1 / 21

Η ΒΕΛΟΝΑ ΤΟΥ BUFFON… ΤΑ ΜΥΡΜΗΓΚΙΑ... ΚΑΙ ΤΟ Π !!!

Η ΒΕΛΟΝΑ ΤΟΥ BUFFON… ΤΑ ΜΥΡΜΗΓΚΙΑ... ΚΑΙ ΤΟ Π !!!. Μαθητές του Λυκείου Λινόπετρας Ανδρέου Μαρίνα - Νικολάου Ειρήνη – Οδυσσέως Νίκος - Παλάζης Κυριάκος – Χαραλάμπους Νεκταρία – Χ’’Παναγή Στέλλα – Χριστοδούλου Χρυστάλλα Καθηγήτρια Μαθηματικών Δημητρίου Τέρψα.

ria-le
Download Presentation

Η ΒΕΛΟΝΑ ΤΟΥ BUFFON… ΤΑ ΜΥΡΜΗΓΚΙΑ... ΚΑΙ ΤΟ Π !!!

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Η ΒΕΛΟΝΑ ΤΟΥ BUFFON… ΤΑ ΜΥΡΜΗΓΚΙΑ... ΚΑΙ ΤΟ Π !!! Μαθητές του Λυκείου ΛινόπετραςΑνδρέου Μαρίνα - Νικολάου Ειρήνη –Οδυσσέως Νίκος - Παλάζης Κυριάκος –Χαραλάμπους Νεκταρία – Χ’’Παναγή Στέλλα –Χριστοδούλου Χρυστάλλα Καθηγήτρια ΜαθηματικώνΔημητρίου Τέρψα

  2. Μπορεί να υπολογιστεί ο αριθμός πμέχρι κάποια δεκαδικά ψηφία χρησιμοποιώντας οδοντογλυφίδες και έναριγέ τραπεζομάντιλο; • Με ποιο τρόπο τα μυρμήγκια μπορούν να μετρούν το εμβαδόν μικρών ρωγμών στο έδαφος, όπου θα μπορούσαν να εγκαταστήσουν τη μυρμηγκοφωλιά τους; • Τα πιο πάνω ερωτήματα, αν και φαινομενικά ασύνδετα, βασίζονται στην ίδια μαθηματική αρχή: Το πρόβλημα της βελόνας του Buffon.

  3. 1.1. Η βελόνα του Βuffon • Η βελόνα του Βuffon είναι από τα παλαιοτέρα προβλήματα στον τομέα της γεωμετρικής πιθανότητας. • Διατυπώθηκε αρχικά το 1733 από τον Γάλλο φυσιογνώστη και μαθηματικό George-Louis Lecrerc de Buffon (1707-1788) και παρουσιάστηκε με λύση από τον ίδιο το 1777.

  4. Το πρόβλημα περιλαμβάνει: την ρίψη μιας βελόνας μήκους ℓ σε μια επιφάνεια με ισοδιάστατες παράλληλες ευθείες με απόσταση d και τον υπολογισμό της πιθανότητας η βελόνα να τέμνει μια από τις παράλληλες γραμμές.

  5. Για ℓ <d, τότε (1) • Αν ρίξουμε κ οδοντογλυφίδες και έχουμε λ επιτυχίες, τότε η πιθανότητα δίνεται από τον τύπο: (2) • Εξισώνοντας τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει η εξίσωση: (3)

  6. Προσπάθειες μαθηματικών για υπολογισμό του π

  7. Απόσταση στην κοντινότερη ευθεία (D) ½ ημθ Απόσταση μεταξύ ευθειών = ℓ Μήκος βελόνας = 1 1.2. Η απλούστερη περίπτωση • ℓ =1, d=1 • Μεταβλητές:1) Γωνία θ (0≤θ≤π) 2) Απόσταση D του μέσου της βελόνας από την πιο κοντινή γραμμή, με • ▪ Η βελόνα θα τέμνει τη γραμμή αν

  8. Απόσταση κέντρου βελόνας - κοντινότερης ευθείας f(x) = ½ ημθ Πιθανές τιμές του θ Ποια η πιθανότητα να κτυπήσει τη γραμμή; • Η πιθανότητα μιας επιτυχίας ισούται με τον λόγο Εσκιασμένο / Εορθογωνίου

  9. όπου συνφ0 = d/ℓ 1.3. Οι άλλες περιπτώσεις • Για ℓ ≤ d • Για ℓ ≥ d

  10. Πέντε ανεξάρτητες σειρές ρίψεων μιας βελόνας με ℓ = d/3. • Εκτιμητής για το π: με διακύμανση • r = ℓ /d, n: αριθμός ρίψεων, Ν: αριθμός τεμνόμενων γραμμών.

  11. 2.1 Η προσομοίωση του πιο πάνω προβλήματος με Η.Υ. • http://www.angelfire.com/wa/hurben/buff.html • http://www.math.csusb.edu/faculty/stanton/m262/buffon/buffon.html

  12. Nigel Franks Βιολόγος Eamonn Mallon Βιολόγος LeptothoraxAlbipennis 3.1. Τα μυρμήγκια που ξέρουν το θεώρημα του Buffon !!!

  13. 1η Επίσκεψη 2η Επίσκεψη Κοινά σημεία Φερομόνη

  14. Όπου Μ, Ν : συνολικά μήκη των δύο τεθλασμένων γραμμών Κ : αριθμός κοινών σημείων διαδρομών Εκτιμώμενο εμβαδόν οποιασδήποτε επίπεδης επιφάνειας

  15. 3.2. Μαθηματικά και ζωή Τα μαθηματικά είναι πιο ενδιαφέροντα και δραματικά από ότι συνήθως οι περισσότεροι άνθρωποι νομίζουν. Βρίσκονται πλησιέστερα στην ζωντάνια και ενεργητικότητα της ίδιας της φύσης, αποτελώντας αναπόσπαστο κομμάτι της, παρά σε μία αποστεωμένη αυστηρότητα με την οποία συχνά συγχέονται. Η Φύση έχει ένα μοναδικό και ανεξήγητο τρόπονα χρησιμοποιεί Μαθηματικά.

  16. 3.3. Η Φύση στη διδακτική των Μαθηματικών Η φύση με την ομορφιά και την ζωντάνια της θα μπορούσε να δώσει πολλά παραδείγματα για τη διδασκαλία πολλών μαθηματικών εννοιών, με τρόπο ιδιαίτερα ελκυστικό. Στην Μαργαρίτα Μπέλα (Bellis perenis), υπάρχουν 21 έλικες προς την μία κατεύθυνση και 34 προς την άλλη. Στα κουκουνάρια υπάρχουν 8 έλικεςπρος την μία κατεύθυνση και 13 προς την άλλη.

  17. Ηλιοτρόπιο Κυψέλες Τυχαίο Λουλούδι Μπρόκολο Romanesque

  18. «Όλα τα αποτελέσματα στη φύση δεν είναι παρά οι μαθηματικές συνέπειες λίγων αναλλοίωτων νόμων» P.S. Laplace «Ο Θεός Γεωμετρεί» για άλλη μια φορά μπροστά στα έκπληκτα μάτια του ανθρώπου, που το πολύ που μπορεί να κάνει είναι να ανακαλύψει αυτές τις κρυμμένες αρμονίες του Σύμπαντος.

  19. Τελικά, μάλλον τα φυτά ξέρουν καλά μαθηματικά και όπως φαίνεται η Φύση ολόκληρη υπακούει σε μαθηματικές αρμονίες…

  20. «Χωρίς μουσική, η ζωή θα ήταν λάθος» έγραφε ο Νίτσε Χωρίς Μαθηματικά; «Δεν θα είχαμε νιώσει την ηδονή της ανακάλυψης του πολυδιάστατου και πανέμορφου κόσμου που μας περιβάλλει» Αθανάσιος Φωκάς Ελευθεροτυπία Αθηνών ΤΕΛΟΣ

  21. ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ... ΛΕΜΕΣΟΣ 2005

More Related