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Lektion 1

Lektion 1. Administration Vorschau 1. Zahlen 2. Addieren +Subtrahieren 3. Übungen 4. Rechnen mit Klammern 5. Übungen. Steckbrief. Name: Morger Ernst Wohnort: 8718 Schänis Firma: Eternit AG Beruf: Masch.Ing.HTL EOQ-Quality S. Manager

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Presentation Transcript

  1. Lektion 1 Administration Vorschau 1. Zahlen 2. Addieren +Subtrahieren 3. Übungen 4. Rechnen mit Klammern 5. Übungen

  2. Steckbrief Name: Morger Ernst Wohnort: 8718 Schänis Firma: Eternit AG Beruf: Masch.Ing.HTL EOQ-Quality S. Manager Tätigkeiten: Projektleiter Investitionen Leiter Qualitätsprüfung Leiter Logistik-Basis-Support Freizeitaktivitäten • Schule IBZ • Schulrat Schänis • Snowboarden • Schiessen • 3 Söhne

  3. Vorschau Teil 1 1. Zahlen 2. Addieren+Subtrahieren 3. Rechnen mit Klammern 4. Multiplizieren und Dividieren 5. Potenzieren und Radizieren 6. Gleichungen ersten Grades

  4. Vorschau Teil 2 1. Wahrscheinlichkeit 2. Funktionen 3. Grafische Darstellungen 4. Häufigkeiten 5. Regressionsrechnung

  5. 1. Zahlen 1; 5; 8 Arabische Ziffern 425; 67 Zahlen Brüche: Zähler (oben) Bruchstrich Nenner (unten) echte Brüche unechte Brüche

  6. 1.3 Symbole Symbole für Zahlen: Fläche = a x b Einstein: E = mc2 Druck-Festigkeit = Kraft pro Fläche

  7. 2. Addieren 2.1 Addieren von gleichartigen Zahlen: Gleichartige Zahlen ( a; 4a; 7a) Summe Summanden 5a-2a-3a = 0

  8. 2. Addieren • In einer Summe darf man die Summanden vertauschen (a + b) + c = b + ( a + c ) • Beim Addieren darf man die Summanden zu Teilsummen zusammenfassen a + b + a = 2a + b • gleichartige Zahlen werden addiert, indem man die Beizahlen addiert 6 a + 2a = (6+2) • a = 8 a

  9. 2. Addieren • gleichartige Zahlen werden addiert, indem man die Beizahlen addiert 6a = 3a + 3a

  10. 2. Addieren • 2.2 Addieren von ungleichartigen Zahlen: Ungleichartige Zahlen ( a; 4b; 5c) • In einer Summe lassen sich immer nur gleichartige Summanden addieren 6a+2a+4c+2c=8a+6c • Viele Summanden werden addiert, indem man gleichartige Glieder unter einander schreibt und diese addiert. 6a+2a+4c+2c=? 6a+4c 2a+2c 8a+6c siehe Übung

  11. 3. Subtrahieren • Man subtrahiert gleichartige Zahlen, indem man die Beizahlen voneinander subtrahiert 5a-2a = (5-2)a=3a • Nur gleichartige Zahlen lassen sich voneinander subtrahieren 5a-2a-3b = 3a-3b

  12. 4. Addieren+Subtrahieren • Sind Vorzeichen und Rechenzeichen gleich, so wird der absolute Betrag der Zahl addierta+(+b) = a+b a-(-b) = a+b • Sind Vorzeichen und Rechenzeichen ungleich, so wird der absolute Betrag der Zahl subtrahierta+(-b) = a-b a-(+b) = a-b

  13. 4. Addieren+Subtr. von Zahlen Aufgabe: 3a+5b-3c+7b-2a-2c Gleichartige Summanden ordnen 3a+5b-3c+7b-2a-2c 3a -2a +5b +7b -3c-2c Beizahlen addieren oder subtrahieren. a+12b –5c Übung EMo1

  14. 5. Rechnen mit Klammern • Steht ein Pluszeichen vor einer Klammer, so darf man es weglassen, ohne dass sich die Rechenzeichen in der Klammer verändern. a+(b+c-d)=a+b+c-d • Lässt man in einer Summe eine Klammer weg, vor der ein Minuszeichen steht, so muss man die Rechenzeichen aller Glieder in der Klammer umkehren. a-(b+c-d)= a-b-c+d

  15. 5. Rechnen mit Klammern • Sind in einer Summe mehrere Klammern, so löst man unter Beachtung der Rechenzeichen zunächst die inneren Klammern auf und dann nacheinander die äusseren Klammern A-{b+[c-(d+e)]} = a-{b+[c-d-e]} = a-{b+c-d-e} = a-b-c+d+e

  16. Lektion 2 1. Hausaufgaben+ Zus‘fassung 2. Multiplizieren Zerlegen (Ausklammern) 3. Dividieren 3a. Grösster gemeinsamer Teiler ggT 3b. Kleinstes gemeinsame Vielf. kgV 2. Brüche kürzen, erweitern,addieren, subtrahieren

  17. 6. Multiplizieren • Das Malzeichen zwischen den Faktoren kann man weglassen. a • b = ab 12 •a •b=12ab • In einem Produkt kann man die Faktoren vertauschen. b • a • c= a • b • c=abc • Ist ein Faktor Null so ist das ganze Produkt Null a • 0=0

  18. 6. Multiplizieren • 6.2 Multiplizieren von Produkten • Beim Multiplizieren darf man Faktoren vertauschen und zu Teilprodukten zusammenfassen. 4a • 5b = 20ab

  19. 6. Multiplizieren • 6.3 Das Produkt von Zahlen mit positiven Vorzeichen ist positiv. a • b= ab • Das Produkt von Zahlen mit negativen Vorzeichen ist positiv. -a • -b= ab • Das Produkt zweier Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen ist negativ. a • (-b)=-(ab)

  20. 6. Multiplizieren • 6.4 Multiplizieren von Zahlen mit Summen • Man multipliziert eine Zahl mit einer Summe, indem man jedes Glied der Summe mit der Zahl multipliziert a • (b + c) = a • b + a • c = ab + ac

  21. 6. Multiplizieren • 6.4 Multiplizieren von algebraischen Summen • Zwei algebraische Summen werden miteinander multipliziert, indem man jedes Glied der einen Summe mit jedem Glied der anderen Summe multipliziert (x + y) • (b + c) = xb + xc + yb + yc

  22. 7. Dividieren (Brüche) • 7.1 Division durch Null ist nicht erlaubt! • 7.2 Der Quotient zweier Zahlen mit gleichen Vorzeichen ist positiv, der Quotient zweier Zahlen mit ungleichen Vorzeichen ist negativ. - a / b = a / -b = -(a / b)

  23. 7. Brüche, ggT • 7.3 Der grösste gemeinsame Teiler (ggT) erhält man aus dem Produkt der gemeinsamen Primfaktoren der Zahlen:

  24. 7. Brüche, kgV • 7.4 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) erhält man aus dem Produkt der grössten Anzahl Primfaktoren 9 / 15 / 21

  25. 7. Brüche, kürzen • 7.5 Einen Bruch kürzen heisst, Zähler und Nenner durch die gleichen Zahl teilen.Der Wert des Bruches ändert sich durch das Kürzen nicht. 3 a b a3 b c c Sind bei einem Bruch Zähler und Nenner Summen, so muss man alle Summanden durch die gleiche Zahl kürzen.

  26. 7. Brüche, erweitern • 7.6 Einen Bruch erweitern heisst, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren. 3 •2 65 •2 10

  27. 7. Brüche + und – von Brüchen • 7.7 Gleichnamige Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man die Zähler addiert (subtrahiert) und den gemeinsamen Nenner beibehält. • 7.8 Brüche mit ungleichen Nennern muss man vor dem Addieren und Subtrahieren gleichnamig machen.

  28. 7. Brüche, multiplizieren • 7.9 Bruchzahlen werden multipliziert, indem das Produkt der Zähler durch das Produkt der Nenner dividiert wird.

  29. Lektion 3 1. Hausaufgaben (kürzen und erweitern), Zusammenfassung 2. Brüchemultiplizieren, dividieren 3. Textaufgaben

  30. 7. Brüche, dividieren • 7.10 Bruchzahlen werden dividiert, indem man vom 2.Bruch den Kehrwert bildet und die Bruchzahlen dann miteinander multipliziert. • 7.11 Eine Summe wird durch eine Zahl dividiert, indem man jeden Summanden durch die Zahl dividiert und die erhaltenen Quotienten je nach Rechenzeichen addiert oder subtrahiert.

  31. 7. Brüche, dividieren • 7.12 Eine Zahl darf man durch die einzelnen Summanden einer Summe nicht dividieren, nur wenn möglich kürzen. • 7.13 Dividieren von Summen (32ab+16ac)÷(4b+2c)=8a

  32. Hausaufgaben Lektion3 Kap.6.3 (Seite 75) 21, 26 Kap 6.4 (76) 34, 55 Kap 6.5 (77) 25, 33 Kap 7.3 (115) 16 Kap 7.4 (115) 8 Kap 7.8 (120) 37 Kap 7.9 (121) 30 Kap 7.9 (121) 38 Kap 7.13 (123) 14 siehe Aufgabenblatt

  33. Lektion 4 1. Hausaufgaben 2. Prüfung 3. Potenzierenaddieren, subtrahierenmultiplizieren, dividieren, potenzieren 4. Textaufgaben

  34. 8. Potenzieren, • 8.2 Das Vorzeichen:Eine Potenz mit negativer Basis ist positiv, wenn der Exponent eine gerade Zahl ist;sie ist negativ wenn der Exponent eine ungerade Zahl ist.-a2 = a2 -a3 = -a3 • 8.3 Potenzen mit gleichen Exponenten und gleichen Basen werden addiert , indem man nur ihre Beizahlen addiert und die Potenz beibehält.-3a2 + a2 + 4 a2 = 2 a2

  35. 8. Potenzieren, • 8.4a Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis mit der Summe der Exponenten potenziert..32• 34 = 36oder 9 • 81 = 729 • 8.4b Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man das Produkt der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. 34• 24 = (3 • 2)4 = 64 = 1296

  36. 8. Potenzieren, dividieren • 8.5 Potenzen mit gleichen Basen werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiertam an= am-noder 1 /an-m • Jede Potenz mit dem Exponenten 0 hat den Wert 1 a3 a3= a3-3 = a0 = 1

  37. 8. Potenzen potenzieren • 8.6 Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert(am)n= am•n • 8.7 Eine Summe oder Differenz wird potenziert, indem man die Potenz in ein Produkt umwandelt. (a+b)2=(a+b)•(a+b)= a2+2ab+b2

  38. Lektion 5 1. Rückblick 2. Prüfung besprechen 3. RadizierenProdukt, Bruch, Potenz, Wurzel, 4. Text-Gleichungen

  39. Lektion 6 1. RadizierenProdukt, Bruch, Potenz, Wurzel, 2. Gleichungen 3. Text-Gleichungen

  40. 9. Radizieren • Radizieren = Wurzel ziehen • 9.5 Ein Produkt wird radiziert, indem man jeden Faktor radiziert.

  41. 9. Radizieren • 9.6 Ein Bruch wird radiziert, indem man Zähler und Nenner radiziert • 9.7 Eine Potenz wird radiziert, indem man die Basis radiziert und die Wurzel mit dem Exponenten der Basis potenziert. Man kann den Wurzelexponenten und den Basisexponenten kürzen und erweitern.

  42. 9. Radizieren von Wurzeln • 9.8 Eine Wurzel wird radiziert, indem man die Wurzelexponenten multipliziert. Die Wurzelexponenten können vertauscht werden!

  43. 12. Gleichungen mit einer Variablen • 12.1 Allgemeine Gleichungen sind aufgrund der Rechengesetze wahre Aussagen. 7+5=12, 2a+5a= 7a Bei der Bestimmungsgleichung werden für die Variablen x, y .. Diejenigen Zahlen gesucht, die, an die Stelle der Variablen gesetzt, zu einer richtigen Aussage führen. 3x - 5 = 25 oder 30x - 7 = 55-x

  44. 12. Gleichungen mit einer Variablen • Eine Gleichung bleibt eine wahre Aussage, wenn man beide Seiten in gleicher Weise verändert. 7+5=12 oder 7+5-2=12-2 (7+5)/2=12/2

  45. 12. Gleichungen mit einer Variablen • Soll eine Zahl auf einer Seite beseitigt werden, so muss man auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren. x+5 = 21 x+5-5 = 21 -5 x = 21 - 5 x = 16

  46. 12. Gleichungen mit einer Variablen • Eine Gleichung muss immer so lange umgeformt werden, bis x auf der linken Seite allein mit positivem Vorzeichen steht. x = 14

  47. Wahrscheinlichkeit • Grundregeln der Wahrscheinlichkeit: 1. P ist immer zwischen 0 und 1 2. Eintreffensicherheit = 1 3. Unmöglich = 0 4. Entweder- oder = Addition 5. Sowohl als auch = Multiplikation

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