Das Rechnen frühzeitig fördern

1. Das Rechnen frühzeitig fördern Annemarie Fritz-Stratmann

2. Rechenschwäche/-störungDiskussion jeweiliger subjektiver Theorien • Was “fasziniert” Sie an dem Thema? • Welche Erfahrungen haben Sie mit Rechenstörungen? • Anhand welcher Kriterien vermuten Sie Rechenstörungen?

3. Vorkenntnisse für´s Rechnen lernen Entwicklung mathematischer Kompetenzen 2. Tag diagnostische Konzepte 3. Tag Was fördern? Wie fördern? Plan für die drei Tage

4. Stand der Forschung • Beschäftigung mit LRS - lange Forschungstradition (Ranschburg, 1916) • Forschung zum Rechnenlernen „hinkt hinterher“

5. Vorkommenshäufigkeit • Prävalenz von Rechenschwächen (ICD): 3 - 6% • Aber: • Diskrepanz zwischen Intelligenz und Leistung im Rechnen wird zunehmend in Zweifel gezogen • Grund: LRS- mit Diskrepanzkriterium und LRS mit niedriger Intelligenz • kein Unterschied in kognitiven Merkmalen und in Sensitivität auf Fördermaßnahmen (Marx et al., 2001)

6. Iglu: Leistungsschwache • STARK GEFÄHRDETE RISIKOGRUPPE • Wissen entspricht etwa dem 2. Schuljahr! • Mathematik: 20% der Schüler auf Kompetenzstufe I oder II • Lesen: 25 % auf Kompetenzstufe I und II • Orthographische Kompetenzen: 28.8% auf Stufe I und II

7. Vergleich: Iglu - Pisa Iglu: andere Länder Bis zu 80 Punkte Schlechtere Leistungen Pisa: Ende der Sek. I Fast alle Länder besser • „Was auf der Ebene der Grundschule nicht gelingt, lässt sich auf der Ebene der Sekundarstufe I nicht mehr kompensieren. Die auf der Ebene der Grundschule nicht befriedigend gelösten Probleme werden auf der Ebene der Sekundarstufe weiter verschärft" (S.300, Iglu).

8. Was können Schüler zum Schuleingang?

9. Studie zu Vorkenntnissen von Schulanfängern Ziffernkenntnis 91% Menge zu einer vorgegebenen Anzahl angeben 77% Vorwärtszählen im Zehnerraum 80% Rückwärtszählen 59% Anzahl bestimmen und angeben 91% Addition 80% (bzw. 64% mit Zählmöglichkeit, 55% ohne) Subtraktion 92% (mit Z., 55% ohne) Halbieren 65% Verdoppeln 33% Anzahlen schätzen 31%

10. Schulanfang - keine Stunde Null Schulanfänger verfügen bereits über beachtliche arithmetische Kenntnisse ein Mythos? Große Leistungsheterogenität

11. Vorkenntnisse von Schulanfängern Untersuchungsbefunde: Schulanfänger verfügen über umfangreiche arithmetische Kenntnisse Die mathematischen Kompetenzen von Schulanfängern werden in der Regel von Experten unterschätzt Mythos! Studien geben nur Auskunft über die Prozentsätze richtiger Lösungen, über die Streuung der Leistungen dagegen nicht Interpretation der Untersuchungsergebnisse nur hinsichtlich möglicher Unterforderung Filmausschnitt Mathias

12. Stabilität von Rechenleistungen Numerische Kompetenzen am Ende der Vorschulzeit Vorhersage Für Rechenleistung bis Ende vierte Klasse (Längsschnittstudie Krajewski, 2003; Stern, 1995) Zählstrategien werden beibehalten von „schlechten“ Erst-, Dritt-, Fünft- und Siebtklässlern (Ostad, 1997) Schwache Rechner weisen Defizite in den Grundkenntnissen auf

13. Prädiktoren für Mathematik • Scholastik-Studie: (Längsschnitt über • 14 Jahre) • Textaufgabe in Klasse 2 • Sagt vorher • Matheleistungen im 11. Schuljahr

14. Stabilität der Matheleistungen

15. Wann beginnt das Rechnen lernen in der Entwicklung? Was sind die einzelnen Komponenten?

16. Erste Vorstellungen von Mengen und Zahlen: intuitive Mathematik • Säuglinge (3 Wochen) können Mengen von 2 - 3 Objekten voneinander unterscheiden • Säuglinge (6 Monate) zeigten Sinn für Additions- und Subtraktionsaufgaben (Wynn, 1992)

17. Zahlwortreihe Lu - la - ba - by - lol - li- pop- ta - boo

18. Aufgaben - Zählen Sie in 2er-Schritten vorwärts - welche Zahl ist größer: pop oder lol - Zählen Sie von by an um ba-Schritte weiter - Zählen Sie von lol an rückwärts Lol Mäuse haben sich in der Burg versteckt. Auf der Flucht Vor der Katze kommen noch by Mäuse hereingestürzt. Wie viele Mäuse befinden sich jetzt in der Burg? Li Mäuse sind in der Burg versteckt. La Mäuse beschließen, sich rauszuschleichen und nachzusehen, ob die Katze noch da ist. Wie viele Mäuse bleiben in der Burg zurück?

19. Wie sind Sie vorgegangen? • Welche Probleme hatten Sie? • Kennen Sie ähnliche Probleme bei den Kindern? • Welche Teilfertigkeiten gehören also zum Rechnen lernen? • (Gruppenarbeit)

20. Kenntnis der Zahlwortreihe Verständnis mehr/weniger größer/kleiner Wissen, dass Zahlen in Zahl- wortreihe immer größer werden Verständnis Vermehren/vermindern Wissen, dass Zahl in Zahlwortreihe auch die Menge der vorhergehenden Zahlen umfasst Wissen, dass Mengen zerlegbar sind

21. Frühindikatoren Rechnen Vorschulalter Schulalter

22. Als Voraussetzungen für das Rechnen bzw. Indikatoren für Störungen kommen infrage? Grundlegende (kognitive) Fähigkeiten Spezifische Fertigkeiten

23. Grundlegende kognitive Fähigkeiten • Intelligenz • visuelle Wahrnehmung • Auditive Wahrnehmung • Arbeitsgedächtnisleistungen: Wie viel Information kann für kurze Zeit bereitgehalten werden? • Präzise Speicherung, schneller Abruf • weitere: Konzentration, Arbeitsweisen, Sprache, • Motive, metakognitive, selbstregulative, emotionale Prozesse, Begriffsbildung

24. Lorenz

25. Bedeutung der unspezifischen Voraussetzungen • Argumente: unspezifische Voraussetzungen sind begleitende Bedingungen für verschiedene Störungen Unspezifische Bedingungen

26. Mengen- Vorwissen .69 .59 .80 Arbeits- speicher Zahlen- speed Zahlen- Vorwissen .47 .49 .72 Wirkung spezifischer Voraussetzungen Befund mathematische Leistungen (Krajewski, 2003, auch Lorenz, 2005) Intelligenz p = .09 letztes Kindergartenjahr Mathe 4. Klasse 52%

27. Spezifische Voraussetzungen im mathematischen Bereich Erworbenes Wissen im Vorschulalter Wie verknüpfen sich die Teilleistungen?

28. Entwicklung des Rechnen lernens • Anders als beim Schriftspracherwerb existiert kein Entwicklungsmodell über die Stufen der Aneignung beim Rechnen und über die zugrunde liegenden Prozesse

29. Entwicklungsstufe Entwicklung der Zahlwortreihe Erwerb der Zahlwortreihe (noch kein Zählen) Lulababylolipoptaboo Aufsagen der Zahlwortreihe zum Auszählen von Objekten Lu - la - ba - by - lol - li - pop - ta - boo

30. Rechnen ein Umgang mit Mengen • Aussagen über Mengenoperationen werden vorgenommen, ohne dass Kinder die Mengen exakt benennen können (=Protoquantitative Schemata) (Resnick & Greeno (1990)

31. Protoquantitative Schemata • ... des Vergleichs • Viel, wenig, mehr, größer kleiner • ... des Vermehrens / Verminderns • Dazukommen, wegnehmen, größer/kleiner werden • ... der Teil-Ganzes-Relation • Gehört zu ..., ist Teil von

32. Ausgangspunkt: 2 grundlegende, voneinander unabhängige Schemata • Verbal-sequentielles Schema • Zählen 1234567 • Auszählen 1-2-3-4-5-6 • Räumlich-analoge oder protoquantitative Schemata: • Vergleichen viel, wenig, größer, kleiner, höher... • Vermehren - Vermindern (bei Veränderungen)

33. Komponenten des Rechenerwerbs Verständnis der Begriffe Vergleichen Vermehren/vermindern Kenntnis der Zahlwort- reihe Verständnis der Seriation • Kenntnis der Zahlwortreihe • Verständnis der Seriation Mengenvergleiche zählend möglich Additionen und Subtraktionen zählend

34. Niveau 2: Auszählen von Mengen Lukas hat 2 Bausteine. Paul gibt ihm noch zwei dazu. Wie viele hat er jetzt?

35. lu la ba by lol = mentaler Zahlenstrahl (Vergleich von Positionen) Mentaler Zahlenstrahl - ordinaler Strahl • Neue Struktur durch Integration von Zahlwortreihe und protoquantitavem Schema des Vergleichs: Aufbau eines mentales Zahlenstrahls (4 Jahre)

36. Ordinaler Zahlenstrahl erlaubt • Vorstellung der geordneten Zahlwortfolge • Objekte auszählen, 1 zu 1 Zuordnung • größer oder kleiner • was kommt nach 7 und vor 5 Filmausschnitt D.

37. Erste Addition und Subtraktion • Integration von Zahlwortreihe und protoquan-titativem Schemata des Verminderns - Vermehrens • Additions- und Subtraktionsaufgaben lösbar,durch Vorwärts- und Rückwärtsgehen auf der verbalen Zahlwortreihe (Fuson 1992, Resnick, 1983). • Auszählen jeweils von 1 an • ba + lol = ? • li - la = ?

38. Aufgabentypen für Sachaufgaben Anna hat 5 Bausteine. Dann gab ihr Jan noch 2 Bausteine. Wie viele Bausteine Hat Anna nun? Anna hat 5 Bausteine. Jan hat 3 Bausteine. Sie möchten zusammen damit spielen. Wie viele Bausteine haben sie zusammen? Jan hat 7 Bausteine. Er gibt Anna 2 Bausteine ab. Wie viele Bausteine hat Jan dann noch?

39. Aufbau von Verständnis • Zählfertigkeiten und protoquantitative Schemata zunächst voneinander unabhängige Wissenssysteme, die im weiteren Entwicklungsverlauf miteinander verbunden werden müssen (Resnick (1992). • Durch die Verbindung entsteht Verständnis über die Beziehungen zwischen Zahlen

40. Kardinalzahl Elaboration der Zählkompetenz geht dem Verfügen über Mengenaspekt voraus Mit der Integration von Zahlwort und Teile-Ganzes-Schema wird Kardinalzahl entdeckt Übertragung von der Zähl- zur Kardinalzahl (5 Jahre) Last-word-rule Übertragung von der Kardinal- zur Zählzahl Deutlich schwieriger, Übergang setzt das Verstehen voraus, das eine Menge eine bestimmte Mächtigkeit hat, die aus einzelnen Elementen besteht, aus der sie zusammengesetzt ist und in die sie wieder zerlegt werden kann.

41. Kardinalität - Verstehen der Mächtigkeit by ba la lu la enthält lu ba enthält la, lu.

42. Abb. Zu order-irrelevance principle 8 – 4 = ? Antwort: „7“ Begründung: 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 Fehler durch mangelnde Kardinalität

43. Kardinalität führt zur Entwicklung eines metrischen Strahlsdas erlaubt: - Weiter- und Rückwärtszählen,- Welche Zahl ist um 1 größer als 6?- Zähle bis 4, - Gib mir 4 Bonbons aus der Tüte

44. Abb. Entwicklung kardinaler Zählbedeutung Ebene 1 eins zwei drei vier eins zwei drei Anwendung der Zahlwortreihe auf Objekte Ebene 2 Übergang von der Zähl- zur Kardinalzahl: Prozess: Auszählen Kardinalzahl-Prinzip (meistens mechanische Ebene; 4 getrennte Objekte) Zählzahl vier Kardinalzahl vier Ebene 3 Übergang von der Kardinal- zur Zählzahl Prozess: Abzählen Erstes Verständnis von Teilmenge Menge von 4 ~ 4 beinhaltet 4 einzelne Elemente + Menge mit der Anzahleigenschaft ‚vier’ „Gib mir vier“ = 4

45. lu (+1) la (+1) ba (+1) by (+1) lol = mentaler Zahlenstrahl Gleichabständigkeit) Mentaler Zahlenstrahl - metrischer Strahl • Neue Struktur durch gleiche Abstände

46. Integration Zählzahl und Kardinalzahl • Zahlenstrahl hat gleiche Abstände • Zahlangabe sicher als Mengen Info interpretiert • Kinder zählen von einer Menge an die nächste dazu, zählen dies vorwärts und rückwärts • Aufgaben: Abzählen – gib mir aus einer Menge 4 Objekte oder auch welche Zahl ist um 1 größer als 4 • Filmausschnitt D.

47. 5 6 4 4 5 6 vermindern vermehren ~ gleichmäßiger Aufbau der Zahlreihe: immer 1 mehr, Zahlwortreihe als Anzahl von Zählschritten

48. Zahlen werden zählbare Einheiten 3 ist 1,2,3 3 ist auch 4,5,6 Die Affen im Zoo schaukeln. Es gibt 3 Schaukeln und 5 Affen. Wie viele Schaukeln gibt es weniger als Affen?

49. Relationaler Begriff • 3= 1,2,3 auch 4,5,6 auch 7,8,9

50. Verständnis relationaler Zahlbeziehungen • Das Verstehen der Zahlwortreihe als Anzahl von Zählschritten ermöglicht das Verständnis relationaler Zahlbeziehungen: • „Hans hat 5 Murmeln mehr als Peter“ • 5 als Abschnitt auf dem Zahlenstrahl, der die Relation zwischen zwei anderen Zahlen markiert • (zwischen 2 und 7; 4 und 9) (vgl. Stern 1997)