KEKONGRUENAN

1. Definisi Jika a, b, dan m adalah bilangan bulat dengan m > 0, Bilangan a disebut kongruen dengan b modulo m jika m| (a – b) Ditulis : a b (mod m) Contoh : 37 mod 5  2, 9 mod 4  1 Juga -11 mod 3  4 karena -11 – 4 = -15 , yang habis dibagi 3 KEKONGRUENAN

2. Latihan : Isilah kongruensi berikut ! 1. 125  .....mod 10 2. 184  .....mod 4 3. 384  ..... Mod 7 Sifat-sifat kongruensi • Jika a  b mod m, maka : • 1. a + p  b + p (mod m) • ap  bp (mod m) • Jika a  b mod m dan c  d mod m, maka : • a. a + c  b + d (mod m) • b. ac  bd (mod m) Bukti Bukti

3. Jika a  b mod m maka a + p  b + p (mod m) Bukti : a  b (mod m) artinya m| ( a – b) atau terdapat bilangan bulat k shg (a – b) = mk Kita bentuk persamaan bahwa a – b = a +p – b – p (a – b) = (a + p) – (b + p) = mk Dari bentuk : (a + p) – (b + p) = mk berarti m |[(a + p) – (b + p)] sesuai bentuk bahwa • a + p  a + p (mod m) kembali

4. Jika a  b mod m , maka ap  bp mod m Bukti : a  b mod m ⇔ m | (a-b) Shg : (a – b) = mk, k bil. bulat Kita kali dengan suatu bil bulat p shg diperoleh : ⇔ (a – b).p = mkp, kp merupakan bil bulat ⇔ (ap – bp) = mkp, shg diperoleh : ⇔ ap  bp mod m kembali

5. Contoh : Hitunglah dua angka terakhir dari 32002 Jawab : Kita dapat menghitungnya dengan menggunakan modulo 100, Dimulai dari : 34 81 mod 100 dan 32  9 mod 100, Maka : 36  729 mod 100  29 mod 100 38  6561 mod 100 • 61 mod 100 310  61 x 9 (mod 100)  549 mod 100  49 mod 100 320 = (310)2  492 mod 100 • 2401 • 1 mod 100 Akhirnya diperoleh : 32002 = (320)100 . 32 1 . 32 mod 100  9 mod 100 Dua angka terakhir 32002 = 09

6. Tentukan sisa pembagian 32006 oleh 8 Jawab : Karena 32 = 9, maka 32 mod 8  1 32006 mod 8  (32)1003 mod 8  (32 mod 8)1003  11003  1 Jadi sisanya adalah 1 Carilah sisa pembagian 32006 dibagi oleh 11