Határozott integrál

1. Határozott integrál Összegek, területek, térfogatok

2. Területszámítás • Görbe vonal által határolt terület kiszámítása. • A terület felosztása: minden résznek csak az egyik határoló vonala görbe vonalú. • Görbe vonalú trapéz.

3. Görbe vonalú trapéz • A görbe vonalat az y=f(x) függvény grafikonjának tekinthetjük. • Keressük az y=f(x) grafikonja és az x-tengely közötti rész területét. 3

4. A görbe vonalú trapéz területe • Téglalapokkal közelítjük a keresett területet. • Az [a,b] szakaszt felosztjuk az a=x0, x1,..., xn=b pontok segítségével. • Az így kapott téglalapok magasságai az xk pontokban vett függvényértékek: f(xk). ΔTk

5. A görbe vonalú trapéz területe Az osztópontok n számának növelésével pontosabb eredményt kapunk.

6. Példa • Az y=x2 függvény alatti terület a [0,1] intervallumon. • Osztópontok:

7. A határozott integrál Az f függvény [a,b] intervallumon értelmezett határozott integrálja az összeg, ahol az xk osztópontokat az intervallum pontjai közül választottuk úgy, hogy a köztük levő távolság n növelésével zérushoz közelít.

8. A határozott integrál jele Felső határ Integrálási változó Integráljel Alsó határ Integrandus

9. helyett vagy Az integrálási változó • A függvény egy adott intervallumon vett határozott integráljának értéke a függvénytől függ, nem attól, hogy milyen betűvel jelöljük a független változóját. • Ha a t vagy u betűt jobban kedveljük, mint az x-et, nyugodtan írhatjuk

10. Geometriai értelmezés • Az y=f(x) pozitív függvény [a,b] intervallumon vett határozott integrálja egyenlő az adott intervallumon vett görbe vonalú trapéz területével.

11. Példa • Ábrázoljuk az integrálandó függvényt, és számítsuk ki az integrál értékét területszámítással:

12. Példa • Ábrázoljuk az integrálandó függvényt, és számítsuk ki az integrál értékét területszámítással:

13. A határozott integrál tulajdonságai • Az állandó szorzótényező kiemelhető az integrál elé:

14. + A határozott integrál tulajdonságai • Az összeg, különbség tagonként integrálható:

15. Példa

16. A határozott integrál tulajdonságai • Az integrálás határait feloszthatjuk:

17. Példa

18. A határozott integrál tulajdonságai • Ha a-tól a-ig integrálunk, az eredmény 0:

19. A határozott integrál tulajdonságai • Az integrálás határait felcserélve, az integrál előjelet vált.

20. Példa

21. A határozott integrál tulajdonságai • Ha az [a,b] intervallumban az f(x) függvény folytonos és integrálható, akkor van legalábbegy olyan x0 az intervallumban, hogy:

22. A határozott integrál tulajdonságai • Ha az [a,b] intervallumban az f(x) függvény maximuma M, és minimuma m, akkor:

23. A [0,1] intervallumon y=cosx Példa • Igazoljuk az egyenlőtlenséget:

24. A Newton-Leibniz tétel • Ha F(x) az f(x) függvény primitív függvénye az [a,b] intervallumon akkor:

25. Példa

26. Feladatok

27. Helyettesítés a határozott integrálnál • Új változó bevezetésekor ügyelni kell arra, hogy az integrálás határai is megváltozhatnak!

28. Parciális integrálás

29. Területszámítás integrállal • Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek által határolt síkrész területét.

30. Területszámítás integrállal • Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=2 egyenesek által határolt síkrész területét.

31. Területszámítás integrállal • Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek által határolt síkrész területét.

32. Számítsuk ki a két függvény grafikonja által határolt terület nagyságát: A grafikonok metszéspontjainak meghatározása – integrálási határok. A grafikonok felrajzolása, a keresett terület azonosítása. Az integrálok kiszámítása. Területszámítás integrállal

33. Területszámítás integrállal A grafikonok metszéspontjainak meghatározása – integrálási határok: A grafikon felrajzolása

34. Területszámítás integrállal Az integrálok kiszámítása: Felső határoló görbe Alsó határoló görbe

35. A forgástestek térfogata • Az y=f(x) folytonos függvény grafikonjának x=a és x=b közötti részének x tengely körüli forgatásával egy forgástestet kapunk.

36. A forgástestek térfogata

37. A gömb térfogata

38. A görbe ívhossza • A görbét a P0, P1,...,Pn pontok segítségével részekre osztjuk. • A görbe vonalat a pontokon át húzott húrokkal helyettesítjük

39. A görbe ívhossza • A k-adik húr hossza (Pitagorasz-tétel):

40. A görbe ívhossza

41. A kör kerülete • A félkörív hossza:

42. Vége!!!