Minimum spanning trees

1. Minimum spanning trees ˙定義： 1.展開樹(spanning trees)是一個連接網路 　　上所有節點的arc的組合，每個arc上都 　　具有成本。

2. Minimum spanning trees 2.Minimum spanning trees 就是網路上所 　　有spanning trees 裡成本最小的那個。 ˙應用： 1.Direct application： 　　利用最少成本或是最短的arc長度將網 　　路上的node連接起來。

3. Minimum spanning trees 2. Indirect application： 將許多表面上看起來跟minimum spanning trees 一點也不相關的問題， 　　可轉換成minimum spanning trees。

4. Application 24Reducing data storage ˙題目定義： 　利用two-dimensional array 儲存data會比 　較有效率，意即較能節省記憶體空間。 ˙題目敘述： 1.假設在陣列裡的每一列之間有許多相似的 entries，並且只有某些entries不一樣。 2.為了節省記憶空間，在陣列裡隨意抽出一列， 　　稱之為“reference row”.

5. Application 24Reducing data storage 3.儲存陣列裡任兩列不同的enteries的數 　　量。 4.Let cij表示在row i，row j裡不同 enteries 的數量。 5.當給定row i時，便可依據第3點來找出 row j，cij表所必須轉換的次數。

6. Application 24Reducing data storage 6.舉例： row1為reference row c12表row1與row2所必須轉換的次數 c13表row1與row3所必須轉換的次數 c24表row2與row4所必須轉換的次數 Reference row 1 1 C12 C13 C12 C13 2 3 C23 2 3 C14 C24 C24 C34 4 4

7. Application 24Reducing data storage ˙轉換成Minimum spanning trees： １ 10 Reference row ２ 15 20 ３ 20 10 ４ 40 紅線部份則是Minimum spanning tree

8. Application 26System reliability bounds ˙題目定義： 　　　系統可靠度(估計系統運作的機率)乃是依照 　系統所組成的次系統與次系統之間的關係。 ˙題目敘述： 1.首先考慮將一個非常簡單的system結構格式化 2.Let k 為system內影響運作的次系統， k=1.2.3…K

9. Application 26System reliability bounds 3.Let Ek是第Ｋ個讓system運作的次系統的事件，Ec表示 　　第 k個次系統失敗的互補事件。 4.只要至少有一個次系統運作，則系統就會運作。 5.則System運作的機率為： Prob(system operates) = Prob(Uk=1 Ek) = 1- Prob(∩k=1Ek) 　若每個次系統失敗事件為獨立，則: Prob(∩k=1Ek) = ∏k=1 Prob(Ek) k k k c c k c k

10. Application 26System reliability bounds 　　但是大部分失敗的事件都是非獨立的，因此利 用：　 1.交集/聯集的原理來計算system運作機率。 2.所有零件(k=1.2.3…K)的S集合，Prob(∩i∈sEi) 3.但是要計算連接事件(例如：E1∩E2∩E3)非常 　　困難，只能利用有限的資訊試圖找出連接事 bound。 4.因此可以利用更多資訊來協助找出system運 　　作機率的bound。

11. Application 26System reliability bounds 5.計算公式： k k Prob(system opearte) = Prob(∪k=1Ek)≦∑Prob(Ek) K=1 但這不是計算最好 upper bound的方法

12. Application 26System reliability bounds ˙改善： 1.圖(a)表示事件1.2.3。 Eij：任兩事件的交　 　　　　集。 E1∩E2∩E3：三事 　　　　件的交集。 E2 E1 E3 (a) 則： Pro(E1∪E2∪E3) = Pro(E1)+ Pro(E2)+ Pro(E3)-Pro(E1∩E2) Pro(E1∩E3)-Pro(E2∩E3)+Pro(E1∩E2∩E3)

13. Application 26System reliability bounds E2 2.圖(b)表示事件1.2.3.發生機率的 upper bound。 Eij-E1∩E2∩E3：任兩事件交集 的集合 E1∩E2∩E3：三事件的交集。 所以 upper bound： E1 E3 (b) Key Single Count Double Count Triple Count Prob(E1)+Prob(E2)+Prob(E3)

14. Application 26System reliability bounds 3.圖(c)表示事件1.2.3發生機率的 lower bound，其中排除任兩事件 　交集的集合(Eij-E1∩E2∩E3)， 　及三事件的交集(E1∩E2∩E3)。 　所以 lower bound： E2 E1 E3 k ∑k=1Prob(Ek) - ∑i≠jProb(Ei∩Ej) (c)

15. Application 26System reliability bounds 4.因為這個例子有三個事件，若 　只扣掉其中任兩個事件的交集 　，則可以得到系統可靠度的 upper bound。如圖(d)。 upper bound: E2 E1 E3 Pro(E1)+ Pro(E2)+ Pro(E3) -Pro(E1∩E3)- Pro(E2∩E3) (d)

16. Application 26System reliability bounds 5.由此可以推斷更多的事件(EK) 　　˙假設在一個undirected network裡面 　　˙node i 表示 Ei ，node j 表示 Ej 　　˙arc(i,j)表示cost Cij = Prob(Eij) 　　˙T表示在undirected network 裡任何一個spanning tree 　　˙upper bound 的值越小越好 　　˙所以T必須越大越好(maximum spanning tree) 　　˙因此便可得到better upper bound： K K Prob(∪k=1Ek)≦∑ Prob(Ek)－∑ Prob(Eij) K=1 (i.,j)∈T

17. Application 26System reliability bounds E2 E2 E2 E1 E3 E2 Maximum spanning trees T (spanning trees)