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Prática de Ensino em Matemática I Aula 11. Curso de Licenciatura em Matemática Prof. M.S.c . Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br. Divisível, Múltiplo e Divisor (I). Quando um número é divisível por outro?. Quando a divisão do primeiro pelo segundo for exata.
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Prática de Ensino em Matemática IAula 11 Curso de Licenciatura em Matemática Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br
Divisível, Múltiplo e Divisor (I) Quando um número é divisível por outro? Quando a divisão do primeiro pelo segundo for exata. Podemos dizer que 27 é divisível por 3, porque a divisão de 27 por 3 é exata. Podemos dizer que 43 não é divisível por 5, porque a divisão de 43 por 5 não é exata. Pelo mesmo motivo também podemos dizer que: Podemos dizer que 3 é divisor de 27. Podemos dizer que 5 não é divisor de 43.
Divisível, Múltiplo e Divisor (II) Quando um número é múltiplo de outro? Quando há um número natural que multiplicado pelo primeiro resulta no segundo. Podemos dizer que 27 é múltiplo de 3, pois 3 x 9 é exatamente 27. Podemos dizer que 43 não é múltiplo de 5, pois não existe nenhum número natural que multiplicado por 5 resulta em 43. • Observações: • O 1 é considerado divisor universal pois todo número é divisível por 1; • O 0 é considerado múltiplo universal pois todo número multiplicado por 0 resulta em 0; • Nenhum número é divisível por zero, pelo motivo citado anteriormente; • O zero é divisível por qualquer número (exceto si mesmo); • Todo número (exceto zero) é divisível por si mesmo.
Números Pares e Números Ímpares O que é um número par? É todo número natural divisível por dois. 0 2 4 6 8 O que é um número ímpar? É todo número natural não divisível por dois. 3 1 5 7 9
Identificando números pares e ímpares 14 17 Como reconhecer um número par? É todo número natural terminado em 0, 2, 4, 6 ou 8. Como reconhecer um número ímpar? É todo número natural terminado em 0, 2, 4, 6 ou 8. O número 1.735.916 é par pois termina em 6. O número 2.864.203 é ímpar pois termina em 3.
Critérios de divisibilidade (I) Quando um número é divisível por 2? Um número é divisível por 2 quando for par. O número 1.735.916 é divisível por 2 pois é par. O número 2.864.203 não é divisível por 2 pois é ímpar. Quando um número é divisível por 3? Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for divisível por 3. Verifique se o número 495 é divisível por 3. Verifique se o número 361 é divisível por 3. e 18 é divisível por 3 e 10 não é divisível por 3
Critérios de divisibilidade (II) Quando um número é divisível por 5? Um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5. O número 3.971.860 é divisível por 5 pois termina em 0. O número 5.405.268 não é divisível por 5 pois termina não termina nem em 0 nem em 5. Quando um número é divisível por 6? Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3 simultaneamente. Verifique se o número 930 é divisível por 6. Verifique se o número 640 é divisível por 6.
Critérios de divisibilidade (III) Quando um número é divisível por 4? Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos forem divisíveis por 4. Verifique se o número 680 é divisível por 4. Verifique se o número 842 é divisível por 4. Quando um número é divisível por 8? Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem divisíveis por 8. Verifique se o número 1728 é divisível por 8. Verifique se o número 8436 é divisível por 8.
Critérios de divisibilidade (IV) Quando um número é divisível por 9? Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos for divisível por 9. Verifique se o número 540 é divisível por 9. Verifique se o número 960 é divisível por 3. e 9 é divisível por 9 e 15 não é divisível por 9 Quando um número é divisível por 10? Um número é divisível por 10 quando terminar em zero. O número 3.951.540 é divisível por 10 pois terminou em 0. O número 5.480.025 não é divisível por 10 pois não terminou em 0.
Revisão Quando um número é divisível por 2? Um número é divisível por 2 quando for par. Quando um número é divisível por 3? Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for divisível por 3. Quando um número é divisível por 4? Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos forem divisíveis por 4. Quando um número é divisível por 5? Um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5. Quando um número é divisível por 6? Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3 simultaneamente. Quando um número é divisível por 8? Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem divisíveis por 8. Quando um número é divisível por 9? Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos for divisível por 9. Quando um número é divisível por 10? Um número é divisível por 10 quando terminar em zero.
Número Primo O que é um número primo? É todo número natural que é divisível APENAS por 1 e si mesmo. Percebemos que alguns números possuem vários divisores, enquanto outros possuem apenas dois divisores. • Observações: • A palavra primo deriva de primeiro, pois utilizando os números primos podemos obter todos os demais números naturais; • Os números que não são primos recebem o nome de compostos, precisamente pelo fato de poderem ser obtidos através da multiplicação de números primos.
Crivo de Eratóstenes É um procedimento desenvolvido por Eratóstenes de Cirene (século III a.C.) que permite descobrir números primos. Escreve-se a sequência de números desejada a partir de 2; Circula-se o primeiro número (o dois) e criva-se (risca) seus múltiplos; Eratóstenes de Cirene ( 276 a.C.; 194 a.C.) Circula-se o novo primeiro número da sequência (três) e criva-se seus múltiplos; Repete-se o procedimento até acabarem os números; Os números circulados são os primos e os crivados os compostos.
Um pouco mais sobre números primos • Observações: • Os números primos são infinitos (prova foi feita por Euclides de Alexandria); • O único número primo e par é o dois (por quê?); • Nem todos os números ímpares são primos (dê contraexemplos). Como saber se determinado número é primo ou composto?
Reconhecendo um número primo (I) Exemplo 1) Verifique se o número 101 é primo. Logo 101 é primo. Exemplo 2) Verifique se o número 121 é primo. Logo 121 é composto.
Reconhecendo um número primo (II) • Como saber se determinado número é primo ou composto? • Divida o número desejado pela sequência dos números primos até que uma das duas opções ocorra: • a divisão der não exata; continue dividindo até que o resultado dê igual ou menor que o divisor. Neste caso o número é primo; • a divisão der exata. Neste caso o número é composto. Qual a importância dos números primos? A dificuldade de verificar se um número é primo é chave de todo sistema de criptografia computacional. Em outras palavras o fato de ser difícil verificar se grandes números são primos acaba protegendo transações bancárias, senhas de internet, compras on-line, etc.
