Geometría de Proporción

1. Geometría de Proporción Prof: Isaías Correa M.

2. Geometría de Proporción I Congruencia, Equivalencias, Semejanza, Elementos Homólogos y División de Trazos.

3. APRENDIZAJES ESPERADOS • Identificar triángulos congruentes y semejantes. • Resolver ejercicios que involucren congruencia y semejanza de triángulos. • Resolver ejercicios que involucren equivalencia de figuras. • Resolver ejercicios que involucren segmentos divididos interior y exteriormente, armónicamente o en sección áurea.

4. Contenidos • Figuras congruentes 1.1 Definición 1.2Triángulos Congruentes 2. Figuras Equivalentes 3. Figuras semejantes 3.1 Definición 3.2 Triángulos Semejantes 3.3 Elementos homólogos 3.4 Razón entre áreas y perímetros 3.5 Postulados de semejanza

5. 4. División de un segmento 4.1División Interior 4.2División Exterior 4.3 División Armónica 4.4 Sección áurea o Divina

6. 1.1 Definición 1. Figuras congruentes ( ) Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión. Ejemplos:

7. 1.2 Triángulos congruentes C F A B D E Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son: 1° Lado, lado, lado (L.L.L.) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes. Ejemplo: 8 8 6 6 10 10 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

8. C F E A B D 2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: 3 3 a a 5 5 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

9. C F E A B D 3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: b b 12 12 a a Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

10. El cuadrado de lado 2√p , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura: Área = 4p Área = 4p 2. Figuras Equivalentes Son aquellas que tienen la misma área. Ejemplo:

11. 3.1 Definición J D d d C g I g e E b B e a F b A H a G 3. Figuras semejantes (~) Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: 1°que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2°que sus lados homólogos sean proporcionales. Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área. Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.

12. Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG. D C E B J A d d g I g e b e a F b H a G 2 4 6 12 4 8 3 5 6 10 Además, están en razón 1:2.

13. 3.2 Triángulos Semejantes F C b b g a g a A B E D AB es homólogo a DE BC es homólogo a EF AB BC AC 1 = = = = k AC es homólogo a DF DE EF DF 3 Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales. Ejemplo: 9 12 4 3 5 15 Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k

14. 3.3 Elementos Homólogos Q C A B R P BC AB CA 4 3 1 5 RP 6 QR 8 2 10 PQ Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a aquellos lados que son respectivamente proporcionales. Además, también los elementos que cumplen la misma función en cada uno de los triángulos como: alturas, transversales, bisectrices y simetrales, (son homólogos y proporcionales). Ejemplo: 4 10 3 6 5 8  = = = k = = = = k

15. hR c 4,8 2 Q C 4 3 10 6 B A 5 P R 8 hC 2,4 1 a · b Recuerda: Teorema de Euclides Además, = k = = hC hR hC =

16. 3.4 Razón entre Áreas y Perímetros Q C 4 3 hC 10 6 hR B A 5 P R 8 PABC 12 1 PPQR 24 2 • Entre los Perímetros: La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos. Ejemplo: = = = k

17. Q C 4 3 hC 10 6 hR B A 5 P R AB 8 5 1 = = = = = k AABC 6 1 10 2 PQ APQR 24 4 = k2 • Entre las Áreas: La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos. Ejemplo:

18. 3.5 Postulados de semejanza F Ejemplo: 55o C 34o 34o 55o E D A B AB BC AC Además = = = k DF FE DE 1° Postulado AA. • Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos • respectivamente congruentes. Δ ABC ~Δ DFEpor AA

19. F C 8 5 12 4 10 6 A B E D AB BC AC 1 = = = = k FD DE FE 2 2° Postulado LLL. • Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados • respectivamente proporcionales. Ejemplo: Δ ABC ~Δ FDEpor LLL Además BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED

20. F C 57° 12 5 4 57° 15 A B E D BC 4 5 1 AC = = = k =  ED 12 15 3 FD 3° Postulado LAL. • Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados • respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido • entre ellos congruente. Ejemplo: Δ ABC ~Δ FEDpor LAL Además BAC=DFE y CBA=FED

21. R g C 4 10 b a b Q P 6 a g A B = k = = AB 10 10 CB AC 4 4 AB PR QR QR 6 6 PR QR PQ = =  Ejemplo: Determinar la medida del segmento QR de la figura: Solución: Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que Δ ABC ~Δ PRQ , entonces: Con k razón de semejanza Es decir:  =  60 = 4∙QR 15 = QR

22. 4ºPostulado: LLA>Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales, y el ángulo opuesto al mayor de esos lados, congruente. F Ejemplo: C 16 28 14 8 E D A B Δ ABC ~Δ DEFpor LLA> Razón de semejanza: 1 : 2

23. 4.1 División interior n A A B B = Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB? C Q AC m CB 4. División de un segmento Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces: Ejemplo:

24. AQ = 45 3∙45 5 A B = = Por lo tanto, AB mide 72 Q AQ 3 3 AQ 45 5 5 QB Solución: 27    AQ = 27

25. 4.2 División exterior n A A B B D D = Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD? AD m BD Si el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces: Ejemplo: 20

26. 20∙2 BD = 5 A B D = = 20 5 AD 5 BD 2 BD 2 Solución: 20 12 8    BD = 8

27. 4.3 División armónica = = n 12 Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2, ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12? m AC AD CB BD B B D D A A C C Dividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón. Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que: Ejemplo:

28. 4.4 Sección Áurea o Divina BX X A B ó (AX)2 = AB∙BX = En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5? 5 AX AB AX P A B El punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor. Si AX > BX, entonces: OBS: En una sección Áurea, siempre está involucrado el “número de oro”: Φ Ejemplo:

29. (AP)2 = AB∙PB 5 P A B Solución:  (AP)2 = (AP + 5)∙5  (AP)2 = 5∙AP + 25  (AP)2 - 5∙AP - 25= 0

30. Geometría de Proporción II

31. APRENDIZAJES ESPERADOS: • Conocer el teorema de Apolonio. • Conocer las diferentes presentaciones del teorema de Thales y Euclides. • Aplicar los teoremas de Thales y Euclides en la resolución de ejercicios.

32. Contenidos Segmentos proporcionales 1. Teorema de Apolonio 2. Teorema de Euclides 3. Teorema de Thales

33. 1. Teorema de Apolonio (de la bisectriz) En el triángulo de la figura, CD es bisectriz, entonces se cumple la siguiente proporción: = b a u v Segmentos proporcionales a a b a u D v Este teorema es válido para cualquier triángulo.

34. Ejemplo: En la figura, determinar el valor de AD. a a 9 10 5 D 9 AD= 9 10 = 2 AD 5 Solución: Como el trazo CD es bisectriz, entonces, aplicando el teorema de Apolonio, se tiene: 

35. ∙ hc2 = p q a2 = c q ∙ b2 = c p ∙ hc = a·b c • 2. Teorema de Euclides Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces: T. De la Bendición T. De la Derecha T. De la Izquierda Además, se cumple que: T. De la Altura

36. CD2 = AD DB ∙ CD2 = 4 3 ∙ CD = 4 3 ∙ CD = 2 3 Ejemplo: De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden: Aplicando Teorema de Euclides:(Bendición) (Reemplazando) (Aplicando raíz)

37. AC2 = 7 4 ∙ AC = 2 7 2 7 2 3 AC2 = AB AD ∙ Además, por Euclides (T. de la Izquierda) se cumple que: (Reemplazando) (Aplicando raíz)

38. 3. Teorema de Thales L1 A D E B L2 C F L3 AB AB BC EF DE DE = = = AC BC AC EF DF DF Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. Este teorema tiene tres formas de presentarse: a) Forma de Escalera: Sean L1 // L2 // L3, entonces:

39. b) Forma de «A» o Teorema Particular de Thales: O A C L1 B D L2 OA AB OC OA OA OC OB OC CD OD = = = = = AB OB AC AC OB OD BD OD CD BD Sean L1 // L2, entonces:

40. L1 A B O C D L2 AB AO AB BO BO AO = = = CD CD OD OC OD OC c) Forma de Reloj de Arena: Sean L1 // L2, entonces:

41. O 5 A C L1 7 B D L2 36 5 OA OB 12 = = AC AC 36 BD Ejemplos: 1. En la figura, L1 // L2. Determinar el valor del trazo AC. Solución: Aplicando el Teorema particular de Thales o «A»:  AC = 15 

42. x + y L1 2y A B O 2x C D L2 AB 4xy x+y = OD = AO 2y = x+y 2x CD OD OD 2. En la figura, L1 // L2. Determinar el trazo OD en función de x e y. Solución: Aplicando la «forma de reloj de arena» del Teorema de Thales:  

43. Ahora a estudiar….