Trysekcja Cevy 1/4

1. Trysekcja Cevy 1/4 Giovanni Ceva (1647-1734) ukończył kolegium jezuickie w Mediolanie, nauczał wPizie, a od roku 1686 był profesorem na Uniwersytecie w Mantui. Pisał o przepływach wody (Opus hydrostaticum, 1728), podjął nowatorskie badania w zakresie rachunku nieskończonego (Geometria motus, 1692), Był prekursorem matematyki finansowej (Re nummeraria, 1711). Choć najwięcej czasu poświęcał poezji (jego łaciński poemat Jesus Puer przetłumaczono na wiele języków), odnotował ważne wyniki w geometrii. W roku 1678 w pracy De lineis rectis podał warunek przecinania się prostych przechodzących przez wierzchołki trójkąta: Największe osiągnięcia Giovanni Cevy Jeżeli na jego prostych AB, BA i CA lub ich przedłużeniach zaznaczymy punkty X, Y i Z tak, że AX=t1·XB, BY=t2·BC, i CZ=t3·ZA, to proste AY, BZ i CX przetną się w jednym punkcie wyłącznie wtedy, gdy t1·t2·t3=1. Odkrył ponownie twierdzenie Menelausa: punkty X, Y i Z są współliniowe, jeśli t1·t2·t3=-1. Wynik ten stanowi podstawę prawa relatywistycznego składania prędkości Einsteina. W roku 1699 zdefiniował krzywą, która pozwala dokonać podziału kąta na 3 równe części. Nazywa się ona trysektrysą Cevy. Krzywa ta stanowi przedmiot naszego zainteresowania.

2. Krzywą (lub trysektrysą) Cevy nazywamy linię, którą w układzie Oxy współrzędnych prostokątnych definiuje wzór x = a·cos(3t)+ 2a·cos(t), y = a·sin(3t). Trysekcja Cevy 2/4 Równania krzywej Cevy Ponieważ cos(3t) = 4·cos3(t) – 3·sin(t), sin(3t) = – {4·sin3(t) – 3·cos(t)}, więc przedstawieniem wektorowym krzywej Cevy jest także układ x = a·sin(t)·{4·cos2(t) – 1}, y = a·cos(t)·{4·cos2(t) – 1}. Uwzględniając zależności r = {x2+y2}1/2, x = r·sin(θ), y = r·cos(θ) wiążące współrzędne kartezjańskie (x,y) z biegunowymi (r,θ) natychmiast uzyskujemy równanie krzywej Cevy w układzie Orθ: r = a·{4·cos2(θ) – 1}, czyli r = a·{1 + 2·cos(2θ)} (i wystarczy zmieniać wartość argumentu θ na przykład od 0 do ). Korzystając nadal z relacji między współrzędnymi (x,y) a (r, θ) możemy przedostatnią zależność przepisać w postaci {x2+y2}1/2 = a·{4·x2/{x2+y2}– 1}, skąd otrzymujemy równanie niejawne trysektrysy Cevy (słuszne także dla x=y=0): {x2+y2}3 = a2·{3x2–y2}2.

3. Przeprowadzimy teraz konstrukcję potrojenia kata poprzez poprowadzenie 3 okręgów o takim samym promieniu. Uzyskany punkt C leżeć będzie na krzywej Cevy, za pomocą której można wyznaczyć 1/3 kąta danego. Trysekcja Cevy 3/4 1) Tak jak na rysunku obok, wierzchołek danego kąta α umieszczamy w początku układu Oxy współrzędnych prostokątnych i zakreślamy łuk o dowolnym promieniu a (na rysunku wynosi on 1). 2) Łuk ten przecina ramię górne kąta w punkcie M. Oczywiście: M = (a·cos(α),a·sin(α)), Trzy okręgi wyznaczające trysektrysę Cevy zaś rzut punktu M na oś Ox to U = (a·cos(α),0). 3) Kreślimy teraz okrąg o środku M i promieniu a. 4) Przecina on oś Ox w punkcie P. Trójkaty UOM i PUM są przystające, więc P = (2a·cos(α),0) 5) Raz jeszcze kreślimy okrąg o promieniu a, tym razem o środku P. 6) Punkt, gdzie przecina on ramię OM kąta α, oznaczamy literą C. Kąt, jaki z osią Ox tworzy odcinek PC, oznaczamy literą φ. 7) Ponieważ β= 180°-(180°-2α) = 2α i = 1802 = 1804α, więc φ= 180(α+ )=3α.

4. Wiemy już, że P = (2a·cos(α),0) oraz φ= 3α. Trysekcja Cevy 4/4 Niech D oznacza rzut prostopadły punktu C na oś Ox. Boki trójkąta PCD mają długości: |PC|=a, |CD| = a·sin(3α), |DP| = a·cos(3α). Jeżeli C=(x,y), to y = |CD| = a·sin(3α) i x = |OP| + |DP| = 2a·cos(α) + a·cos(3α). Tym samym współrzędne prostokątne punktu C dane są zależnościami: x = 2a·cos(α) + a·cos(3α) y = a·sin(3α). Uzasadnienie konstrukcji Tak więc punkt C leży na krzywej Cevy. Konstrukcja Cevy trzeciej części danego kąta φ: e1. kreślimy trysektrysę Cevy - dla α(0,30°), e2. nanosimy kąt φ, e3. Przez punkt na ukośnym ramieniu kąta odległy od wierzchołka kąta o a (na rysunkach jest a=1) prowadzimy prostą równoległą do osi Ox, Trysekcja kąta wg Cevy e4. punkt, w którym ta równoległa przecina dalej trysektrysę, oznaczamy literą C, e5. odcinek łączący punkt C z wierzchołkiem kąta φ odcina kąt α = φ/3.