1 / 24

4. KARTEZYEN KOORDİNATLAR

4. KARTEZYEN KOORDİNATLAR. M.Feridun Dengizek. Uzayda herhangi bir noktanın yerinin (konumunun) belirtilmesi için iki ayrı koordinat sistemi kullanılır. Bunlar; Polar koordinat sistemi Kartezyen koordinat sistemi

rhoda-villarreal
Download Presentation

4. KARTEZYEN KOORDİNATLAR

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 4. KARTEZYEN KOORDİNATLAR M.Feridun Dengizek

  2. Uzayda herhangi bir noktanın yerinin (konumunun) belirtilmesi için iki ayrı koordinat sistemi kullanılır. Bunlar; Polar koordinat sistemi Kartezyen koordinat sistemi Yaşadığımız iç mekanlar genellikle kübik olduğu için kübik hacımlar için konum koordinatları verilmesi daha kullanışlıdır. Bu nedenle vektörlerin kartezyen koordinatlarda tanımlanması işleri dahada kolaylaştırır. İki boyutlu problemler için düzlemsel kartezyen koordinatların (Coplanar coordinates) kullanılması yeterli olmaktadır. KARTEZYEN KOORDİNATLAR

  3. İki boyutlu kartezyen koordinatlarda gösterilmiş F kuvvetinin x eksenindeki iz düşümü Fx y eksenindeki iz düşümü Fy olarak tanımlanır. FX=F*Cosϴ Fy=F*Sinϴ Şekil 2 de F kuvvetinin y ekseninde yönü negatif olduğundan Fy= -F*Sinϴ KARTEZYEN KOORDİNATLARDA KUVVET TANIMI Şekil 1 Şekil 2

  4. Kartezyen vektör notasyonunda x yönündeki vektörler için i y yönündeki vektörler için j Notasyonları kullanılır. Kartezyen notasyonu ile şekil 3 deki F vektörü şeklinde yazılır. F üzerindeki ok bu değerin vektörel bir değer olduğunu belirtir KARTEZYEN VEKTÖR NOTASYONU Şekil 3

  5. Toplanacak vektörler önce kartezyen koordinat sistemine göre bileşenlerine ayrılırlar Sonra her bileşen kartezyen notasyonuna uygun olarak yazılırlar. F1=F1x+F1y F2=-F2x+F2y F3=F3x-F3y FR=F1 +F2 + F3 FR=(F1x i+F1y j )+(-F2x i +F2y j)+(F3xi -F3yj) FR=(F1x-F2x+F3x)i+(F1y +F2y -F3y)j FRx=ΣFX FRy=ΣFy FR=(FRx)i+(FRy )j  KARTEZYEN VEKTÖR TOPLAMASI

  6. PROBLEM 4.1PROBLEM 3.2 NİN KARTEZYEN VEKTÖR NOTASYONU İLE ÇÖZÜMÜ FR=FA+FB FA=-FAx-FAy FB=FBx-FBy FAx=-6,000*Cos60 =-3,000N FAy=-6,000*Sin60 =-5,196N  FA=(-3,000i - 5,196j)N FBx=2,000*Cos45 =1,414N FBy=-2,000*Sin45 =-1,414N  FB=(1,414i – 1,414j)N FRx=ΣFX  FRx=-3,000+1,414N =-1,586N FRy=ΣFy  FRy=-5,196-1,414N =-6,610N

  7. İki boyutlu vektör işlemlerinde kartezyen notasyonu kullanılmadan vektörel işlemler kolaylıkla yapılır. Ancak üç boyutlu vektör işlemlerinde kartezyen notasyonu kullanılmadan sonuca ulaşmak daha zordur. Kartezyen koordinat sisteminde x,y,z eksenlerinin yönleri sağ el kuralı ile tespit edilir. 3 BOYUTLU VEKTÖRLERDE KARTEZYEN NOTASYONU

  8. KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ MODEL GÖRÜNÜŞLER

  9. 3 Boyutlu vektörün büyüklüğü F=Fx i +Fy j +Fz k 3 Boyutlu vektörün açısı. Bu açı koordinat düzleminde x,y,z eksenleri ile Toplam kuvvet F vektörünün arasındaki A, B, C açılarıdır. A açısı x ekseni ile F vektörü arasında B açısı y ekseni ile F vektörü arasında C açısı z ekseni ile F vektörü arasındadır 3 BOYUTLU VEKTÖRLERDE KARTEZYEN NOTASYONU

  10. 3 BOYUTLU VEKTÖRLERDE KARTEZYEN NOTASYONU F vektörü kartezyen notasyonu ile yazılması Fx=F*CosA Fy=F*CosB Fz=F*CosC F vektörü Büyüklüğü

  11. İKİ AÇISI BİLİNEN ÜÇ BOYUTLU VEKTÖR ANALİZİ Bileşenlerine ayrılacak vektörün kuyruğu koordinat eksenlerinin kesiştiği O noktasında olmalıdır. Eğer verilen vektörün büyüklüğü ile birlikte iki açısı biliniyorsa bilinmeyen diğer açı aşağıdaki bağıntıdan bulunabilir. Daha sonra aşağıdaki bağıntılar kullanılarak vektörün x,y,z eksenlerindeki bileşenleri bulunur.

  12. İKİ AÇISI BİLİNEN ÜÇ BOYUTLU VEKTÖR ANALİZİ FI =F* sinB Fx =FI * sinϴ Fx=F*sinB*sinϴ Fy=F*cosB Fz =FI * cosϴ Fz =F* sinB *cosϴ Eğer verilen iki açıdan birisi koordinat düzlemlerinden birindeki iz düşümün açısı ise bu durumda trigonometri kullanılarak bu açının iki eksendeki bileşenleri bulunarak çözüme gidilmelidir.

  13. Problem 4.2 • Bir odanın tam köşesinde çakılı bir halka halat ile 200 N luk bir kuvvetle çekilmektedir. • İp dikey köşe çizgisinden 450 , yatay köşe çizgisinden ise 600 açıda çekilmektedir. • Uygulanan kuvvetin x,y,z eksenlerindeki bileşenlerini kartezyen koordinat notasyonu ile yazınız. ÇÖZÜM  C=600 veya C=1200 C=1200 odanın sınırları dışında kalacağından, C=600 olarak tespit edilir. F=F*CosA i + F*CosB j + F*CosC k F=200*cos60i + 200*Cos45j + 200*Cos60k F=100i + 141.42j + 100k  Fx=100N, Fy=141.42N, Fz=100N

  14. 3 BOYUTLU VEKTÖRLERİN TOPLAMASI • İki veya daha fazla üç boyutlu vektörün toplanması için önce her vektörün kartezyen notasyonu ile x, y, z bileşenlerine ayrılmış olarak yazılması gerekir. • Bileşenlere ayrılan vektörler i, j, ve k olarak üç eksende toplamları alınır. • Tüm vektörlerden elde edilmiş bu üç eksendeki bileşenlerinden toplam sonuç vektörünün büyüklüğü ve açıları toplanarak bulunmuş olur.

  15. Bir odanın tam köşesinde çakılı bir halka halat ile 100 N luk bir kuvvetle çekilmektedir. Halat zemin düzleminden 600 , halatın zemin üzerindeki iz düşümü ise duvar düzlemlerinden 450 açıda çekilmektedir. Uygulanan kuvvetin x,y,z eksenlerindeki bileşenlerini kartezyen koordinat notasyonu ile yazın. Üç eksendeki büyüklüklerini bulunuz Halatın köşe çizgilerinden açılarını bulunuz. Problem 4.3

  16. Problem 4.3 Çözümü • Önce F vektörünün zemin üzerindeki iz düşümü F’ kuvvetini bulalım • FI =F*cos60 F’=100*cos60=50 N • Fx=F’*sin45 Fx=50*sin45=35.36N • Fz=F’*cos45 Fz=50*cos45=35.36N • B=900-600  B=300 • Fy =F*cosB Fy=100*cos30=86.6N F=35.36 i+86.6j+35.36k B=300

  17. Bir halkadan iki ayrı halat ile farklı yönlerde kuvvet uygulanmaktadır. Halatlardan birisinden belirtilen açılarda 300 N kuvvet etki etmektedir. Halka üzerinde y ekseni yönünde toplam FT=800N toplam kuvvet ortaya çıkabilmesi için F2 kuvvetinin büyüklüğünü ve açılarını bulunuz. Problem 4.4

  18. Problem 4.4 Çözümü • Problemin çözümü için kuvvetlerin ayrı ayrı bileşenlerinin bulunması gerekir. • F1 kuvvetinin hem büyüklüğü hem açıları bilindiği için bileşenleri kolaylıkla bulunur. F1 =(212.13i + 150j – 150k)N

  19. Problem 4.4 Çözümü • F2 Kuvvetini analiz edebilmek için elde hiçbir veri bulunmamaktadır. Ancak Toplam kuvvet açıları ile birlikte bilindiği için toplam kuvvetin analizinden F2 kuvvetiinin bileşenleri bulunabilir • FT toplam kuvvetinin hem büyüklüğü hem yönü bilindiği için kartezyen koordinat sisteminde kolaylıkla yazılır. FT=FTx i + FTy j + FTz k FT=(0 i + 800 j +0 k)N

  20. Problem 4.4 Çözümü • F2=(-212 i + 650 j -150 k)N

  21. Problem 4.4 çözümü (Özet) • Birden fazla üç boyutlu vektörlerin toplanmasında önce bilinen vektörler bileşenlerine ayrılır. • Sonra her üç eksendeki bileşenler toplanarak eşitlik kurulur. • Bileşenler bulunduktan sonra bilinmeyen açı değerleri tespit edilir

  22. Problem 4.5 Yanda görülen halka 500N kuvvet ile belirtilen açılarda çekiliyor. Bu halkaya gelen kuvveti kartezyen notasyon ile yazınız. Çözüm İki açı biliniyor. Üçüncüyü bulalım • Cos B=+/- 0.707 olması iki çözüm olduğunu göstermektedir. Bunlar • 45o • 135o • Şekilden açının y ekseni üstünde eksi yönde olduğu için -0.707 doğru çözümdür.  B= 135o

  23. Problem 4.6 Yandaki resimde görünen kancanın üzerinde etkin olan toplam kuvvetin büyüklüğünü ve açılarını bulunuz. Önce F1 kuvvetinin eksenlerdeki bileşenlerini bulalım. F’1=600*(4/5) = 480N F1x=F’1*sin30 =480*sin30=240N F1y=F’1*cos30 =480*cos30=416N F1z=F1*(-3/5) =600*(-3/5) =-360N  F1=(240i+416j-360k)N Sonra F2 yi kartezyen koordinatlarda bulalım  B=45o veya B=135o B<90 B=45o

  24. Son olarak Toplam kuvveti bulalım. • FT=F1+F2 • FT= (240i+416j-360k)N + (-200i+282j+200k)N • FT= ((240-200)i +(416+282)j+ (-360+200)k )N • FT =(40i+698j-160k)N

More Related