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Equation différentielle

Equation différentielle. Elaboré par M. NUTH Sothan. I. Définition. Déf .: F(x, y, y’) = 0 (1) où x est une variable, y est une fonction de variable x et y’ sa dérivée, s’appelle équation différentielle du 1 er ordre .

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Presentation Transcript

  1. Equation différentielle Elaboré par M. NUTH Sothan

  2. ED1 I. Définition Déf.: F(x, y, y’) = 0 (1) où x est une variable, y est une fonction de variable x et y’ sa dérivée, s’appelle équation différentielle du 1er ordre. On peut résoudre par rapport y’ : y’=f(x, y) (2)

  3. ED1 I. Définition… On peut écrire aussi sous forme : Ex.:

  4. ED1 II. Solution Considérons : y’=f(x, y) (1) Déf.1: La solution de (1) est une fonction y = (x), x (a, b) qui vérifie (1). Ex.: y=x3est une solution de

  5. ED1 II. Solution… Déf.2: La solution générale de (1) est une fonction y=(x, c), xG et c est une constant, qui vérifie (1) et pour toute condition initiale (x0 , y0) G, il existe uniquement c=c0 tel que la fonction y=(x, c0) implique (x0 , c0)=y0 ,

  6. ED1 II. Solution… Déf.3: La solution partielle de (1) est une fonction y=(x, c0), xG et c0 est une constant, qu’on obtient de solution générale en donnant la condition initiale Ex.: y’= 3x2 La solution générale est y=x3 + c Avec la CI y(0)=1  c = 1. La solution partielle est y=x3 + 1.

  7. ED1 III. ED du 1er ordre à variable séparées 1. L’équation sous forme y’=f1 (x) f2 (y) (1) où f1 (x) et f2 (y) sont continues est dites Equation Différentielle du 1er ordre à variables séparées. Du (1), on a : (2) (3)

  8. ED1 III. ED du 1er ordre à variables séparées… 2. L’équation sous forme y’=f (ax+by+c), ( b  0) (4) En posant u=ax+by+c , (4) devient (1). Ex.:

  9. ED1 IV. ED du 1er ordre hormogène 1. L’équation sous forme (1) (2) Ex.1:

  10. ED1 IV. ED du 1er ordre hormogène… 2. L’équation sous forme (3) où

  11. ED1 IV. ED du 1er ordre hormogène… En posant x=u+, y=v+ , et en résoudre le système on obtient l’EDH de variable u et v . Si =0, on pose u=ax+by , on obtient l’ED à variable séparée.

  12. ED1 IV. ED du 1er ordre hormogène… Ex.2: a/ b/ c/

  13. ED1 V. ED Linéaire du 1er ordre L’équation sous forme (1) est dite EDL du 1er ordre. Si f(x)=0 alors, (1) est hormogène, et sinon est non hormogène.

  14. ED1 V. ED Linéaire du 1er ordre… Méthode 1: Considérons (2) Trouvons la solution Générale Hormogène :

  15. ED1 V. ED Linéaire du 1er ordre… Trouvons la Solution Particulière Non Hormogène : Posons SPNH. En remplaçant dans (1), on trouve C(x) et en on trouve la Solution Générale de (1). Méthode 2: La Solution Générale de (1) est proposée sous forme y=u(x)v(x).

  16. ED1 V. ED Linéaire du 1er ordre… En remplaçant y=u(x)v(x), on obtient :

  17. ED1 V. ED Linéaire du 1er ordre… Ex.: a) b) c)

  18. ED1 VI. ED sous forme différentielle totale L’équation sous forme : (1) est dite ED sous forme différentielle totale si (2) Alors, il existe u(x, y) telle que (3)

  19. ED1 VI. ED sous forme différentielle totale… En comparant (1) et (3), on a : Pour résoudre (1), on fait l’intégrale Or

  20. ED1 VI. ED sous forme différentielle totale… Ex.1: a/ b/ c/ d/

  21. ED1 VI. ED sous forme différentielle totale… En cas on peut trouver (x) ou (y) qui s’appelle facteur intégrant qui vérifie Ex.2: a/ b/ c/

  22. ED1 VII. Autre type de l’ED de 1er ordre 1. Equation de Bernoulli : (1) En divisant (1) par yn, on obtient (2) En posant z=y1-n, on obtient (3)

  23. ED1 VII. Autre type de l’ED de 1er ordre… Ex.1: a/ b/ c/

  24. ED1 VII. Autre type de l’ED de 1er ordre… 2. Equation sous forme F(x, y, y’)=0 (4) Si (4) est une équation de second degré par rapport y’, et si on obtient deux racines : y’=f1(x, y) et y’=f2(x, y). (5) Alors, la SG est sous forme :  (x,y,C) = 1(x,y,C) 2(x,y,C) = 0 (6) En plus, il existe la solution singulière de  (x,y,C) = 0 et ’C(x,y,C) = 0 (7)

  25. ED1 VII. Autre type de l’ED de 1er ordre… Ou le résultat d’élimination y’=p de F (x,y,p) = 0 et F’p(x,y,p) = 0 (8) Ex.2: xy’ 2+2xy’ – y = 0 Posons: y’=p. On obtient xp2+2xp – y = 0

  26. ED1 VII. Autre type de l’ED de 1er ordre… 3. Equation sous forme x =  (y, y’) La SG est sous forme paramètre de système : Analogiquement, pour y =  (x, y’) : La SG est sous forme paramètre de système :

  27. ED1 VII. Autre type de l’ED de 1er ordre… Ex.3: a/ b/ c/ d/

  28. ED1 VII. Autre type de l’ED de 1er ordre… 4. Equation de Clairaut : (9) Pour résoudre on pose y’=p(x), on obtient deux cas de : (10) a) b)

  29. ED1 VII. Autre type de l’ED de 1er ordre… 5. Equation de Lagrange : (11) On peut faire la même façon comme au dessus. Ex.4: a/ b/

  30. ED1 VIII. Exemple 1. 2. 3. 4. 5. 6.

  31. ED1 VIII. Exemple… 7. 8. 9. 10. 11. 12.

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