Introdução

2. Introdução • PontoA, B, C,... Reta r, s, p,... Planoß,Ω,...

3. Relação entre um ponto e uma reta r • O ponto A pertence à reta r O ponto B não pertence à reta r • A B

4. Relação entre pontos A D • • B • F C • • E • Os pontos A, B e C são colineares (existe uma reta que passa pelos três) Os pontos D, EeF são colineares (não existe reta que passa pelos três simultaneamente)

5. Relação entre duas retas de um plano c m r p a e n b

6. No exemplo anterior, temos: As retas c e m são distintas e paralelas; As retas b eesão concorrentes e oblíquas; As retas a e r são coincidentes (paralelas iguais);As retas p e n são concorrentes e perpendiculares.

7. Ponto e Reta e Ponto e Plano Dado um ponto P e uma reta r, temos P ɛ r ou P ɇ rDado um ponto P e um plano α, temos P ɛ α ou P ɇ α Exemplo: B • A D • • • C • E X •

8. No exemplo anterior, temos: B ɛ r; B ɇ s; D ɛ s; D ɇ r; A ɛ r; A ɛ s, E ɇ r; E ɇ s

9. Posições de pontos no espaço Pontos colineares A• B • C• Pontos tais que existe uma reta à qual eles pertençam simultaneamente.

10. Pontos coplanares •X •L •A Pontos tais que existe um plano que os contém simultaneamente.

11. Posições relativas de 2 retas no espaço Duas ou mais retas são coplanares quando existe um plano que contém todas elas. • AB,BC,CD,DA e AC são coplanares porque o plano (ABCD) as contém.

12. Retas coplanares que não têm ponto comum são chamadas de retas paralelas distintas. • CD e GH, AD e EH, CG e DH

13. Retas que têm um único ponto comum são chamadas retas concorrentes. FG e GH, CG e FG, AD e DH, etc.

14. Observações: Duas retas concorrentes são sempre coplanares. Dadas duas retas, quando não existe um plano contém as duas, elas são chamadas de retas reversas (ou não coplanares)

15. Concorrentes Coplanares Distintas Duas retas no espaço Paralelas Coincidentes ( iguais) Não coplanares (reversas)

16. Determinação de um plano Um único plano passa por três pontos não colineares. Um plano, também pode ser determinado por: • uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:

17. duas retas distintas concorrentes:

18. duas retas distintas:

19. Posições relativas entre dois planos no espaço Dois planos irão assumir no espaço as seguintes posições relativas entre si: Planos paralelos, Planos secantes e Planos coincidentes.

20. Planos paralelos Dois planos são considerados paralelos se não possuírem pontos em comum ou se uma reta pertencente ao plano α for paralela a uma reta pertencente ao plano β.

21. Planos secantes Dois planos são secantes quando forem distintos e a intersecção entre eles formar uma reta.

22. Planos coincidentes Planos coincidentes equivalem a um mesmo plano. Ou seja, todos os seus infinitos pontos e planos pertencem ao outro.

23. Posições relativas de uma reta e um plano Existem três tipos de posições, sendo: contida,incidenteeparalela.

24. Contida Quando a reta estiver contida no plano , ou seja, quando todos os pontos de r pertencerem ao plano a. a e r tem em comum todos os pontos de r

25. Incidente Quando a reta tem somente um ponto uniforme com o plano. Ou seja, quando a reta r tem o ponto P em comum com o plano a, ela intersecta o plano em um determinado ponto.

26. Paralela Quando a reta não tem nenhum ponto em comum com o plano, ou seja, a reta r está paralela ao plano a. r e a não tem pontos em comum.

27. Paralelismo no espaço Regra • As retas só são paralelas quando na possuem nenhum ponto em comum com a outra. Ou seja, duas retas distintas somente são paralelas quando não possuem pontos em comum.

28. Exemplo • Em dois planos paralelos podem existir retas que não sejam paralelas. • Retas paralelas podem existir em planos que não sejam paralelos.

29. 1ª Propriedade Quando dois planos distintos estão paralelos, qualquer reta pertencente a um deles é paralela a o outro plano.

30. 2ª Propriedade Quando a reta é paralela a um plano, ela é paralela a pelo menos uma reta deste plano.

31. 3ª Propriedade Quando uma reta não estiver contida num plano ela vai estar paralela a uma reta do plano e ao plano.

32. 4ª Propriedade Quando um plano intersecta (“fura”) dois planos paralelos, as intersecções vão formar duas retas paralelas.

33. 5ª Propriedade Quando um plano possui duas retas concorrentes, paralelas a um outro plano, logo os planos considerados também são paralelos.

34. Perpendicularismo no Espaço Em geometria, perpendicularidade (ou ortogonalidade, cujo símbolo é ┴) é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) fazem um ângulo de 90º.

35. Retas perpendiculares Z e Y são retas concorrentes e perpendiculares Z ┴ Y

36. Retas ortogonais Retas que determinam quatro ângulos congruentes.Se forem concorrentes, serão perpendiculares e retas ortogonais são retas que determinam quatro ângulos congruentes.

37. Reta e plano perpendiculares Uma reta que intersecta um plano é perpendicular a ele se ela é perpendicular a todas as retas desse plano que passam pelo ponto de intersecção.

38. Se uma reta intersecta um plano e não é perpendicular a ele, dizemos que ela é obliqua ao plano. Gráfico 1 Gráfico 2 No Gráfico 1, t é perpendicular a α e no Gráfico 2 R é oblíqua a α

39. Para uma reta ser perpendicular a um plano α é preciso ser perpendicular a duas retas concorrentes contidas em α, ou seja, são necessárias duas retas porque uma reta não é suficiente para garantir o perpendicularismo. Por outro lado, bastamduasretas concorrentes, ou seja, elas são suficientes, pois essas duas concorrentes já determinam o plano α.

40. 1ª Propriedade Para que uma reta seja perpendicular a um plano, é necessário e suficiente que ela seja perpendicular a duas retas concorrentes contidas nesse plano. Ǝ r, s e t | s ⊂α, t ⊂α, s ∩ t = {P}, r ┴ s e r ┴ t ⇔ r ┴α

41. 2ª Propriedade Dados um ponto P e uma reta r, existe um único plano que passa por P e é perpendicular a r. P e r ⇒Ǝ α | P € α e r ┴α

42. 3ª Propriedade Se uma reta é perpendicular a um plano, qualquer reta paralela a ela também é perpendicular ao plano. r┴ α e s // r ⇒ s ┴α

43. 4ª Propriedade Se dois planos são paralelos, toda reta perpendicular a um deles é também perpendicular ao outro. α // β e r ┴α⇒ r ┴β

44. Retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas. Planos perpendiculares a uma mesma reta são paralelos.

45. Planos Perpendiculares Um plano é perpendicular a outro quando e somente quando existe uma reta contida em um deles e perpendicular ao outro. β┴α⇔Ǝ r ⊂β | r ┴ α

46. Se dois planos concorrentes não são perpendiculares, dizemos que são oblíquos. Se dois planos α e β são oblíquos e a reta r está contida em α, então r não é perpendicular a β. Quando uma reta é perpendicular a um plano, todos os planos que a contêm são perpendiculares ao plano inicial.

47. 1ª Propriedade Se uma reta r e um plano α são ambos perpendiculares a um plano β, a reta r é paralela ao plano α.

48. 2ª Propriedade Se dois planos α e β se intersectam segundo uma reta r e se y é um outro perpendicular a cada m dos planos α e β. Então y é perpendicular à reta r.

49. Teorema das 3 Perpendiculares • Dados: uma reta r perpendicular a um plano α no ponto P; • uma reta s, contida em α, que não passa por P; • uma reta t, contida em α, que passa por P e é perpendicular a s no ponto A. • Então, se B é um ponto de r, a reta AB é perpendicular à reta s.

50. Simbolicamente: r ┴ α, r ∩ α = {P} s ⊂ α, P ∉ st ⊂ α, P ∈ t, t ┴ s, t ∩ s = {A} B ∈ r