MATRICES

1. MATRICES

2. 1.Definicion 2.Tipos 3.Aplicaciones 3.1. Resolución de sistemas de ecuaciones y de inecuaciones 3.2. En el estudio de las cónicas 3.3. Aplicaciones economicas INDICE

3. Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. 1.DEFINICIÓN

4. Matriz Nula: Matroz en la que todos sus elementos son nulos. Matriz Rectangular: Matriz que tiene distinto numero de fila que de columna. Matriz Diagonal: Solo los elementos de la diagonal principal no son nulos. Matriz Escalar: Es una matriz diagonal, con la diferencia de que todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Matriz Unidad: Matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Matriz transpuesta: Matriz que se obtienen de intercambiar las filas por las columnas. Matriz simétrica: matriz en la que sus conjugados son iguales. Aquí también se cumple que si obtiene su transpuesta es la misma matriz original. Matriz Antisimetrica: Aquí sus conjugados tiene signos distintos y la diagonal principal es nula. Matriz Negativa u Opuesta: Matriz que se obtiene de intercambiar los signos de la mtriz original. Matriz Triangular superior: aquella matriz en la que los elementos por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Matriz Triangular Inferior: Matriz donde sus elementos por encima de la diagonal principal son nulos. 2.TIPOS

5. 3.1. Resolución de sistemas de ecuaciones y de inecuaciones Definición Un sistema de ecuaciones lineales son dos o más ecuaciones lineales que se tienen que cumplir simultáneamente. Sea el sistema de ecuaciones lineales: a11x1+ ... + a1nxn = b1a21x1 + ... + a2nxn = b2....................................am1x1 + ... + amnxn = bm A los términos a11, a12, ... a1n, a22, ... (en general aij) se les llama coeficientes y a los términos b1, b2, ... bm se les llama términos independientes. Cuando todos los términos independientes son cero el sistema se llama homogéneo. Una solución de estos sistemas es xi = 0 (esta solución se llama solución trivial y las soluciones distintas de cero se llaman soluciones no triviales). Un conjunto de valores s1, s2, ... sn tal que si sustituimos s1 por x1, s2 por x2, ... y snpor xnse cumplen las ecuaciones, se llama conjunto solución. 3.APLICACIONES

6. Métodos de resolución (igual número de ecuaciones que incógnitas) Método de eliminación por substitución 2x-3y=5  x -  y = 2 consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra. x = 2 + y 2(2 + y) = 5. Resolviendo esta ecuación obtenemos y = -1 y sustituyendo este valor en uan de las ecuaciones obtenemos el valor de la otra incógnita. Método de eliminación por igualación 2x-3y=5  x -  y = 2 Despejando x en la primera ecuación x = (5 + 3y)/2 y en la segunda x = 2 + y Igualando (5 + 3y)/2 = 2 + y. Resolviendo la ecuación obtenemos y = -1 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones obtenemos x = 1. Método de eliminación por reducción 2x-3y=5  x -  y = 2 Multiplicando la segunda ecuación por -2, queda:  2x-3y=5-2x + 2y = -4 sumando las dos ecuaciones obtenemos -y = 1. Luego y = 1 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones tenemos que x = 1. Método de Cramer Sea el sistema de ecuaciones lineales: a11x1+ ... + a1nxn = b1 a21x1+ ... + a2nxn = b2 .................................... am1x1+ ... + amnxn = bm

7. 3.2. En el estudio de las cónicas Las curvas (como elipse, la parábola y la hipérbola) que se obtienen al seccionar un cono por un plano se llaman cónicas. Si desarrollamos la ecuación (ax + by + c)2 = 0 podemos expresarla de esta forma: a00+ 2a01x + 2a02y + a11x2 + 2a12xy + a22y2 = 0 Esta es la ecuación general de cualquier cónica. Esta ecuación se puede expresar elegantemente en forma matricial: Si el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero, se dice que la cónica es degenerada y no degenerada en caso contrario. La ecuación general puede simplificarse (girando y trasladando los ejes coordenados) de forma que sólo queden los términos elevados al cuadrado y el término independiente. Esta forma de la ecuación se llama ecuación reducida o canónica de la cónica. Haciendo los cambios oportunos la ecuación general se puede transformar en una de los siguientes: x2/ a2 + y2 / b2 = 1  (elipse, cuando a = b circunferencia).x2 / a2 + y2 / b2 = -1  (elipse imaginaria).x2 / a2 + y2 / b2 = 0  (par de rectas imaginarias que se cortan en un punto real).x2 / a2 - y2 / b2 = 1  (hipérbola).x2 / a2 - y2 / b2 = 0  (par de rectas reales que se cortan).x2  -  2py = 0 (parábola).y2  -  2px = 0 (parábola).x2  -  a2  = 0  (par de rectas reales paralelas).x2  +  a2  = 0  (par de rectas imaginarias paralelas).x2  = 0  (par de rectas reales coincidentes).

8. Conversión de la ecuación general a su forma reducida o canónica Sea a00 + 2a01x + 2a02y + a11x2 + 2a12xy + a22y2 = 0 la ecuación que tenemos que convertir a su forma reducida.  Haciendo un giro de ángulo a, las nuevas coordenadas (x ', y ') quedarían de acuerdo con las fórmulas de giro de coordenadas (ver Coordenadas rectangulares) x = x'cosa - y'senay = x'sena + y'cosa Sustituyendo en la ecuación general las fórmulas del giro de coordenadas y operando nos queda a00+ 2a'01x' + 2a'02y' + a'11x'2 + 2a'12x'y' + a'22y'2 = 0 Los más atentos se habrán dado cuenta que a00 no tiene el ' y puede que crean que es un error. Pues no. a00 no cambia (se dice que es un invariante). Los más valientes que hagan las operaciones comprobarán lo anterior y también que 2a'12 = - (a11 - a22)sen(2a) + 2a12cos(2a).  Para que nos desaparezca el término en x'y' tenemos que hacer a'12 = 0, entonces: (a11 - a22)sen(2a) = 2a12cos(2a) . Dividiendo todo por 2a12cos(2a) y despejando queda: tan(2a) =  2a12 / (a11 - a22) Por lo tanto, eligiendo el ángulo de giro de tal forma que la tangente del doble del ángulo sea igual al cociente indicado nos desaparece el término en xy y la ecuación nos queda así: a00+ 2a'01x' + 2a'02y' + a'11x'2 + a'22y'2 = 0 Ahora haciendo una traslación de los ejes (los nuevos serán x'', y'') eliminaremos los términos en x' e y'. Las fórmulas de traslación son (ver Coordenadas rectangulares): x' = x'' + h  y' = y'' + k  Sustituyendo en la ecuación general las fórmulas de la traslación de coordenadas y operando nos queda a''00 + 2a''01x'' + 2a''02y'' + a'11x''2 + a'22y''2 = 0 Los valientes que lo hagan verán que a''01 = a'11h + a'01 y que a''02 = a'22k + a'02 Para que a''01 = 0 tenemos que hacer h = - a'01/a'11 . Claro que esto sólo se puede hacer si a'11 no es cero.   Para que a''02 = 0 tenemos que hacer k = - a'02/a'22 . Claro que esto sólo se puede hacer si a'22 no es cero. 

9. 3.3. Aplicaciones economicas Entre las aplicaciones de la diagonalización de matrices cuadradas se encuentra el análisis de la solución de un sistema dinámico a lo largo del tiempo. Un sistema se caracteriza por el estado de las n variables que lo determinan y se puede representar por un vector x de Rn cuyas componentes expresan los valores de esas variables. Si el estado evoluciona a lo largo del tiempo modificando su valor en cada periodo (mn, hora, día, mes, ...), es muy común que la relación entre los estados del sistema en dos periodos sucesivos se exprese en la forma xp+1=Axp donde A es una matriz cuadrada de orden n y xp representa el estado del sistema en el periodo p. Entonces basta conocer el estado del sistema en el periodo inicial x0 (estado inicial) para poder calcular el estado del sistema en cualquier periodo. En efecto si x0 es conocido: x1=Ax0 ; x2=Ax1, x2=A(Ax1), x2=A2x0 de este modo xm=Axm-1=A(Am-1x0)=Amx0. Por lo tanto para conocer el estado del sistema en el periodo m, es necesario el cálculo de Am. Tal cálculo es, en general, complicado, pero se simplifica notablemente si A es diagonalizable ya que A=PDP-1, siendo D diagonal y Am=PDmP-1 Ejemplo: Se estudian los mercados de aceite de oliva y de aceite de semillas de un determinado país. Estos dos mercados estaban en equilibrio, pero una gran campaña publicitaria sobre los beneficios para la salud del consumo del aceite de oliva ha generado considerables distorsiones en los mismos. La distorsión en cualquiera de los mercados en el periodo t+1 es una función de la distorsión de los dos mercados en el periodo anterior, y más concretamente según las relaciones: X t+1 = 0.4X t + 0.5Y t Y t+1 = 0.2X t + 0.1Y t