Digitális rendszerek I.

1. Digitális rendszerek I. Összeállította Varga László (Wigner Jenő Műszaki Középiskola és Kollégium, Eger) anyaga felhasználásával Dr. Ádám Tihamér Digitálistechnika I.

2. SZÁMRENDSZEREK Számok felírása a különböző számrendszerekben Valamely N szám (numerus) az R alapú (radixú) számrendszerben definíciószerűen alakban adható meg. Itt az egész rész, és tört rész. Az N szám Az R alapú számrendszerben a következő alakban adható meg: Digitálistechnika I.

3. Bináris 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 Ternális 0 1 2 10 11 12 20 21 22 100 101 102 110 111 112 120 121 Kvintális 0 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 25 26 Oktális 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 Decimális 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Duodecimális 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b 10 11 12 13 14 Hexadecimális 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f 10 Digitálistechnika I.

4. Bináris számok ábrázolása • Nagyságrend ábrázolása • Fixpontos számábrázolás A tizedesvessző rögzített helyen (rendszerint az első értékes jegy előtt) van • Lebegőpontos számábrázolás • A számok normalizált, féllogaritmus alakban vannak A szám normalizált értéke Hatvány kitevő Előjel A kitevő előjele Digitálistechnika I.

5. Előjel ábrázolása • „Előjelnagyság” ábrázolása • Az első biten az előjelet, a többin az abszolútértéket ábrázoljuk • Pl.: +9110=010110112 • - 9110 =110110112 • Egyes komplemens ábrázolás • Az első biten az előjelet, a többin az abszolútérték komplemensét ábrázoljuk • Pl.: +9110=010110112 • - 9110 =110110112 • Kettes komplemens ábrázolás • Egyes komplemens plussz egy • Pl.: +9110=010110112 • - 9110 =110110112 Digitálistechnika I.

6. KÓDRENDSZEREK • Kódolási alapfogalmak Kód: Két szimbólumhalmaz egyértelmű egymáshoz rendelése Kódolás: Az egymáshoz rendelési művelet meghatározott szempontok szerinti végrehajtása Dekódolás: A kódolás ellentétes művelete,-visszatérés a kiinduló halmazra- Jelkészlet: Azon jelek összessége, melyeket meghatározott szabályok szerint a kódolási művelet során a kódszó alkotására felhasználtunk Kódszó: A jelkészlet elemeiből meghatározott szabályok szerint képzett értelmes üzenetet jelentő egybefüggő szimbólumsorozat Digitálistechnika I.

7. Kódolási alapfogalmak Kódszó készlet: Azon kódszavak összessége melyek az adott rendszeren belül kódolásra felhasználhatók Tiltott kódszavak: Olyan kódszavak, melyek nem elemei a kódszókészletnek Egységnyi azaz 1 bit információt hordoz az az üzenet, mely két szimbólumból álló jelkészlettel rendelkezik, és ezen szimbólumok bekövetkezési valószínűsége egyenlő. Az információ N egyelő valószínűségű szimbólum esetén H= ld N [bit/szimbólum] Digitálistechnika I.

8. Kódolási alapfogalmak Redundancia: Ki nem használt információmennyiség R=Hmax-H [bit/szimbólum] Rrel= Hmax-H Hmax • Két kódszó HAMMING távolsága (D): • Hány kódelemet kell az ellenkezőjére változtatni hogy a másik kódszót kapjuk • Egy kód HAMMING távolsága: • A kódszó készletelemei közötti legkisebb Hamming távolság Digitálistechnika I.

9. Numerikus információ kódolása • Bináris kód A bináris számrendszer szabályai szerint, bináris számjegyekkel és bináris helyiértékekkel képezzük le Pl.: 16310100011 • BCD kódok A tíz darab decimális számjegyhez 4-5 esetleg több bitből álló kódszavakat rendelünk, majd a tízes számrendszerszabályai szerint írjuk le Pl.: 163 000101100011 1 6 3 • Alfanumerikus információ kódolása • 5 bites telex kód • ASCII kód Digitálistechnika I.

10. A leggyakoribb négy bites BCD kódok Digitálistechnika I.

11. Kódok hibavédelmi képessége Átvivő közeg Rendeltetési hely Adat- forrás Zaj, zavar Hiba felismerés feltétele: Hiba javítás feltétele: Általánosságban m információs bithez k ellenőrző bit szükséges Digitálistechnika I.

12. A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 0 0 8 0 4 2 1 X X 0 X 1 1 0 A3 A5 A7 0 1 0 A3 A6 A7 0 1 0 A5 A6 A7 1 1 0 A1 A3 A5 A7 1 1 1 0 6 A1=1 E2=0 E1=1 E0=1 E2 E1 E0 0 1 1 A2 A3 A6 A7 1 1 1 0 =3 A2=1 A4 A5 A6 A7 0 1 1 0 A4=0 HIBAFELISMERŐ ÉS HIBAJAVÍTÓ KÓDOK • Legegyszerűbb hibafelismerési eljárás: • paritásbit átvitele • páros paritás • páratlan paritás Hibajavítás: 1 1 0 0 1 1 0 hibátlan kódszó (6) 1 1 1 0 1 1 0 hibás kódszó (3. Bit) Digitálistechnika I.

13. ADÓ JEL BITEK VEVŐ PARITÁS BIT PARITÁS GEN. PARITÁS VIZSG. PARITÁS HIBA JELZŐ A hibajavítást blokkrendszerű adatátvitel esetén SOR és OSZLOP paritás ellenőrzésével is elvégezhetjük. Ily módon egyetlen hiba a hibás sor és oszlop metszéspontjában van, így a hiba értékcserével javítható Digitálistechnika I.

14. 2. ELŐADÁSLOGIKAI VÁLLTOZÓK ÉS MŰVELETEK • LOGIKAI VÁLTOZÓK ÉS SZEMLÉLTETÉSÜK • LOGIKAI MŰVELETEK • LOGIKAI MŰVELETEK TULAJDONSÁGAI • BOOLE ALGEBRA AZONOSSÁGAI Digitálistechnika I.

15. Anyag, energia adatforgalom Bemeneti jelek Kimeneti jelek Feltételek Logikai döntések Érzékelés Végrehajtás Logikai kapcsolatok Események Kiinduló feltételek X1 Y1 X2 Y2 függő változók vagy függvényértékek X3 Y3 Logikai függvények független változók Xn Ym Digitálistechnika I.

16. B C D A A B C t LOGIKAI VÁLTOZÓK SZEMLÉLTETÉSE • VENN diagram: • Veits diagram: • Idődiagram Digitálistechnika I.

17. Y Bemeneti változók vektora X Kimeneti változók vektora Az „n” bemenetű „m” kimenetű kombinációs hálózatot „m” darab „n” változós függvénnyel lehet leírni Y=FK(X) Digitálistechnika I.

18. A F 0 1 1 0 • Negáció A • ÉS (AND) A*B • NEM-ÉS (NAND) A*B A B F 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A B F 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 • VAGY (OR) A+B A B F 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A B F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 • NEM-VAGY (NOR) A+B • EKVIVALENCIA • ANTIVALENCIA A B F 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 LOGIKAI MŰVELETEK SHEFFER PEIRCE KIZÁRÓ VAGY Digitálistechnika I.

19. A LOGIKAI (BOOLE) MŰVELETEK TULAJDONSÁGAI I. Kommutativitás: A*B=B*A A+B=B+A II. Asszociativitás: (A*B)*C=A*(B*C)=A*B*C (A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C III. Disztributivitás A*(B+C)=A*B+A*C A+(B*C)=(A+B)*(A+C) IV. EGYSÉG- és NULLA-elem létezése: A*1=A A+0=A V. KOMPLEMENS-elem létezése: A*Ă=0A+Ă=1 VI. Abszorpciós tulajdonság: A(B+A) =A A+B*A=A Digitálistechnika I.

20. A BOOLE ALGEBRA AZONOSSÁGAI Digitálistechnika I.

21. 3. ELŐADÁSLOGIKAI KAPCSOLATOK LEÍRÁSA • LOGIKAI FÜGGVÉNYKAPCSOLATOK MEGADÁSI MÓDJAI • szöveges • igazságtáblázatos • algebrai • grafikus • LOGIKAI FÜGGVÉNYEK SZABÁLYOS ALAKJAI • A DISZJUNKTÍV ÉS A KONJUNKTÍV ALAK KAPCSOLATA Digitálistechnika I.

22. D C B A F 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 LOGIKAI KAPCSOLATOK MEGADÁSI MÓDJAI • Szöveges leírás: • Pl.: Négy résztvevős szavazógép a többségi elv alapján működik. • Szavazat egyenlőség esetén az elnök szavazata dönt. • Táblázatos megadás: Ahol A, B, C, a tagok, D az elnök szavazata Digitálistechnika I.

23. B 0 0 0 0 0 0 1 0 C 1 1 1 1 D 0 1 1 1 A LOGIKAI KAPCSOLATOK MEGADÁSI MÓDJAI • Algebrai leírás: • Grafikus megadás: Digitálistechnika I.

24. LOGIKAI FÜGGVÉNYEK SZABÁLYOS ALAKJAI minterm: A változók olyan ÉS kapcsolata, amelyban minden változó - ponált vagy negált - alakban egyszer és csakis egyszer szerepel Ahol n a független változók száma, i a term sorszáma maxterm: A változók olyan VAGY kapcsolata, amelyban minden változó - ponált vagy negált - alakban egyszer és csakis egyszer szerepel Ahol n a független változók száma, i a term sorszáma illetve Digitálistechnika I.

25. Sorszámos alakban Sorszámos alakban diszjunktív szabályos (kanonikus) alak: A mintermek VAGY kapcsolata konjunktív szabályos (kanonikus) alak: A maxtermek ÉS kapcsolata Digitálistechnika I.

26. felhasználásával és felhasználásával A DISZJUNKTÍV ÉS A KONJUNKTÍV ALAK KAPCSOLATA Digitálistechnika I.

27. 20 20 21 0 1 3 2 21 2 3 1 0 21 21 22 0 1 3 2 7 6 4 5 22 4 5 7 6 3 2 0 1 20 20 20 21 21 22 0 1 3 2 15 14 12 13 23 4 5 7 6 11 10 8 9 22 12 13 15 14 3 2 0 1 23 22 8 9 11 10 7 6 4 5 20 20 20 2, 3 és négyváltozós min- és maxterm táblák Digitálistechnika I.

28. 4. ELŐADÁSLOGIKAI FÜGGVÉNYEK EGYSZERŰSÍTÉSE • TERM ÖSSZEVONÁSI LEHETŐSÉGEK • A GRAFIKUS MINIMALIZÁLÁS LÉPÉSEI Digitálistechnika I.

29. 1 1 LOGIKAI FÜGGVÉNYEK EGYSZERŰSÍTÉSE • A BOOLEalgebra azonosságainak felhasználásával: Az összevonás feltétele, hogy a két term csak egyetlen változóban különbözhet egymástól. A kérdéses változó az egyik temben ponált, a másik termben negált állapotban kell hogy szerepeljen • Szisztematikus eljárással: • Grafikus minimalizálás (Veitch-Karnaugh táblával) • Numerikus minimalizálás (Quine-Mc Cluskey-féle eljárás) Digitálistechnika I.

30. B C D A TERM ÖSSZEVONÁSOK A V-K TÁBLÁKBAN KETTES IMPLIKÁNSOK Digitálistechnika I.

31. B C D A TERM ÖSSZEVONÁSOK A V-K TÁBLÁKBAN NÉGYES IMPLIKÁNSOK Digitálistechnika I.

32. B C D A TERM ÖSSZEVONÁSOK A V-K TÁBLÁKBAN NYOLCAS IMPLIKÁNSOK Digitálistechnika I.

33. GRAFIKUS MINIMALIZÁLÁS A logikai függvények minimalizálási eljárása a primimplikánsok megkereséséből, majd pedig a szükséges primimplikánsok kiválasztásából áll. Primimplikánsok keresése: • Ábrázoljuk a függvényt VK táblán • A 2i számú szimmetrikusan elhelyezkedő szomszédos 1-gyel jelölt cellát egy tömbbé vonunk össze • Mindig alehető legnagyobbtömböt célszerű kialakítani • Valamennyi 1-gyel jelölt cellának legalább egy tömbben szerepelnie kell • Ugyanazon cella több tömbnek is eleme lehet • A táblák négy változóig széleiken egybefüggőnek tekinthetők Digitálistechnika I.

34. Valamely primimplikáns lényeges, ha tartalmaz olyan mnimintermet,amelyet minden más primiplikáns már nem tartalmaz. Azon tömbök lesznek a minimalizált függvény szükséges primimplikánsai, amelyek a függvény valamennyi 1-gyel jelölt cellájának egyszeri lefedéséhez elengedhetetlenül szükségesek. A szükséges primimplikánsok kiválasztásának lépései: • Jelöljük meg egy-egy ponttal azon mintermeket, amelyeken csak egy hurok megy keresztül. Ezen tömbök lesznek a nélkülözhetetlen implikánsok. • Vonalkázzuk bea nélkülözhetetlen primimplikánsok által lefedett mintermeket • Maradt-e olyan 1-egyel jelölt minterm, amelyet a nélkülözhetetlen primimplikánsok nem fedtek le? • A fennmaradó 1-ek lefedésére válasszuk a legkevesebb és legnagyobb tömböt. Digitálistechnika I.

35. B 0 1 3 2 0 0 0 0 4 5 7 6 0 0 1 0 C 12 13 15 14 1 1 1 1 D 8 9 11 10 0 1 1 1 A C*D A*D B*D A*B*C F=C*D+A*D+B*D+A*B*C minimál diszjunktív alak Digitálistechnika I.

36. B 1 1 1 1 C C D 15 14 12 13 1 1 0 1 11 10 8 9 0 0 0 0 3 2 0 1 1 0 0 0 7 6 4 5 A A C+D A+D B+D A+B+C F=(C+D)*(A+D)*(B+D)*(A+B+C) minimál konjunktív alak Digitálistechnika I.

37. 5. ELŐADÁSRÉSZBEN MEGHATÁROZOTT FÜGGVÉNYEK • RÉSBEN MEGHATÁROZOTT LOGIKAI FÜGGVÉNYEK EGYSZERŰSÍTÉSE • EGYSZERÜSÍTÉS EKVIVALENCIA ÉS ANTIVALENCIA FÜGGVÉNYEKKEL • KÖZÖS RÉSZHÁLÓZAT KIALAKÍTÁSA Digitálistechnika I.

38. a f b g c e d a b c d e f g A B C D D E C O D E R RÉSZBEN MEGHATÁROZOTT FÜGGVÉNYEK Digitálistechnika I.

39. B 1 0 0 0 (0,4,8,12) A B 0 1 3 2 1 1 0 1 (4,5,12,13) B C 4 5 7 6 C h h h h 12 13 15 14 D 1 1 h h 8 9 11 10 A Az f szegmens mintermtáblája (8,9,10,11,12,13,14,15) D (4,6,12,14) B C Digitálistechnika I.

40. (0,4,8,12) A+B (0,4,8,12) B+C 0 1 1 1 (0,4,8,12) A+C 0 0 1 0 0 0 h h h h h h A C 15 14 12 13 D 11 10 8 9 3 2 0 1 C 7 6 4 5 B B Az f szegmens maxtermtáblája Digitálistechnika I.

41. B B 1 1 0 0 1 1 A A 1 1 2 2 3 3 A B B B 0 0 0 0 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 A A A B 4 4 4 4 5 5 5 5 7 7 7 7 6 6 6 6 1 1 1 1 C C C C 1 1 1 1 1 1 1 1 EGYSZERÜSÍTÉS EKVIVALENCIA ÉS ANTIVALENCIA FÜGGVÉNYEKKEL Digitálistechnika I.

42. C C 0 0 1 1 3 3 2 2 1 4 4 5 5 7 7 6 6 B B 1 1 12 12 13 13 15 15 14 14 A A 1 8 8 9 9 11 11 10 10 D D 1 1 1 1 1 1 1 1 Digitálistechnika I.

43. Be F1 F1 F2 F2 KÖZÖS RÉSZHÁLÓZATOK KIALAKÍTÁSA Fk I. lépés: Megkeressük egymástól függetlenül , a kimenetekhez tartozó függvények prim-implikánsait. II. lépés: Megkeressük a közös implikánsokat, az egyes függvények imlikánsainak a V-K táblán történő fedésbe hozásával III. lépés: Kiválasztjuk az optimális megoldást adó implikánsokat az implikáns táblázat és - ha szükséges - az ún. „szelekciós függvény” segítségével. ( Egyes irodalmakban jelenléti függvény) IV. lépés: Felírjuk a hálózat optimalizált függvényeit közös implikánsok feltüntetésével, majd felrajzoljuk a közös részeket tartalmazó logikai vázlatot. Digitálistechnika I.

44. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B B B 1 0 0 0 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 4 4 4 5 5 5 7 7 7 6 6 6 C C C 12 12 12 13 13 13 15 15 15 14 14 14 D D D 8 8 8 9 9 9 11 11 11 10 10 10 A A A PÉLDA KÖZÖS RÉSZHÁLÓZAT KIALAKÍTÁSÁRA Digitálistechnika I.

45. (a+f)(a+f) b (a+f)(a+f)(c+g)(b+c)(d+f)(d+f) e (d+f)(d+f)(e+g)= =(a+f) b (c+g)(b+c)(d+f) e (e+g)= =(a+f) b (c+g)(d+f) e = b e (c+g)(f+a d)= =b e c f +b e g f +b e c a d+b e g a d Digitálistechnika I.

46. b e c f +b e g f +b e c a d+b e g a d 4 implikáns 5 implikáns 1. b e c f 3+3+3+2 = 11 db változó 2. b e g f 3+3+4+2 = 12 db változó 1. b e c f 2. b e g f Digitálistechnika I.

47. D C B A D C B A 1 1 1 1 1 1 b b & & c e & 1 & 1 e g & & 1 1 f f & & Digitálistechnika I.

48. 6. ELŐADÁSNUMERIKUS MINIMALIZÁLÁS • A TERMEK ÖSSZEVONÁSÁNAK KRITÉRIUMAI • A MINIMALIZÁLÁS LÉPÉSEI • PRIMIMPLIKÁNS TÁBLÁZAT Digitálistechnika I.

49. NUMERIKUS MINIMALIZÁLÁSQUINE Mc CLUSKEY MÓDSZER A TERMEK ÖSSZEVONÁSÁNAK KRITÉRIUMAI: • A bináris súlyok különbsége 1 kell hogy legyen (bináris súly = a termben szereplő „egyesek” száma) • A decimális indexek különbsége kettő hatványa kell legyen • A nagyobb bináris súlyúnak a decimális indexe is nagyobb kell legyen Digitálistechnika I.

50. A MINIMALIZÁLÁS LÉPÉSEI • A Termeket bináris súlyuknak megfelelően csoportosítjuk a decimális indexek növekvő sorrendjében • Az összehasonlítást a legelső elemmel kezdjük, ezt csak a következő csoport elemeivel kell összehasonlítani. Ha találunk olyan számpát amely kielégíti a „2” -es és „3” -as feltételt, akkor mindkettőt megjelöljük, és a számpár elemeit növekvő sorrendbenegy új oszlopba egymás mellé írjuk, majd zárójelben megjelöljük a különbségüket is. • A második oszlopból a harmadik oszlopot az előző pontban leírt módon képezzük, de az összevonás feltétele az, hogy a zárójelben lévő összes szám megegyezzen, és ugyanazon változók hiányozzanak mindkét csoportból, és az első decimális számok különbsége 2 pozitív egész kitevőjű hatványa legyen, és a hátrább álló csoportból való decimális szám legyen a nagyobb. A nem jelölt csoportok a primimplikánsok • A szükséges primimplikánsok kiválastása a primimplikáns táblázattal történik Digitálistechnika I.