenemos que En consecuencia

32. Secuencias reales y pares. Si x(n) es real y par, esto es, Entonces XI(k) = 0 y la DFT se reduce a y la IDFT a

33. Secuencias reales e impares. Si x(n) es real e impar, esto es, Entonces XR(k) = 0 y la DFT se reduce a y la IDFT a

34. Secuencias puramente imaginarias. En este caso x(n) = jxI(n) y en consecuencia, donde XR(k) es impar y XI(k) es par. Si xI(n) es impar, XI(k) = 0 y por lo tanto X(k) es puramente real. Si xI(n) es par, XR(k) = 0 y por lo tanto X(k) es puramente imaginaria.

35. En resumen

36. Multiplicación de DFTs y convolución circular. Tenemos dos señales de longitud N,x1(n) y x2(n) con sus respectivas DFT de N puntos. Si las multiplicamos tenemos que corresponde a una secuencia x3(n) de longitud N.

37. La IDTF de {X3(n)} es Sustituyendo, manipulando matemáticamente y aplicando convergencias geométricas llegamos a: que tiene la forma de una suma de convolución la cual involucra al índice ((m-n))N y es denominada convolución circular.

38. Realiza la convolución circular de las siguientes dos secuencias:

39. Realiza la convolución de las siguientes dos secuencias a partir de la DFT e IDFT

40. Convolución circular. Si entonces

41. Propiedades adicionales. Tiempo inverso de una secuencia. Si Entonces Por lo tanto, invertir la secuencia de N puntos en el tiempo equivale a invertir los valores de la DFT. x(6) x(2) x(7) x(1) x(5) x(3) x(0) x(4) x(0) x(4) x(3) x(5) x(1) x(7) x(2) x(6)

42. Desplazamiento circular en tiempo de una secuencia. Si Entonces Desplazamiento circular en frecuencia. Si Entonces

43. Propiedades del conjugado complejo. Si Entonces y Correlación circular. En general, para las secuencias complejas x(n) y y(n), si Entonces donde rxy(l) es la secuencia de correlación cruzada (no normalizada) definida como Módulo 4

44. Multiplicación de dos secuencias. Si Entonces Teorema de Parseval. En general, para las secuencias complejas x(n) y y(n), si Entonces

45. Métodos de filtrado lineal basados en la DFT. Uso de la DFT en filtrado lineal. Supogamos que tenemos una secuencia x(n) de longitud L, que excita un filtro FIR de longitud M. Sea Donde h(n) es la respuesta al impulso. La salida y(n) puede expresarse como cuya duración es L + M - 1. El equivalente en el dominio de la frecuencia es

46. Si y(n) se representa través de Y(ω) en un conjunto de frecuencias discretas, el número de éstas debe ser mayor o igual a L + M - 1. Entonces, necesitamos una DFT de tamaño N ≥ L + M - 1, para representar {y(n)} en el dominio de la frecuencia. Ahora, si entonces Donde {X(k)} y {H(k)} son las DFTs de N muestras de x(n) y h(n), respectivamente. Como x(n) y h(n) son menores a N, se rellenan estas secuencias con ceros hasta alcanzar una longitud N.

47. Usando TDF y TDFI determinar la respuesta del filtro FIR con respuesta al impulsoh(n) = {1, 2, 3} a la secuencia de entrada x(n) = {1, 2, 1, 2} para 8 puntos. Determinar la secuencia de salida y(n) resultante de usar cuatro puntos de la TDFdel ejemplo anterior. ¿Qué se observa?

48. Filtrado de secuencias de larga duración. • La entrada se fragmenta en bloques y cada uno se procesa con la TDF y TIDF para obtener bloques de salida que se unen para conseguir la salida global. • Existen dos métodos: • Método de solapamiento y almacenamiento • Método de solapamiento y suma. • En ambos, suponemos al filtro FIR de longitud M. • La entrada se fragmenta en bloques de tamaño L. • Donde L >> M .

49. Método de solapamiento y almacenamiento El tamaño de los bloques de entrada es N = L + M – 1. La longitud de cada TDF y TIDF es N. Cada bloque de datos contiene al menos M -1 puntos del bloque de datos anterior, seguido de L nuevos puntos. Se calcula la TDF de N puntos para cada bloque. Se aumenta el tamaño del filtro de respuesta al impulso agregando L - 1 ceros. Se calcula la TDF de los N puntos y se almacena. La multiplicación de las dos TDF de N puntos, {X(k)} y {H(k)}, correspondiente al m-ésimo bloque de datos da lugar a: Y la TIDF de N puntos nos da:

50. Para evitar pérdida de datos por aliasing, se almacenan los últimos M – 1 puntos de cada registro de datos, los cuales vienen a ser los M -1 puntos del registro siguiente. Para empezar el procesamiento, los M - 1 primeros se hacen iguales a cero. Por lo tanto y así sucesivamente.