Slutning: Logik som tænknings-model

En hovedgrund for konstruktionen af et logisk sprog er at kunne give en præcis definition af begreber som slutning, gyldigt argumentog bevis. Slutning: Logik som tænknings-model En bruger af et naturligt sprog vil sandsynligvis godkende følgende sætninger som logisk sammenhængende: Alle hunde elsker kødben og Orla er en hund. Derfor elsker Orla kødben. På den anden side vil samme sprogbruger måske synes at det følgende argument er fejlagtigt: Nogle hunde har lopper og Orla er en hund. Derfor må Orla have lopper. FOL-modul3

Acceptable ræsonnementer kan opstilles i abstrakt form som slutningsregler. Fx kunne det første ovenfor fremsatte argument i FOL formuleres som nedenstående regel hvor H står for prædikatet ’hund’, og EKBfor prædikatet ’elsker kødben’: Slutningsregler (transformationsregler)  x(H(x)  EKB(x)) H(ORLA1) ╞ EKB(ORLA1) Det skal læses på følgende måde: Hvis formel  x(H(x)  EKB(x)) og formel H(ORLA1)er sande, så må også EKB(ORLA1)være sand. Symbolet ’╞’ svarer til natursproglige udtryk som derfor eller så følger deraf og lign.. Det symboliserer at den efterfølgende proposition er en konklusion af de to propositioner (præmisser) over stregen. FOL-modul3

Slutningsregler forts. Slutningsregler handler dog i praksis ikke om bestemte prædikatsudtryk; de formuleres som skemaer hvor variabler af formen p, q, r, sstår for vilkårlige propositioner, a, b, cstår for vilkårlige termer og x, y, zstår for genstandsvariabler. Tilføjes en indeks som i px, så står variablen p for en vilkårlig proposition der indeholder individtermen x. På den baggrund vises der i Figur L.2 to af FOL’s slutningsregler som gør rede for argumentet i slide 31. FOL-modul3

Figur L.2 Implikations-eliminerings Universal-eliminerings regel (modus ponens) regel [-elim] -elim] p x px p  q ╞ pa ╞ q FOL-modul3

Slutningsregler, bevis Forskellige slutningsregler kan blive kombineret for at aflede konklusioner gennem konstruktion af et bevis. Et bevis består af et sæt præmisser og en følge af formler hvor hver eneste af disse formler er afledt af forudgående formler eller præmisserne vha. en eller anden slutnings-regel. Fx kan den simple formel om Orla som elsker kødben nu formalt begrundes vha. beviset i nedenstående figur L.3. FOL-modul3

Figur L.3 trinformelbegrundelse 1.x(H(x)  EKB(x))præmis 2. H(ORLA1)præmis 3. H(ORLA1) EKB(ORLA1) -elim anvendt på trin 1.*,x substitueret med ORLA1** 4. EKB(ORLA1)  -elim på trin 2 og 3 *anvendelsen af slutningsregler på bestemte trin i et bevis vil fra nu af blive markeret ved reglens navn og tallet/tallene for de(t) trin reglen bliver anvendt på ** det bliver fra nu af udtrykt som x/ORLA1 FOL-modul3

Eliminerings- og introduktions-regler De elimineringsregler tager udgangspunkt i en præmis, der indeholder en bestemt logisk operator, og ender med en konklusion der ikke indeholder denne operator. Generelt findes der to slags slutningsregler – eliminerings og introduktions regler – for hver logisk operator. De introduktionsregler tager udgangspunkt i én eller flere præmisser der ikke indeholder en bestemt operator og ender med en konklusion der indeholder denne operator. FOL-modul3

Negations-intro(duktions) regel,indirekte bevis Mens mange slutningsregler kan udtrykkes i den hidtil udviklet notationsform, kræver nogle andre en udvidelse af denne. Neg(ations)-introduktions reglen tager sig fx sådan ud: For at bevise  p, antag per sand og bevis at det resulterer i en kontradiktion. Givet fx at du ved, at Anders ikke kan lide kødben (præmis1), og, forudsat at alle hunde kan lide kødben (præmis2), vil du gerne bevise at Anders ikke er en hund. Antag så at Anders er en hund (antagelse). Det berettiger dig til at konkludere (på grund af præmis2), at Anders kan lide kødben. Det modsiger så din oprindelige præmis1. Et bevis hvor man antager negationen af det man gerne vil bevise, kaldes også et indirekte bevis. (se Figur L.4) FOL-modul3

Figur L.4 trin formel begrundelse 1.  EKB(ANDERS)præmis 2. x(H(x)  EKB(x))præmis 2.1 H(ANDERS)antagelse for delbevis 2.2 H(ANDERS)  EKB(ANDERS)-elim 2 og 2.1 2.3 EKB(ANDERS)  -elim 2.1 og 2.2 2.4  EKB(ANDERS)gentagelse fra trin 1 3.  H(ANDERS)-intro regel, 2.1, 2.3, 2.4 FOL-modul3

Forklaring af beviset i Figur L.4 På trin 2.1 formuleres for det første antagelsen at den proposition man gerne vil bevise, ikke er sand. Præmisserne repræsenterer hvad man ved, og danner grundlaget for det man vil bevise. En antagelse (eng. assumption) i et bevis er noget man forsøgsvis fremsætter for at undersøge – i form af en delbevis – hvad der følger af denne antagelse på grundlag af præmisserne og eventuelt andre allerede beviste propositioner. For at gøre det tydeligt at det drejer sig om et delbevis (eng. subproof) indrykkes de trin på hvilke delbeviset foretages (trin 2.1-2.4). FOL-modul3

Da antagelsen i trin 2.1 fører – på grundlag af præmisserne – til en kontradiktion (proposition 2.3 og den gentagne præmis 1 på trin 2.4 – kan man (vha. negations-introduktionsreglen -intro ) slutte at antagelsen må være falsk. Forklaring af beviset i Figur L.4forts. Det fører på trin 3 til den konklusion ( H(ANDERS), man ønskede at bevise. trin formel begrundelse 1.  EKB(ANDERS)præmis 2. x(H(x)  EKB(x))præmis 2.1 H(ANDERS)antagelse for delbevis 2.2 H(ANDERS)  EKB(ANDERS)-elim 2 og 2.1 2.3 EKB(ANDERS)  -elim 2.1 og 2.2 2.4  EKB(ANDERS)gentagelse fra trin 1 3.  H(ANDERS)-intro regel, 2.1, 2.3, 2.4 FOL-modul3

Flereslutningsregler Der findes flere slutningsregler hvor der anvendes delbeviser. Det gælder fx for implikations-intro-reglen (-intro) og for universal-intro-reglen (-intro). I forbindelse med den første skal man antage p og hvis man i delbeviset på grundlag af præmisserne kan aflede q, så kan man konkludere p  q. I Figur L.5 vises der flere introduktions- og eliminerings-regler. FOL-modul3

Figur L.5 -intro -elim p p  q p q q ╞ p  q ╞ p ╞ q -intro-elim p p q p  q  p  q ╞ p  q ╞ q ╞ p -intro  - elim antag p  p afled q og  q  p p FOL-modul3

Tautologier, teoremer,logiske love Givet et sæt slutningsregler så vil der findes et sæt formler der kan bevises uden præmisser. Disse formler kaldes tautologier eller teoremer og genspejler indre egenskaber i logikken selv. Et teorem af stor betydning er loven om det udelukkede tredje som påstår at hver proposition enten er sand eller falsk (den kan ikke være ”ubestemt”). Loven siger at hver formel med formen p  p må være sand. Et indirekte bevis af dette teorem er vist i Figur L.6. FOL-modul3

Figur L.6 trin formel begrundelse 1.1 (p  p) antagelse 1.2.1 p antagelse 1.2.2 p  p -intro, 1.2 1.2.3 (p  p) gentagelse, 1.1. 1.3  p -intro, 1.21 – 1.2.3 1.4.1 p antagelse 1.4.2 p  p -intro, 1.4.1 1.4.3 (p  p) gentagelse 1.1 1.5 p -intro, 1.4.1-1.4.3 1.6 p -elim, 1.5 2. (p  p) -intro, 1.1-1.6 3. p  p -elim, 2. FOL-modul3

Logiske teoremer: De Morgan lovekontradiktionsprincip To vigtige logiske teoremer er de såkaldte De Morgan love: 1. (p  q)  p  q 2. (p q )  p  q Anvender man den første af disse love på loven om det udelukkede tredje, så viser det sig at p  p er ækvivalent med  (p  p). For at gøre det skal der bare substitueres  pfor q. Da – som lige bevist i Figur L.6 – princippet om det udelukkede tredje er en tautologi eller en logisk lov, så må  (p  p) også være en tautologi eller logisk lov. Det kaldes kontradiktionsprincip og siger at ingen formel både kan være (samtidig og i samme sammenhæng) sand og falsk. FOL-modul3

Øvelse 3.1 Med udgangspunkt i modelsituation2 - hvad kan du slutte af følgende præmis(ser) vha. slutningsreglerne: GED(NATALIE)  RIDER_PÅ(MEURICE, NATALIE)) a. x((TILSTEDE(x)  BARN(x))  FRANSK(x)) b. TILSTEDE(KATHY)  BARN(KATHY) a. BARN_AF(KATHY, PICASSO)  BARN_AF (KATHY, JACQUELINE) b.  BARN_AF(KATHY, PICASSO) Kan du formalt (dvs. på grund af de propositionslogiske slutningsregler) bevise at (p p) er en tautologi (dvs. uden præmisser)? (Hjælp: prøv at bevise propositionen indirekte, dvs. ved at starte med antagelsen at negationen af den proposition der skal bevises er sand.) FOL-modul3

Slutning: Logik som tænknings-model