Estatística

1. Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 11 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaboradopelosProf. Wayne Santos de Assis e ChristianoCantarelliRodrigues

2. Aula 11 • Regra da Multiplicação • Probabilidade Condicional • Independência de Eventos

3. Propriedades Básicas Regra da Multiplicação Estamos interessados na probabilidade de o evento A ocontecer em uma primeira prova e o evento B ocorrer em uma segunda prova Palavra – chave  e Notação P(A e B ) = P(evento A ocorrer na primeira prova e evento B ocorrer na segunda prova)

4. Propriedades Básicas Regra da Multiplicação Exemplo: Supor que em um teste temos duas questões: a 1ª é verdadeiro ou falso e a 2ª possui 5 alternativas (a, b, c, d, e). Qual a probabilidade de que, se uma pessoa responde aleatoriamente as ambas as questões, a 1ª resposta esteja certa e a 2ª resposta esteja certa? Vamos supor que as respostas corretas sejam V e c Queremos P(V e c)

5. Propriedades Básicas Regra da Multiplicação Va Vb Vc Vd Ve 1ª 2ª Resultados possíveis a a V b b c c Espaço amostral d d Fa Fb Fc Fd Fe e e F 2 x 5 = 10

6. Propriedades Básicas Regra da Multiplicação P(V) Se vocês prestaram a atenção P(V e C) = P(V) . P(c) P(c) Este problema foi resolvido com o auxílio de um diagrama de árvore porque o no de resultados possíveis não foi muito grande Acertar a 2ª questão depende de ter acertado a 1ª ?

7. Propriedades Básicas Regra da Multiplicação Pelo menos 1 ... Ache a probabilidade de que, entre várias provas, pelo menos uma forneça um resultado especificado Pelo menos um é equivalente a um ou mais O complementar de se obter pelo menos um de um item particular é não se obter qualquer item daquele tipo

8. PropriedadesBásicas Regra da Multiplicação Pelo menos 1 ... Exemplo: Ache a probabilidade de uma casal ter, pelo menos, 1 menina entre 3 crianças. Suponha que meninos e meninas sejam igualmente prováveis e que o sexo de uma criança seja independente do sexo de qualquer outro irmão ou irmã Seja A = pelo menos 1 das 3 crianças é menina Evento complementar: = não obter pelo menos 1 menina em 3 crianças = todas as 3 crianças são meninos =menino, menino, menino menino-menino-menino menino-menino-menina menino-menina-menino menino-menina-menina menina-menino-menino menina-menino-menina menina-menina-menino menina-menina-menina

9. PropriedadesBásicas Regra da Multiplicação Pelo menos 1 ... Para achar a probabilidade de pelo menos um de alguma coisa, calcule a probabilidade de nenhum, então subtraia o resultado de 1 P(pelo menos um ) = 1 - P(nenhum)

10. Probabilidade Condicional • Como será que a probabilidade de um evento muda após sabermos que um outro evento ocorreu? Isso nos leva à idéia de probabilidade condicional • A idéia de probabilidade condicional está intimamente relacionada ao fato da ocorrência de um evento afetar ou não a probabilidade de ocorrência de outro evento • Uma probabilidade condicional nada mais é do que uma probabilidade calculadanão mais a partir do espaço amostral inteiro E, e sim a partir de um subconjunto de E

11. Probabilidade Condicional Motivação • Suponha uma população com N indivíduos • Suponha dois eventos: • A: o indivíduo é do sexo feminino • B: o indivíduo é daltônico • Pode-se definir as probabilidades • P(A) = Nf / N • P(B) = Nd / N • Poderíamos estar interessados em saber a probabilidade de ser daltônico dentro da população feminina • ou seja: P(B|A) = Ndf / Nf • dividindo os dois lados por N:

12. A A ∩ B Espaçoamostral E B A A ∩ B B Probabilidade Condicional Motivação E Na probabilidade condicional, A faz o papel do espaço amostral

13. Probabilidade Condicional Exemplo da genética Se 2 ervilhas são escolhidas aleatoriamente sem reposição ... Qual a Prob. de que a 1ª tenha vagem verde e 2ª amarela?

14. Probabilidade Condicional Exemplo da genética Há 14 ervilhas, 8 das quais têm vagem verde 2ª seleção: 1ª seleção: Restam 13 ervilhas, 6 das quais têm vagem amarela

15. Probabilidade Condicional O ponto chave é que temos que ajustar a probabilidade do 2º evento para refletir o resultado do 1º evento A probabilidade para o 2º evento B tem que levar em conta o fato de que o 1º evento A já ocorreu Notação P(A e B) = P(A) . P(B|A) P (B | A)  lê-se “P de B dado A”

16. Probabilidade Condicional Ao calcular a probabilidade de ocorrência do evento A em uma prova e do evento B na prova seguinte, multiplique a probabilidade do evento A pela a probabilidade do evento B, mas certifique-se de que a probabilidade do evento B leva em conta a ocorrência prévia do evento A Formal P(A  B) = P(A) . P(B|A)

17. Probabilidade Condicional Definição Dados dois eventos A e B, com P(A) > 0, chama-se P(B | A) a probabilidade condicional de B dado A (ou probabilidade de B condicionada a A) definida pela expressão Analogamente: (com P(B) > 0)

18. Probabilidade Condicional Se A e B são disjuntos: A B Se B A : U A B Caso geral: B A Se A B : U B A

19. Probabilidade Condicional Uma vez que: Uma vez que: e Temos: e Logo:

20. Probabilidade Condicional Esse resultado é também conhecido como Teorema da Multiplicação Este teorema nos permite escrever uma probabilidade condicional em termos da probabilidade condicional “inversa”, o que é útil quando uma delas for difícil de calcular Em particular:

21. Probabilidade Condicional Exemplo 1 Um grupo de pessoas inclui 40 com diploma de curso superior, 20 microempresários e 10 que são, ao mesmo tempo, portadores de diploma do curso superior e microempresários. Calcule a probabilidade de alguém ser microempresário sabendo que ele tem diploma de curso superior. Sejam os eventos: A = { pessoa tem diploma de curso superior } B = { pessoa é um microempresário }

22. Probabilidade Condicional Exemplo 1 Seleciona-se uma das 50 pessoas aleatoriamente. Então: P( A ) = 40/50 , P( B ) = 20/50 e P( A ∩ B ) = 10/50 Considere o seguinte evento: a pessoa é microempresária e sabe-se que ela tem diploma de curso superior A probabilidade deste evento é diferente da probabilidade da pessoa ser microempresária, visto que agora o espaço amostral não consiste mais nas 50 pessoas originais, mas apenas naquelas que possuem diploma de curso superior

23. Probabilidade Condicional Exemplo 1 A probabilidade condicional de que uma pessoa seja microempresária sabendo-se que ela tem diploma de curso superior é dada por: Observações O exemplo mostra que devemos olhar para as 10 pessoas na interseção dentre as 40 pessoas com diploma de curso superior O nosso espaço amostral, ao calcular a probabilidade condicional, restringe-se às 40 pessoas que têm curso superior, e não mais às 50 pessoas do grupo original

24. Probabilidade Condicional Exemplo 2 Em uma amostra de 100 funcionários de uma empresa: • 35 são homens e fumantes, • 28 são homens e não fumantes, • 17 são mulheres e fumantes, • 20 são mulheres e não fumantes. Qual a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso ser fumante, considerando que ele seja homem?

25. Probabilidade Condicional Exemplo 2 Sejam os eventos: A = { o funcionário é fumante } B = { o funcionário é homem }

26. Probabilidade Condicional Exemplo 2 Note que, quando definimos que o evento B correu (o funcionário é homem), restringimos o espaço amostral à ocorrência do evento A (o funcionário é fumante) O novo universo passa a ser o próprio evento B

27. Probabilidade Condicional Exemplo 2 Utilizando o número de elementos de cada conjunto: P(A | B) = 35/63 = 0,556 Ou empregando a expressão da definição: P(B) = 63/100 = 0.63 P(A ∩ B) = 35/100 = 0.35 P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0,35/0,63 = 0,556

28. Probabilidade Condicional Exemplo 3 Ao serem lançados dois dados equilibrados sobre uma mesa, calcule a probabilidade de a soma das duas faces ser 8, sabendo que ocorre face 3 no primeiro dado. Sejam os eventos: A = { a soma das duas faces é 8 } B = { ocorre face 3 no primeiro dado } Total de resultados possíveis no lançamento dos dois dados: 6 x 6 = 36 A = { (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2) } B = { (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6) } (3;5)

29. e Portanto, se A e B são eventos independentes vale: Independência de Eventos Dois eventos A e B são independentes quando se verifica:

30. Independência de Eventos Dois eventos são independentes se qualquer uma das seguintes afirmações for verdadeira: • P(A│B) = P(A) • P(B│A) = P(B) • P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

31. Probabilidade Condicional Exemplo 4 A tabela abaixo descreve a história de 84 amostras de ar, com base na presença de duas moléculas raras. Faça A denotar o evento que consiste em todas as amostras de ar que contém a molécula 1 e B denotar o evento que consiste em todas as amostras de ar que contém a molécula 2. Calcule P(B) e P(B│A).

32. Probabilidade Condicional Exemplo 4 Resposta: P(B) = 28 / 84 = 0,333 P(A) = 36 / 84 = 0,428 P(B│A) = P(A ∩ B)/P(A) = (12/84) / (36/84) = 12/36 = 0,333 P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = (36/84).(28/84) = 0,142 P(A ∩ B) = 12/84 = 0,142

33. Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 11 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaboradopelosProf. Wayne Santos de Assis e ChristianoCantarelliRodrigues