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Cap 5 – Estabilidade

INTRODUÇ ÃO AO CONTROLO 1º semestre – 2011/2012. Cap 5 – Estabilidade. Transparências de apoio às aulas teóricas. Maria Isabel Ribeiro António Pascoal. Todos os direitos reservados

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Cap 5 – Estabilidade

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  1. INTRODUÇÃO AO CONTROLO 1º semestre – 2011/2012 Cap 5 – Estabilidade Transparências de apoio às aulas teóricas Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

  2. Objectivo e Sumário • Estabilidade de SLITs no sentido BIBO • Definição • Exemplosmotivadores • Aestabilidade e a localização dos pólos • Critério deRouth-Hurwitz • Exemplos • Referências • Cap.3 (Secção 3.7) – do livro de Franklin, Powel, Naemi, 5ª edição (referência principal)

  3. Exemplo motivador(controlo veloc. motor corrente contínua) Sistema de controlo de velocidade angularde um motor de corrente contínua Ea(s) Wm(s) Dinâmica davelocidadeangular Esquema proposto de controlo Wm(s) Ea(s) + k _ R(s) Como é a resposta a uma entrada de comando escalão unitário ?

  4. para Exemplo motivador(controlo veloc. motor corrente contínua) Como é a resposta a uma entrada de comando escalão unitário ? Transforma deLaplace unilateral inversa Resposta natural Resposta forçada

  5. Exemplo motivador(controlo veloc. motor corrente contínua) Escolha do ganho k do controlador A)k = 2 B)k = -2 Resposta natural tende parainfinito - sistema instável - Resposta natural tende parazero - sistema estável - Polo em +1 rads-1 (positivo) Polo em –3 rads-1(negativo) Resposta natural + resposta forçada Resposta natural + resposta forçada

  6. Estabilidade BIBO • BI = BoundedInput • BO = BoundedOutput • Sistema BIBO estável • sse para qualquer entrada limitada, a saída é um sinal limitado

  7. Estabilidade BIBO Resposta asinais limitados (BI = BoundedInputs) U(s) Y(s) Transformada inversade Laplace Considera-se u(t) limitado Y(s) Pergunta: A resposta natural é limitada (BO=BoundedOutput)? Localização dos pólos deG(s) determinam o comportamento qualitativo da resposta natural ESTABILIDADE INSTABILIDADE Pólos deG(s) com parte real negativa Pólos deG(s) com parte real positiva Resposta natural tende parazero Resposta natural explode limitado ilimitado

  8. Estabilidade BIBO Resposta asinais limitados (BI = BoundedInputs) Pólos deG(s) com parte real = 0 Multiplicidade 1 Multiplicidade superior a 1 Resposta natural exibe termo constante (polo real) ou oscilatório (par de pólos complexos conjugados) Resposta natural explode ESTABILIDADE MARGINAL INSTABILIDADE

  9. Sistema BIBO estável SISTEMA ESTÁVEL RESPOSTA NATURAL TENDE PARA ZERO SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA PRODUZEM SINAIS LIMITADOS NA SAÍDA SISTEMA ESTÁVEL PÓLOS DE G(s) COM PARTE REAL NEGATIVA

  10. Sistema BIBO instável SISTEMA INSTÁVEL RESPOSTA NATURAL EXPLODE (É NÃO LIMITADA) SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA PRODUZEM SINAIS ILIMITADOSNA SAÍDA SISTEMA INSTÁVEL • PELO MENOS UM PÓLO G(s) COM PARTE REAL POSITIVA, OU • PÓLOS SOBRE O EIXO IMAGINÁRIO COM MULTIPLICIDADE MAIOR DO QUE UM

  11. Sistema BIBO marginalmente estável SISTEMA MARGINALMENTE ESTÁVEL • RESPOSTA NATURAL • EXIBE TERMO CONSTANTE, OU • É OSCILATÓRIA (com oscilações de amplitude constante) • HÁ SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA • QUE PRODUZEM SINAIS ILIMITADOSNA SAÍDA • HÁ SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA • QUE PRODUZEM SINAIS LIMITADOS NA SAÍDA SISTEMA MARGINALMENTE ESTÁVEL • G(S) TEM PÓLOS COM PARTE REAL NULA E MULTIPLICIDADE 1 E NÃO TEM PÓLOS NO SPCD

  12. Respostas naturais: exemplos Resposta natural a uma entrada escalão unitária. Sistemas sem zeros e ganho estático unitário

  13. Respostas naturais: exemplos Resposta natural a uma entrada escalão unitária. Sistemas sem zeros e ganho estático unitário

  14. Respostas naturais: exemplos Resposta natural a uma entrada escalão unitária. Sistemas sem zeros e ganho estático unitário

  15. Estabilidade BIBO • Como estudar a estabilidade BIBO dos sistemas • Determinar a localização dos pólos • Factorizar o polinómio denominador da F.T. • Pode não ser fácil para ordens elevadas • Usar Matlab • É preciso saber a localização exacta dos pólos? • Ou basta saber se hápolos no spcd ou sobre o eixo imaginário? • Critério deRouth-Hurwitz • Permite concluir sobre aestablidade BIBO sem factorizar o polinómio denominador de G(s)

  16. Estabilidade BIBO Caracterizar a estabilidade do SLIT com FT G(s) Código matlab >> d=[1 4 3 2 1 4 4]; >> p=roots(d) p = -3.2644 0.6797 + 0.7488i 0.6797 - 0.7488i -0.6046 + 0.9935i -0.6046 - 0.9935i -0.8858 2 pólos no spcd SLIT instável

  17. Estabilidade BIBO (sistema de 1ª ordem) Exemplo sistema de 1ª ordem: Sistema de controlo de velocidade angularde um motor de corrente contínua Ea(s) Wm(s) + k _ R(s) Pólo = p= -(1+k) Sistema estávelsse Num sistema de primeira ordem, é condição necessária e suficiente para o sistema ser BIBO estável que os coeficientes do polinómio denominador sejam todos positivos Para k>-1, os coeficientes do polinómio denominador são positivos.

  18. Estabilidade BIBO (sistema de 2ª ordem) Exemplo sistema de 2ª ordem: Sistema de controlo de posiçãoangularde um motor de corrente contínua Dinâmica davelocidadeangular Integrador(posição angular é o integral davelocidade angular) Ea(s) Qm(s) + Wm(s) K _ R(s) 2 pólos Hipóteses possíveis 2 pólos reais 2 pólos complexos conjugados

  19. Estabilidade BIBO (sistema de 2ª ordem) Exemplo sistema de 2ª ordem: Sistema de controlo de posiçãoangularde um motor de corrente contínua 2 pólos Hipóteses possíveis 2 pólos reais 2 pólos complexos conjugados Num sistema de segunda ordem, é condição necessária e suficiente para o sistema ser BIBO estável que os coeficientes do polinómio denominador sejam todos positivos NÃO É GENERALIZÁVEL PARA ORDENS SUPERIORES

  20. Estabilidade BIBO: Critério de Routh-Hurwitz ESTABILIDADE: G(s) é estável ssetodos ospólostiverem parte real negativa. CONDIÇÃO NECESSÁRIA: os coeficientes do polinómio denominador devem ter todos o mesmo sinal NÃO É UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE! • Se os coeficientes do polinómio denominador • tiverem todos o mesmo sinal (todos positivos ou todos negativos) e estiverem todos presentes • É preciso fazer ANÁLISE DE CRITÉRIOS PARA ESTUDO DE ESTABILIDADE CRITÉRIO DE HURWITZ– uma condição necessária (mas não suficiente) de estabilidade BIBO de um SLIT causal é quetodosos coeficientes do polinómio denominador da FT sejam positivos (ou tenham o mesmo sinal)

  21. Estabilidade. Critério deHurwitz: exemplos • Os coeficientes não têm todos o mesmo sinal. • Sistema nãoestável • Há um coeficiente que é nulo. • O sistemanão é estável • Pode ser instável ou marginalmente estável • Os coeficientes têm todos o mesmo sinal • Só pelo critério deHurwitznão é possível tirar conclusões sobre estabilidade

  22. Estabilidade BIBO: Critério de Routh-Hurwitz Construção databela deRouth Y(s) U(s) TABELA INICIAL As duasprimeiraslinhassãoconstruídas a partir dos coeficientes do polinómiodenominador de G(s)

  23. Estabilidade BIBO: Critério de Routh-Hurwitz Construção damatriz deRouth TABELA DE ROUTH COMPLETADA

  24. Estabilidade BIBO: Critério de Routh-Hurwitz CRITÉRIO DE ROUTH • Um SLIT é estável sse todos os elementos da coluna pivot da tabela de Routh tiverem o mesmo sinal (*) • O número de pólos no semiplano complexo direito é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna databela deRouth. (*) e, na construção da matriz deRouth, não tiver havido zeros na coluna pivot

  25. Critério deRouth-Hurwitz: Exemplo R(s) C(s) + _ • Todos os coeficientes positivos • Critério deHurwitznão permite concluir sobreestabliade Critério deRouth • 2 mudanças de sinal na primeira coluna da tabela • 2 pólos no semiplano complexo direito: SISTEMA INSTÁVEL Na construção da tabela de Routh podemos simplificar os cálculos multiplicando todos os elementos de uma linha por uma constante positiva

  26. Critério deRouth-Hurwitz: Casos Especiais Zeros só na primeira coluna.

  27. Critério deRouth-Hurwitz: Casos Especiais Um zero só na primeira coluna da tabela de Routh EVOLUÇÃO DOS SINAIS DA COLUNA1 2 mudanças de sinal 2 pólos no semiplano complexo direito SISTEMA INSTÁVEL

  28. Critério deRouth-Hurwitz: Casos Especiais Uma linha de zeros na tabela de Routh • Aplicação do Critério deHurwitz • Sistema não estável • Será marginalmente estável ou instável ? • A tabela de Routh permite responder a essa pergunta Sucede quandoD(s) tem pólos simetricamente colocados relativamente ao eixo imaginário

  29. Critério deRouth-Hurwitz: Casos Especiais Uma linha de zeros na tabela de Routh Sucede quandoD(s) tem pólos simetricamente colocados relativamente ao eixo imaginário Código Matlab >> d=[1 2 -1 -2]; >> p=roots(d) p = 1.0000 -2.0000 -1.0000

  30. Critério deRouth-Hurwitz: Casos Especiais Uma linha de zeros na tabela de Routh Polinómio auxiliar • As raízes deste polinómio estão simetricamente colocados relativamente ao eixo imaginário • As raízes deste polinómio são pólos de G(s) • 1 mudança de sinal na coluna pivot • 1 polo no semiplano complexo direito • SISTEMA INSTÁVEL

  31. Aplicação critérioRouth-Hurwitz: Exemplo 1

  32. Aplicação critérioRouth-Hurwitz: Exemplo 1 • O comportamento da tabela de Routh depois da linha correspondente ao polinómio auxiliar Q(s) é resultado dos zeros desse polinómio auxiliar • Na coluna pivot, depois do polinómio auxiliar, não há trocas de sinal O polinómio auxiliar não tem raízes no semi-plano complexo direito (SPCD) >> q=[1 0 3 0 2]; >> r=roots(q) r = 0 + 1.4142i 0 - 1.4142i 0 + 1.0000i 0 - 1.0000i Por simetria, o polinómio auxiliarQ(s) não tem raízes no SPCE Q(s) tem 4 raízes no eixo imaginário

  33. Aplicação critérioRouth-Hurwitz: Exemplo 1 Análise das outras raizes – linhas Duas trocas de sinal • 2pólosno SPCD • 2pólos noSPCE Do polinómio auxiliar • 2 pares de pólos sobre o eixo imaginário SISTEMA INSTÁVEL

  34. Aplicação critérioRouth-Hurwitz: Exemplo 2 Controlo de um sistema instável em malha aberta Sistema a Controlar Controlador + _ Objectivo: Fazeranálisede Estabilidadecomofunção de K + _ Função de Transferência emCadeia Fechada

  35. Aplicação critérioRouth-Hurwitz: Exemplo 2 Condição de estabilidade: Sistema Estável (é preciso ganho elevado para estabilizar o sistemainstável!)

  36. Aplicação critérioRouth-Hurwitz: Exemplo 3 Controlador PI (Proporcional Integral) Sistema a Controlar + + _ + Controlador PI (Proporcional Integral) + _ Que valores de K e KIgarantem que o sistema em cadeia fechada é estável?

  37. Aplicação critérioRouth-Hurwitz: Exemplo 3 Condições necessárias e suficientes de estabilidade -2

  38. Aplicação critérioRouth-Hurwitz: Exemplo 3 Resposta a entrada escalão do sistema em cadeia fechada • Ambos têm erro estático nulo • KI=0 • Controlador P (proporcional) • Erro estático é não nulo

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