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Teoría de Portfolio

Escuela de Ingeniería Comercial. K & E Design ® 2000. Chile. Teoría de Portfolio. Escuela de Ingeniería Comercial. K & E Design ® 2000. Chile. Cartera y Cartera Eficiente. Cartera , es la combinación de activos o títulos financieros.

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  1. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign® 2000 Chile Teoría de Portfolio

  2. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Cartera y Cartera Eficiente • Cartera, es la combinación de activos o títulos financieros. • Cartera Eficiente, es el conjunto de inversiones eficientes que proporcionan el retorno esperado mas alto posible para cualquier nivel de riesgo o el nivel de riesgo más bajo posible para cualquier retorno

  3. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Selección de Títulos Bajo Condiciones de Riesgo • Se seleccionan las alternativas de inversión en base a: • Retorno Esperado, y • Varianza o Desviación Estándar. • Y se eligen aquellos títulos que no se dominan entre sí.

  4. n E(Ri) = S Pij * Rij j=1 Retorno Esperado = 2 n _ sy = S Pij * (Rij – Ri)2 j=1 Varianza = Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Retorno Esperado y Riesgo

  5. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Rendimiento y Rendimiento Esperado de una Cartera de Dos Activos Rp = v Rs + (1- v)Rc E(Rp) = v E(Rs) + (1- v)E(Rc) • Donde: v = Porcentaje a invertir en ACTIVO S • (1 – v) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C

  6. n • Pij [Ri – E(R) ]2 i=1 VAR(R) = 2 v VAR(Rs) + 2v (1 – v) COV(Rs,Rc) + (1-v)2 VAR(Rc) VAR(Rp) = Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Varianza de Una Cartera de Dos Activos • Donde: v = Porcentaje a invertir en ACTIVO S • (1 – v) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C

  7. _ _ sp2= E [X1*R1j + X2*R2j – X1Ri + X2*R2]2 _ Rp Distintos Retornos del Valor 1 _ _ E [(Rij – Ri) (R2j – R2)] Es la Covarianza y se designa:s12 sp2 = X12s12 + X22s22 + 2X1X2s12 Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Varianza del Portfolio, sp2 • Es el valor esperado de las desviaciones al cuadrado de los retornos del portfolio respecto a los del retorno medio. sp2= E (Rp – Rp)2 _ _ sp2= E [X1(R1j – Ri) + X2 (R2j – R2)]2 _ _ sp2= X12s12 + 2X1X2 E [(Rij – Ri) (R2j – R2)] +X22s22

  8. sp= Xc sc + (1 – Xc) ss y _ _ _ Rp = XcRc + (1 – Xc) Rs Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Perfecta Correclación Positiva: r= +1 • Luego: sp2= [X22sc2 + (1 –Xc)2ss2 +2Xc (1 – Xc) * 1 * sc * ss]1/2 Esto es (Xcsc + (1 – Xc) ss)2 O sea, cuandor = +1 El Riesgo y Retornoson unaCombinación Lineal.En este caso de Perfecta Correlación elR y s, de un Portfolio de 2 activos esPromedio Ponderado del Retorno y Riesgode los activos individuales, o sea,no se Diversifica el Riesgo

  9. sp= Xc sc - (1 – Xc) ss ó _ _ _ sp = -Xcsc + (1 – Xc) ss Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Perfecta Correclación Negativa: r= -1 • Luego: sp= [Xc2sc2 + (1 –Xc)2ss2 -2Xc (1 – Xc)scss]1/2 El valor de spserá siempre menor que cuando r = +1. Es mas, cuando r = -1 , se puede encontrar una combinación con Cero Riesgo

  10. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile No Correclación entre Activos: r= 0 • El Retorno no varía, pero: sp= [Xc2 sc2 + (1 – Xc)2 ss2]1/2 En esta situación hay un punto donde el riesgo es menor. Esto puede obtenerse de: sp= [Xc2 sc2 + (1 – Xc)2 ss2 + 2Xc(1-Xc) scssrcs]1/2 Sacar la primera derivada e igualar a cero, (dsp/dXc=0) Igualando a cero: Xc = ss2 - scssrcs _______________________ sc2 + ss2 – 2scssrcs

  11. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Proporciones Óptimas a Invertir a Invertir en una Cartera de 2 Activos vs = desv.C (desv.C – coef.correl.(c,s) * desv.S) varianza S + varianza C – 2Cov c,s • Donde: v = Porcentaje a invertir en ACTIVO S • (1 – vs) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C

  12. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Covarianza • Es una medida de cómo los retornos de los activos o títulos se mueven juntos. N _ _ Cálculo:ss,c = S (Rsj – Rs)(Rcj – Rc)*Pj J=1 • Donde: Rs = Retorno título S • Rc = retorno título C • Pj = Probabilidad de ocurrencia de los distintos retornos.

  13. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Varianza de una Cartera de N Activos • En una cartera de N activos se tienen: • N varianzas • N (N – 1) Covarianzas N 2 N-1 N VAR( R ) =S vj VARj + 2 S S vjvi COV(ij) J=1 j=1 I=1 j=/=i • Donde: vy = Proporción de la inversión asignada al valor j • vi = Proporción de la inversión asignada al valor i • N = Número de valores de la cartera.

  14. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Varianza de una Cartera de N Activos • Si en una cartera de N títulos se invierte en cada título [1/N], la varianza de cartera. • Queda expresada de la siguiente forma: N N N s2(c) =S [1/N]2 * s2j + S S [1/N][1/N] s(ij) J=1 j=1 I=1 j=/=i

  15. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Varianza de una Cartera de N Activos • Al efectuarse factorizaciones por [1/N] en el primer término de la expresión anterior, y por [(N-1)/N] en el segundo término, se llaga a lo siguiente: __ __ s2(c) = [1/N] s2j +[(N-1)/N] s(ij)

  16. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Varianza de una Cartera de N Activos • De la anterior fórmula se desprende que: • La contribución de la varianza de los activos individuales respecto a la varianza y la cartera tiende a cero en la medida que N sea grande. • Sin embargo, la contribución de las covarianzas se aproxima al promedio de las covarianzas cuando N aumenta. Esto implica que una parte del riesgo de la cartera (Riesgo de Mercado), no se puede eliminar a través de la diversificación.

  17. E(Rp) C Conjunto Eficiente A O(Rp) Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Cjto. de Oportunidades de Cartera y Cjto. Eficiente con Muchos Activos Riesgosos

  18. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Cartera Óptima • Aquella que es tangente a la frontera eficiente con la más alta curva de iso – utilidad del inversionista

  19. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Ejemplo Retorno Vapores -5,00 0,00 11,25 15,00 20,00 Retorno Papeles-Cartones 0,00 5,00 8,75 10,00 15,00 Probabilidad 10% 20% 40% 20% 10%

  20. E(Rv) = -5*0,10 + 11,25*0,40 + 15*0,20 + 20*0,10 E(Rp-c) = 5*0,20 + 8,75*0,40 + 10*0,20 + 15*0,10 E(Rv) = 9,0 E(Rp-c) = 8,0 Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Cálculo de los Retornos Esperados de cada Título

  21. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Cálculo del Riesgo de Cada Título sv = 7,5581 s(p-c) = 3,7583 • ¿Los títulos de Vapores y Papeles – Cartones • son inversiones eficientes para formar una cartera?. • Si puesto que: E(Rv) > E(Rp-c) s(Rv) > s(Rp-c) • El Coeficiente de Correlación entre los títulos Vapores y Papeles-Cartones, es de –0,5

  22. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Ejercicio Calcular el Retorno y el Riesgo de una Cartera, si se invierte: Vapores 10 millones 8 millones 5 millones 3 millones 1 millón 0 millón Papeles-Cartones 0 millón 2 millones 5 millones 7 millones 9 millones 10 millones

  23. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Ejercicio Retorno Cartera • Rc= 100%*9 + 0%*8 • Rc= 9 • Rc= 8,8 • Rc= 8,5 • Rc= 8,3 • Rc= 8,1 • Rc= 8,0 • Riesgo Cartera • sc= 7,5581 • sc= 5,7079 • sc= 3,2728 • sc= 2,4693 • sc= 3,0751 • sc= 3,7583

  24. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Ejercicio • ¿ Cuáles son las proporciones óptimas a invertir en cada título para que el Riesgo de la cartera sea mínimo? • En Vapores se debe invertir 28,43% y en • Papeles-Cartones un 71,57% del presupuesto. • Luego: • E (Rc) = 8,2843 • s (c) = 2,4637

  25. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign® 2000 Chile Modelo de Fijación de Precios de Activos de Capital (C.A.P.M.)

  26. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile C.A.P.M. • Supuestos: • Mercado perfecto o eficiente. • Presencia del Activo de Cero Riesgo. • Combinar cualquier cartera de la frontera eficiente formada con activos riesgosos, con un activo sin riesgo. • Retorno de activos sin riesgo (RF) con cartera de activos riesgosos (RM)* son independientes. Luego covarianza entre ellos es igual a cero. • * RM = Es la cartera que contiene a todos los activos riesgosos de la economía.

  27. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile C.A.P.M. • a. Retorno Cartera = E(Rp)= (1-x)RF + x E(RM). • b. Riesgo Cartera = s2 Rp = [x2 s2] E(RM). • Despejando x de b, se tiene: • X= s (Rp) S (RM) • Reemplazando la x calculada en el punto anterior, en E(Rp), se tiene la “Línea de Mercado de Capitales”.

  28. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Ecuación Línea de Mercado de Capitales L.M.C. E(RM) - RF E(Rp) = RF + ----------------- s(Rp) s (RM) • Donde: E(Rp) = Tasa esperada de rendimiento de las carteras a lo largo de la CML, es decir, combinaciones de RF y de RM. • RF = Tasa libre de riesgo, ya sea petición u otorgamiento de crédito. • E(RM) = Tasa esperada de rendimiento sobre la cartera de mercado, M. • s (RM) = Desviación estándar del rendimiento sobre la cartera de mercado. • s (Rp) = Desviación estándar de las carteras a lo largo de la CML.

  29. E(Rp) J L.M.C. FRONTERA EFICIENTE M E(RM) Precio de Equilibrio del Riesgo Pendiente= E(RM) – RF= OM RF OM o(Rp) Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile L.M.C. Y Frontera Eficiente

  30. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Retorno Esperado de un Título Individual • El C.A.P.M. Indica que el retorno esperado de cualquier activo individual se obtiene en el punto donde se iguala la pendiente de la Frontera Eficiente con la pendiente de la L.M.C. Pendiente L.M.C.= d E(Rp) = E(RM) – RF d s(Rp) = s (RM)

  31. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Pendiente dela Frontera Eficiente • La pendiente de la Frontera Eficiente se determina de la siguiente manera: • Se forma una nueva cartera compuesta por dos activos: • Ri = retorno de activo i. • RM= Cartera de mercado. • b. E(Rp) = x * E(Ri) + (1-x) E(RM). • s2(Rp) = x2 * s2(Ri) + (1-x)2 * s2(RM) + 2x(1-x) cov (Ri,RM) • x = Porcentaje a Invertir en Ri. • (1-x) = Porcentaje a Invertir en RM.

  32. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Pendiente dela Frontera Eficiente • Luego la Pendiente de la Frontera Eficiente esta dada por la derivada implícita. • dE(Rp) • dE(Rp) = dx = [E(Ri) – E (RM)] * s(RM) • ds(Rp) = ds (Rp) cov (Ri,RM) – s2 (RM) • dx

  33. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Pendiente dela Frontera Eficiente • Al igualar ambas pendientes: • [E(Ri) – E(RM)] s(RM) = E(RM) –RF • Cov (Ri,RM) – s2(RM) s(RM) • Y despejando E(Ri), se obtiene: • E(Ri) = RF + E(RM) – RF * cov (Ri, RM) • s2(RM) • La anterior ecuación, indica que existe una relación lineal entre retorno esperado de un activo individual y su covarianza con el mercado.

  34. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Ecuación Línea de Mercado de Valores L.M.V. E(Ri) = RF +[ E(RM) – RF] bi • Donde: E(Ri) = Rendimiento esperado o ex ante sobre l a i-ésima acción. RF = Tasa de rendimiento sobre un activo libre de riesgo. • (RM) = Rendimiento esperado o ex ante sobre la cartera de mercado. • bi = Medida de riesgo sistemático de la i-ésima acción, tal que: • bi = cov (Ri,RM) • s2 (RM)

  35. E(Ri) Porcentaje L.M.V. E(RM)=11 RF=5 bi 0 0.5 bM=1.0 1.5 Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Recta del Mercado de Valores Pendiente= E(RM) – RF) = 11-5 = 6% bM – 0 1-0

  36. E(Rj) E(Rp) L.M.V. L.M.C. M M E(RM) E(RM) E(RA) RF RF OM bA bM=1 o(Rp) bj Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Comparación entrela L.M.C. y la L.M.V. b. Recta del Mercado de Valores a. Recta del Mercado de Capitales

  37. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Riesgo Sistemático o Beta • Beta de un activo i, es la medida de volatilidad de los retornos de este, en relación con los retornos de la cartera. • Por lo tanto: E(Ri) = RF + bi [ E(RM) – RF] • Donde bi = cov (Ri ,RM)s2(RM)

  38. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Riesgo sistemático o Beta • Luego el Retorno Esperado de cualquier activo, es igual a la tasa de Cero Riesgo RF, más un premio por el riesgo, que esta dado por el diferencial entre retorno esperado de la cartera menos la tasa de cero riesgo, multiplicado por el Riesgo Sistemático o Beta

  39. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Aplicación Empíricadel C.A.P.M. • (Rit – RFt) = aibi (RMt – RFt) + eit • Donde: • Rit = Retorno de la acción i, en el período t. • RFt = tasa libre de riesgo, en el período t. • ai = Intersección de la Línea Característica con el eje vertical. • bi = pendiente de la Línea Característica. • eit = Error aleatorio, independiente del comportamiento del mercado.

  40. Exceso rendimiento Empresa A b= 0,89 a = 0 Exceso rendimiento Mercado Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Línea Característica

  41. Riesgo No Sistemático Retorno en Exceso de la Acción b a Retorno en Exceso del Mercado a debería ser = 0 Entonces Rj – RF = a + (RM – RF) b Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Modelo de Precios de Activos de Capital

  42. Escuela de Ingeniería Comercial K&EDesign ® 2000 Chile Ajuste de b por Levarage Modelo de Hamada • Dados: • RF = Tasa libre de riesgo. • RM = Retorno promedio del mercado. • Bu = En ausencia de Leverage. • D/P = Deuda / patrimonio. • T = Tasa de Impuestos. • R = Tasa Pura + Riesgo Negocio * Riesgo Financiero • = RF + (RM – RF) * bu * [ 1 + (D/P) * (1 – T)] • O sea: • b = bu * [ 1 + (D/P) * (1 – T)] • Y : • bu = b / [ 1+ (D/P) * (1 – T)]

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