Kombinatorik

1. Kombinatorik Universität Kassel Wintersemester 2008/2009 Prof. Dr. Werner Bley Arithmetik als Prozess Referenten: Nicole Glanz, Katja Wilhelm Datum: 12.01.2009

2. Gliederung 1. Kombinatorik – Definition, kombinatorische Werkzeuge, Situationstypen, Zählprinzipien 2. Warm-up – Speiseplanaufgabe 3. Produktregel 4. Additionsregel 5. Variation mit Widerholung 6. Variation ohne Wiederholung 7. Permutation ohne Wiederholung

3. Gliederung 8. Binomialkoeffizienten 8.1 Allgemein 8.2 Berechnung 8.3 0-1-Folgen 8.4 Pascal-Dreieck 8.5 Binomischer Leitsatz 9. Kombination ohne Wiederholung 10. Permutation mit Wiederholung 11. Kombination mit Wiederholung

4. 1. Kombinatorik • Definition: „Zweig der Mathematik, in dem man sich mit Fragestellungen über endliche Mengen beschäftigt beispielsweise mit der Abzählung der verschiedenen Möglichkeiten der Auswahl und Anordnung von Elementen einer endlichen Menge.“ • Kombinatorische Werkzeuge: Baumdiagramm 0-1-Folgen Gitterdiagramm

5. 1. Kombinatorik • Kombinatorische Zählprinzipien: Produktregel Additionsregel - Situationstypen der Kombinatorik:  Variation: Reihenfolge ist relevant (Bsp. Würfelaufgabe: relevant, ob man zuerst die 1 und dann die 5 oder erst die 5 und dann die 1 würfelt)  Kombination: Reihenfolge ist nicht relevant (Reihenfolge der Würfelergebnisse ist nicht relevant)

6. 2. Warm-up-Aufgabe: Speiseplanaufgabe Schaut Euch den Speiseplan eines Restaurants an. • Ist das eine Kombination oder eine Variation? Begründet Eure Entscheidung!

7. 3. Produktregel Allgemeine Formulierung: Durchläuft man einen k-stufigen Entscheidungsprozess, in dem man auf der 1. Stufe n1, auf der 2. Stufe n2, und auf der dritten Stufe n3 Möglichkeiten und schließlich auf der k-ten Stufe nk Möglichkeiten hat, so ergeben sich n1 · n2 · n3… ·nk Möglichkeiten, den gesamten Entscheidungsprozess zu durchlaufen. • Speisekartenaufgabe: 3-stufiger Entscheidungsprozess 1. Stufe: Vorspeise 2 Möglichkeiten (Fruchtkaltschlale, Minestrone) 2. Stufe: Hauptspeise 3 Möglichkeiten 3. Stufe: Nachtisch 3 Möglichkeiten Insgesamt ergeben sich: 2*3*3 Möglichkeiten, den gesamten Entscheidungsprozess zu durchlaufen.

8. 4. Additionsregel • „Die Additionsregel besagt, dass man die Anzahl sämtlicher abzuzählender Möglichkeiten bestimmen kann, indem man diese systematisch in leichter überschaubare Gruppen einteilt und dann die getrennt bestimmten Anzahlen addiert.“

9. 5. Variation mit Wiederholung • Reihenfolge ist relevant • ein Objekt darf mehrfach vorkommen • Beispiel: Ziffernkärtchen 1,2,3,4 Aus vier Kärtchen, auf denen die Ziffern von 1 bis 4 stehen ,die auch mehrfach verwendet werden dürfen, sollen dreistellige Zahlen gebildet werden (121, 112, 344… ). Wie viele verschiedene Zahlen gibt es? • Auf jeder der 3 Stufen ergeben sich 4 Entscheidungsmöglichkeiten Insgesamt findet man 4*4*4= mögliche Zahlen • Auf der 1./2./3 Stufe habe ich jeweils 4 Möglichkeiten

10. 5. Variation mit Wiederholung • Wie viele der 64 Zahlen sind gerade? • Die Lösung kann man mindestens auf zwei verschiedene Arten erhalten: Abb.1:Die Hunderterstelle als erste und die Einerstelle als letzte Entscheidungsstufe Abb.2:Die Einerstelle als erste und die Hunderterstelle als letzte Entscheidungsstufe Beide Baumdiagramme führen zur Anzahl 32.

11. 5. Variation mit Wiederholung • Ein zweites Beispiel: Gesucht ist die Anzahl aller Teilmengen der Menge (a,b,c). • Die Erzeugung jeder einzelnen Teilmenge als eine Art dreistufiger Entscheidungs-prozess vorstellbar: • 1. Stufe: Gehört das Element a zur Teilmenge? 2 Stufe: Gehört b zur Teilmenge? 3. Stufe: Ist c Element der Teilmenge? • Wir erhalten: drei 1-elementige Mengen (a), (b), (c), drei 2-elementige Mengen (a,b), (a,c), (b,c), eine 3-elementige Menge (a,b,c) und eine leere Menge ( ).

12. 5. Variation mit Wiederholung • auf jeder Stufe bestehen 2 Wahlmöglichkeiten: entweder das Element gehört dazu oder nicht (Ja oder Nein) • bei einer 3-elementigen Menge (a,b,c) ergeben sich Möglichkeiten, verschiedene Teilmengen zu bilden • bei einer k-elementigen Menge existieren Möglichkeiten

13. 5. Variation mit Wiederholung 0-1-Folgen • die Entscheidung auf jeder Stufe können wir nicht nur durch Ja oder Nein kodieren, sondern auch durch 0 oder 1 1= Das Element gehört zur Teilmenge (Ja) 0= Das Element gehört nicht zur Teilmenge (Nein) • Teilmenge (a,b,c): 111; ( ): 000 (a,c): 101 • jeder 0-1-Folge lässt sich eindeutig einer Teilmenge zuordnen • für jede Teilmenge existiert genau eine 0-1 Folge als Codierung

14. 5. Variation mit Wiederholung Aufgabe: - Wir haben eine 5-elementige Teilmenge (a,b,c,d,e). Wie lauten die Codierungen für folgende Teilmengen: Beispiel: (a,b,e): 11001 (a,d,e): (e): Welche Teilmengen verbergen sich hinter folgenden Codierungen? Beispiel: 10001: (a,e) 01010: 10101:

15. 5. Variation mit Wiederholung Allgemeine Formulierung: - Es handelt sich um einen k-stufigen  Entscheidungsprozess. Auf jeder der k Entscheidungsstufen gibt es n Entscheidungsmöglichkeiten, insgesamt also: n * n * n ... * n = Möglichkeiten. Beispiel 1: Regine möchte mit ihrer EC-Karte am Geldautomaten 30 Euro abheben. Beim Eingeben ihrer vierstelligen PIN überlegt sie sich, wie viele verschiedene PIN`s es wohl geben mag! Wie viele sind es? Ergebnis: n=10 (mögliche Zahlen 0-9) k= 4 = =10000 mögliche PIN`s

16. 5. Variation mit Wiederholung Aufgabe: Herr Vergissmeinnicht vergisst immer schnell die vierstellige Geheimzahl seiner Scheckkarte (er beantragt dann immer eine neue), aber er hat sich jedes Mal bestimmte Einzelheiten gemerkt. Ermittelt die Anzahl der Versuche, die er maximal benötigen würde, um an sein Geld zu kommen! a) Er weiß, dass seine Geheimzahl aus den Ziffern 1,3,5,7 besteht. b) Er weiß, dass alle Ziffern gerade sind und keine 0 dabei ist.

17. 5. Variation mit Wiederholung Lösung: Zu a) n= 4 (mögliche Zahlen 1,3,5,7) k= 4 (4-stelliger PIN) Er braucht maximal 256 Versuche, um an das Geld zu kommen. Zu b) n= 4 (mögliche Zahlen: 2,4,6,8) k= 4 = Er braucht maximal 256 Versuche, um an das Geld zu kommen

18. Variation ohne Wiederholung • Definition: Die Auswahl der k-stelligen Sequenzen der Grundgesamtheit , in denen das Element genau einmal vorkommt und die Reihenfolge relevant ist, heißt Variation ohne Wiederholung von der Länge k . • Reihenfolge von Bedeutung • ein Objekt darf nicht mehrfach auftreten • Beispiel: Zahlenkarten Aus vier Kärtchen, auf denen die Ziffern von 1 bis 4 stehen, sollen dreistellige Zahlen gebildet werden, z.B. 123, 412 oder 314. Wie viele verschiedene Zahlen gibt es?

19. Variationen ohne Wiederholung • Lösungsansatz: - 1. Stufe  Wahl zwischen 4 Ziffern, - 2. Stufe  Wahl zwischen 3 Ziffern, - 3. Stufe  Wahl zwischen 2 Ziffern  4*3*2 = 24, insgesamt ergeben sich 24 verschiedene Zahlenkombinationen (Produktregel)

20. Variationen ohne Wiederholung • Baumdiagramm: Möglichkeiten

21. Variationen ohne Wiederholung • allgemeine Formel: • es gibt k Plätze, die von n Objekten besetzt werden • jedes Objekt kann höchstens einen Platz einnehmen • es gilt: • analog zum Beispiel: k=3; n=4  24 Möglichkeiten

22. Variation ohne Wiederholung • Beispiel 2: Bei einem Wettlauf treten 5 Kinder gegeneinander an: Leonie, Patricia, Franziska, Anna und Sabrina. Wie viele Möglichkeiten existieren, die ersten drei Plätze zu vergeben? - allgemeine Formel:

23. Variation ohne Wiederholung • Ergebnis Beispiel 2:  Es gibt genau 60 verschiedene Möglichkeiten.

24. Permutation ohne Wiederholung - Name aus dem lat. permutare (vertauschen) • jede Anordnung kann sich durch Vertauschen aus jeder anderen Anordnung erzeugen lassen • Beispiel: Wettkampf der 5 Kinder Die 5 Kinder sollen nun jeder einen Platz von 1-5 bekommen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?  es gibt genau so viele Plätze wie Personen oder allgemeiner, es gibt genau so viele Stufen im Entscheidungsprozess wie Objekte

25. Permutation ohne Wiederholung • wir rechnen: • typisch ist, dass die Faktoren bis zur 1 schreiten • da die Form häufiger vorkommt schreibt man vereinfacht: n! (Beispiel: 5!)

26. BinomialkoeffizientenAllgemein • ein wichtiges Werkzeug der Kombinatorik • besondere Schreibweise bzw. eigenes Symbol: • bezeichnet die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Mengen • Beispiel: Lotto „6 aus 49“ Schreibweise: (bezeichnet die Anzahl der 6-elementigen Teilmenge einer aus 49 Elementen bestehenden Menge)

27. BinomialkoeffizientenBerechnung Formel: - Beispiel: n=6, k=3

28. Beweis - Binomialkoeffizient Mit (n-k)! erweitern (n-k)!= (n-k) (n-k-1)…1 (oder k!) Im Zähler durchlaufen die Faktoren die Werte n bis 1, also steht dort gerade n!= n (n-1)…1

29. BinomialkoeffizientenBerechnung • Regeln für die schnelle Berechnung von Binomialkoeffizienten:

30. Binomialkoeffizienten0-1-Folgen 0-1-Folgen: • es gilt, dass es 0-1-Folgen der Länge n mit genau k Einsen existieren • Beispiel: 5-elementige Menge: {1,2,3,4,5} deren 3-elementige Teilmenge:{1,3,4}, {1,4,5}, {2,3,4}, {3,4,5} entsprechenden 0-1-Folgen: 10110, 10011, 01110, 00111  gibt genauso viele 0-1-Folgen der Länge 5 mit genau drei Einsen wie 3-elementige Teilmengen einer Menge mit 5 Elementen:

31. BinomialkoeffizientenPascal-Dreieck Das Pascal-Dreieck: • das pascalsche Dreieck ist eine geometrische Darstellung der Binomialkoeffizienten - die Koeffizienten entstehen durch Addition darüberliegender Koeffizienten. • n steht für Anzahl der Elemente der Ausgangsmenge • k steht für Anzahl der Elemente der Teilmenge

32. Binomialkoeffizienten Pascal-Dreieck k

33. Binomialkoeffizienten Pascal-Dreieck • Summe der Einträge einer Zeile wird als Zeilensumme bezeichnet • die Zeilensumme der ersten Zeile ist 2, daher ist die Zeilensumme der n-ten Zeile • Beispiel: Tabellenzeile Nummer 5 • dort sind alle Teilmengen einer 5-elementigen Menge abgezählt • alle Zahlen zusammen (1,5,10,10,5,1) ergeben die Anzahl aller Teilmengen einer 5-elementigen Menge: (=32) • an dieser Stelle kommt die Additionsregel zu Einsatz

34. Binomialkoeffizienten Pascal-Dreieck • dies entspricht dem Gesetz der Binomialkoeffizienten: • Beispiel: Zeile 5  n=5,

35. Binomialkoeffizienten Pascal-Dreieck k

36. Binomialkoeffizienten Pascal-Dreieck - die n-te Zeile dieses Zahlenschemas enthält genau die Koeffizienten, die beim Ausmultiplizieren von  (a + b)n  auftreten, wobei mit  n = 0  zu zählen begonnen wird:  Die nullte Zeile entspricht der Identität (a + b)0   =   1  Die erste Zeile entspricht der Identität  (a + b)1   =   a + b  Die zweite Zeile entspricht der Identität  (a + b)2   =   a2 + 2 ab + b²  Die dritte Zeile entspricht der Identität  (a + b)3   =   a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

37. Binomialkoeffizienten Pascal-Dreieck Die nullte Zeile entspricht der Identität  (a + b)0   =                   1 Die erste Zeile entspricht der Identität  (a + b)1   =            1a + 1b Die zweite Zeile entspricht der Identität  (a + b)2   =          1a2 + 2ab + 1b2 Die dritte Zeile entspricht der Identität (a + b)3   =  1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3                        usw. • die fettgedruckten Zahlen sind die Binomialkoeffizienten • diese sind genau die Zahlen des Pascal-Dreiecks

38. BinomialkoeffizientBinomischer Leitsatz • der Name „Binomialkoeffizienten“ leitet sich davon ab, dass die Zahlen im binomischen Lehrsatz auftreten: Herleitung zu der Formel durch ausmultiplizieren der Terme: (a + b)1=1a+1b= (a + b)2=1a2+2ab+1b2= (a + b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3=

39. Kombination ohne Wiederholung • Definition: Die Auswahl der k-stelligen Sequenz der Grundgesamtheit , in denen das Element genau einmal vorkommt, heißt Kombination ohne Wiederholung von der Länge k. • Reihenfolge nicht von Bedeutung • Wenn aus n Objekten k ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt werden sollen, so gibt es jeweils die Klasse der k ausgewählten Objekte und die Klasse der (n-k) nicht ausgewählten Objekte • dabei sind k und n-k in der Formel austauschbar, da man die n Objekte in zwei Teilmengen teilt • es gilt:

40. Kombination ohne Wiederholung • Beispiel: Lotto „6 aus 49“ Wenn aus 49 Objekten nun 6 ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt werden sollen, so gibt es: Möglichkeiten

41. Kombination ohne Wiederholung • Beispiel 2: Herr Bauer hat seinen vierstelligen Zahlencode vergessen. Er weiß noch, dass es sich bei seinem Code um vier verschiedene Ziffern gehandelt hat. Die 0 war nicht dabei. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten müsste Herr Bauer höchstens ausprobieren? Berechnungsformel:

42. Kombination ohne Wiederholung • Lösung Beispiel 2: n=9, k=4 Herr Bauer müsste höchstens 630 Kombinationsmöglichkeiten ausprobieren.

43. Permutation mit Wiederholung Holger möchte für die Party eine Lichterkette aufhängen. Er hat 5 rote Lampen, 4 grüne Lampen und 3 gelbe Lampen. Wie viele verschiedene Lichterketten sind möglich? Lösungsansatz: Binomialkoeffizient und Produktregel Lösung: 1.Schritt: Entscheiden, auf welche 5 von den 12 Plätzen die roten aufgehängt werden: Möglichkeiten 2. Schritt: Festlegen, auf welche 4 der verbleibenden 7 Plätze die grünen Lampen gehängt werden: Möglichkeiten 3. Schritt: Die verbleibenden 3 Plätze auf die gelben Lampen verteilen: Produktregel: x x Möglichkeiten x Möglichkeiten

44. Permutation mit Wiederholung Binomialkoeffizient x = Es gibt 27720 Möglichkeiten die Lichterketten aufzuhängen.

45. Permutation mit Wiederholung Allgemeine Formel: Hat man n Objekte sowie s verschiedene Sorten von Objekten mit den Vielfachheiten k1, k2, k3, … , dann können diese auf . Arten angeordnet werden.

46. Permutation mit Wiederholung Beispielaufgabe: Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es, alle Buchstaben des Wortes „ANAGRAMM“ in einer unterschiedlichen Reihenfolge anzuordnen? Lösung: n= Objekte k= Sorten von Objekten n = 8 (Anzahl aller Buchstaben) k1= A = 3 k2= G = 1 k3= N = 1 k4= M = 2 k5= R = 1 Es gibt 3360 Möglichkeiten.

47. Kombination mit Wiederholung Ein Händler hat 5 verschiedene Sorten Äpfel. Er verkauft Tüten beliebiger Zusammensetzungen mit jeweils 10 Äpfeln. Wie viele verschiedene Zusammensetzungen sind denkbar? Bildliche Darstellung: Auf die 5 Schachteln werden 10 Äpfel verteilt.

48. Kombination mit Wiederholung Summendarstellung: 1+3+0+2+4 Summendarstellung: 0+3+3+3+1 0-1-Folge 01000110010000 10001000100010 Jeder Apfel wird durch eine 0 und jede Trennwand durch eine 1 ersetzt.

49. Kombination mit Wiederholung • Wenn man umgekehrt von einer 0-1-Folge ausgeht, kann man die entsprechende Sortenzusammenstellung rekonstruieren • Es gibt genauso viele Sortenzusammenstellungen wie 0-1-Folgen aus 4 Einsen und 10 Nullen, nämlich = Binomialkoeffizient: Ergebnis:

50. Kombination mit Wiederholung Antwort: Es sind 1001 verschiedene Zusammensetzungen möglich, wenn ich 5 verschiedene Sorten Äpfel habe und Tüten beliebiger Zusammenstellung mit jeweils 10 Äpfeln verkaufe. Darstellung im Gitternetz: Sorte 1: 1 Apfel Sorte 2: 3 Äpfel Sorte 3: keinen Apfel Sorte 4: 2 Äpfel Sorte 5: 4 Äpfel 0-1-Folge: 01000110010000