Visão Computacional Geometria de Transformações

1. Luiz M. G. Gonçalves Visão ComputacionalGeometria de Transformações

2. Transformações • Vetores, bases e matrizes • Translação, rotação e escala • Coordenadas homogêneas • Rotações e translações 3D

3. Uso de transformações • Construir modelos complexos a partir de componentes simples • Transformar coordenadas de câmera em mundo, objeto e imagem e vice-versa • Analisar efeitos de transformações rígidas e não rígidas em objetos xc yc xim yim yw zc yo zo xw xo zw

4. Cinemática

5. Combinação linear • Dados dois vetores v1e v2,ande uma distância qualquer na direção de v1 e então ande outra distância na direção de v2 • O conjunto de todos os lugares (vetores, pontos) que podem ser atingidos é dado pelas combinações lineares possíveis entre v1e v2 • Um conjunto de vetores é dito linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros

6. Combinação linear • V = k1V1+k2V2 V = k1V1+k2V2 k2V2 v2 v1 k1V1

7. Bases vetoriais • Uma base vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes entre si, cuja combinação linear leva a qualquer lugar dentro do espaço, isto é, varre o espaço. • Para varrer um espaço n-dimensional, são necessários n vetores • Se a base é normalizada e os vetores mutu-amente ortogonais, ela é dita ser ortonormal • Obviamente, há muito mais que uma base possível para um dado espaço vetorial.

8. Representação de vetores • Todo vetor tem uma representação única numa dada base • Os multiplicadores pelos vetores da base são chamados de componentes ou coordenadas • Mudando a base, muda os componentes, mas não o vetor V= v1E1+v2E2+...+vnEn • Os vetores E1, E2, ..., En são a base • Os escalares v1, v2 , ..., vn são os componentes de v com respeito à base.

9. Transformação Linear e Afim • Uma função (ou mapeamento ou ainda transformação) F é linear se, para todos os vetores v1 e v2e todos escalares k: F(V1+V2) = F(V1) + F(V2) F(kV1) = kF(V1) • Qualquer mapeamento linear é completamente especificado pelo seu efeito numa base vetorial

10. Efeito na base v = v1E1+ v2E2+ v3E3 F(v) = F(v1E1+v2E2+v3E3)= =F(v1E1)+F(v2E2)+F(v3E3)= =v1F(E1) + v2F(E2)+v3F(E3) • Uma função F é afim se ela é linear mais uma translação • Então a função y = mX+b não é linear, mas é afim

11. Transformando um vetor • As coordenadas do vetor da base transformado (em termos dos vetores da base original): F(E1) = f11E1 +f21E2+f31E3 F(E2) = f12E1 +f22E2+f32E3 F(E3) = f13E1 +f23E2+f33E3 • O vetor geral V transformado torna-se: F(V) = v1F(E1) + v2F(E2)+v3F(E3) = v1(f11E1+f21E2+f31E3)+v2(f12E1+f22E2+f32E3)+v3(f13E1+f23E2+f33E3)= (f11v1+f12v2 +f13v3)E1+(f21v1+f22v2+f23v3)E2+(f31v1+f32v2+f33v3)E3

12. Transformando um vetor • Suas coordenadas ainda em referência a E tornam-se: v1´= f11v1 +f12v2+f13v3 v2´= f21v1+f22v2+f23v3 v3´= f31v1+f32v2+f33v3 • Ou simplesmente vi = fijvj que é a fórmula de multiplicação matricial

13. Multiplicação de matrizes! • Uma matriz F de dimensões nxn representa uma função linear em n dimensões • A i-ésima coluna mostra o que a função faz ao vetor de base correspondente • Transformação é uma combinação linear das colunas de F • Primeiro componente do vetor de entrada escala a primeira coluna da matriz • acumula no vetor de saída • repete para cada coluna e componente

14. Multiplicação matricial • Usualmente calcula-se de modo diferente • faça o produto interno da coluna i da matriz com o vetor de entrada para conseguir componente i do vetor de saída: v1´ f11 f12 f13 v1 v2´ = f21 f22 f23 v2 v3´ f31 f32 f33 v3

16. Translação

17. Rotação

18. Matriz de rotação possui vetores unitários

19. Representação da rotação

20. Exemplo de rotação

21. Relações espaciais • Representação em relação a um frame (sistema de coordenadas) • P (X,Y,Z)

22. Orientação

23. Orientação

24. Matriz de orientação

25. Propriedade elementar (unitária)

26. Juntando orientação e posição

27. Coordenadas Homogêneas

28. Juntar rotação e translação

29. Coordenadas homogêneas • Translação não é linear. Como representar em forma de matriz? • Adiciona uma coordenada extra a cada vetor x´ 1 0 0 tx x y´ = 010 ty y z´ 00 1 tz z 1 0 0 0 1 1 • Coordenada extra é chamada de homogênea (ou w) • Transformação denominada homogênea

30. Transformação Homogênea

33. Translação pura

34. Roll, Pitch, Yaw

35. Rotação em torno de cada eixo

36. Generalização da Rotação

37. Exemplo de rotação + translação

38. Exemplo: continuação

45. Invertendo a transf. homogênea