Quantificateurs généralisées

1. Quantificateurs généralisées A. LECOMTE

2. SNs quantifiés • Tous les écrivains ont aimé les œuvres de Stendhal • Un romancier russe est passé hier à la télévision • Aucun étudiant sérieux ne mange pendant les cours • La plupart des linguistes sont bilingues • Plus d’étudiants que de professeurs viennent sur le campus par le tram • Il n’y a pas autant de garçons que de filles à réussir l’examen de langue • Ni Pierre ni Marie ne se sont réveillés

3. Expressions quantifiantes • tous sauf un, tous sauf cinq, quatre (et n’importe quel nombre évidemment), au moins quatre, au plus quatre, exactement un, moins de la moitié de, une quantité finie de, une foule de, quelques, certains, peu, beaucoup, trop, pas assez de…

4. Les quantificateurs frégéens • Begriffschrift, 1879 • tous les chats sont gris

5. Un prédicat du second ordre • la propriété « être tel que si on est un chat, alors on est gris » possède la propriété d’être vraie de tous les individus • Interprétation : [[ . ]] • [[]] = • la propriété d’être une propriété que tous les individus possèdent • La fonction qui associe 1 à toute propriété que tous les individus possèdent, 0 aux autres (fonction caractéristique) • L’ensemble de toutes les propriétés que tous les individus possèdent

6. sémantique • [[(x. P(x))]] = 1 ssi • [[x. P(x)]]  [[]] • [[x. P(x)]] est une propriété que tous les individus possèdent

7. propriété = ensemble • [[x. P(x)]] : • La fonction qui à tout x tel que P(x) associe 1 • La fonction caractéristique de l’ensemble des x tels que P(x) • L’ensemble des x tels que P(x)

8. [[]] : une famille d’ensembles • [[(x. P(x))]] = 1 ssi • L’ensemble des x tels que P(x) appartient à [[]] • [[]] est un ensemble d’ensembles • E  [[]] si et seulement si • tous les éléments de l’univers possèdent la propriété qui définit E • Tous les éléments de l’univers sont éléments de E • D  E • D = E

9. [[]] = {D} • Donc [[]] est l’ensemble des ensembles qui contiennent l’univers D • Il n’y a qu’un seul tel ensemble: c’est D lui-même • Donc [[]] est un ensemble d’ensembles qui ne contient qu’un seul élément: D • [[]] = {D}

10. ? • Quelqu’un admire Cassiopée •  est la propriété, pour une propriété, d’être vraie d’au moins un individu de l’univers

11. [[]] • [[]] est l’ensemble des ensembles qui ont une intersection non vide avec D • [[]] = {X  D ; X  }

12. évaluation • [[(x (x admire Cassiopée))]] = 1 ssi • [[(x (x admire Cassiopée))]]  [[]] • [[(x (x admire Cassiopée))]]  {X  D ; X  } • [[(x (x admire Cassiopée))]]  

13. Typage de , • Quantificateur : à une propriété ( <e, t>) associe une valeur de vérité, donc de type <<e, t>, t>

14. Tout homme, chaque homme (au moins) un homme aucun homme au moins trois hommes trois hommes {A  D ; HOMME  A} {A  D ; HOMME  A } {A  D ; HOMME  A = } {A  D ; Card(HOMME  A)  3} {A  D ; Card(HOMME  A) = 3} Tout, au moins un…

15. Tout homme siffle… • [[tout homme siffle]]M = 1 si et seulement si • [[siffle]]M [[tout homme]]M si et seulement si • [[siffle]]M {A  D ; HOMME  A} si et seulement si • HOMME  [[siffle]]M

16. Au moins trois hommes… • [[au moins trois hommes marchent dans la rue]]M = 1 si et seulement si • [[marchent dans la rue]] M {A  D ; Card(HOMME  A)  3} si et seulement si • Card(HOMME  [[marchent dans la rue]] M)  3

17. SN N Vt Vi SV A S Det <<e, t>, t> <e, t> <e, <e, t>> <e, t> <e, t> <<e, t>, <e, t>> T <<e, t>, <<e, t>, t>> Les types

18. Point de vue relationnel • TOUT : à deux ensembles associe une valeur de vérité • [[TOUT]] = {(A, B) ; A, B  D tels que A  B} • [[AU MOINS UN]] = {(A, B) ; A, B  D tels que A  B  } = un ensemble de couples d’ensembles = une relation binaire sur (D)

19. Restrictions • Toutes les relations sur (D) sont des déterminants?

20. Extension • Définition : Un déterminant  représenté par une relation binaire Q sur les parties d’un univers D est dit satisfaire la propriété d’extension si pour tous A, B E  E’, QE(A, B)  QE’(A, B), où QE désigne la restriction de Q aux intersections des parties de D avec E • On n’a besoin de connaître que AB

21. Conservativité • Définition : Un déterminant  représenté par une relation binaire Q sur les parties d’un univers D est dit satisfaire la propriété de conservativité si pour tous A, B  E, QE(A, B)  QE(A, AB).

22. Intersectivité • Définition : Un déterminant  représenté par une relation binaire Q sur les parties d’un univers D est dit intersectif ssi pour tous A, B, A’, B’ inclus dans le domaine D, si A  B = A’  B’, alors Q(A)(B) = Q(A’)(B’), • autrement dit si et seulement si Q(A)(B) ne dépend que de l’intersection de A et de B. • n, quelques, au moins n, au plus n, …

23. Co-Intersectivité • Q(A)(B) ne dépend que de la différence A – B • tous, tous sauf n, …

24. Théorème de Keenan • Théorème : pour tout domaine D, CONSD est la fermeture booléenne complète de INTD  CO-INTD

25. Monotonie • tout Girondin aime les huîtres • les Bordelais sont des Girondins • donc : tout Bordelais aime les huîtres • TOUT : décroissant à gauche • certains Girondins cultivent de la vigne • les Bordelais sont des Girondins • donc : certains Bordelais cultivent de la vigne • CERTAINS : croissant à gauche

26. Monotonie • tout Bordelais est un Girondin • les Girondins sont des amateurs de vin • donc : tout Bordelais est amateur de vin • TOUT : croissant à droite • certains Girondins sont Bordelais • les Bordelais aiment le ski • donc : certains Girondins aiment le ski • CERTAINS : croissant à droite

27. Monotonie • TOUT : MON • CERTAINS : MON 

28. Monotonie à droite • Définition : Un déterminant  représenté par une relation binaire Q sur les parties d’un univers D est dit monotone croissant à droite (MON) si pour tous A, B  E, Q(A, B) et B  B’  Q(A, B’). On dit aussi dans ce cas que le groupe nominal A est MON. • Définition : Un déterminant  représenté par une relation binaire Q sur les parties d’un univers D est dit monotone décroissant à droite (MON) si pour tous A, B  E, Q(A, B) et B’  B  Q(A, B’). On dit aussi dans ce cas que le groupe nominal A est MON.

29. Monotonie à gauche • Définition : Un déterminant  représenté par une relation binaire Q sur les parties d’un univers D est dit monotone croissant à gauche (MON) si pour tous A, B  E, Q(A, B) et A  A’  Q(A’, B). • Définition : Un déterminant  représenté par une relation binaire Q sur les parties d’un univers D est dit monotone décroissant à gauche (MON) si pour tous A, B  E, Q(A, B) et A’  A  Q(A’, B).

30. NPI • tout pêcheur qui ramène le moindre poisson est acclamé • aucun enfant qui fait la moindre faute à sa dictée n’est récompensé • *certains connaisseurs qui écoutent le moindre disque de cette chanteuse sont éblouis