Prehod iz laminarnega v turbulentni tok v cevi

1. Prehod iz laminarnega v turbulentni tok v cevi Boštjan Jenčič Mentor: Iztok Tiselj Ljubljana 22.5.2012

2. Vsebina • Uvod • Navier-Stokesove enačbe • Opis • Laminarni tok • Turbulentni tok • Lastnosti turbulenc • Prehod iz laminarnega v turbulentni tok v cevi

3. Uvod • Tok v cevi je lahko laminaren, turbulenten, ali pa je kombinacija enega in drugega • Naravo toka je mogoče napovedati z reynoldsovim številom: • Delež turbulentnega toka se z Reynoldsovim številom povečuje, pri določenem Re pa postanejo turbulentne motnje stalne • Pri turbulentnem toku je efektivni pretok tekočine ter njeno mešanje zelo različno kot pri laminarnem toku.

4. Navier-Stokesove enačbe • NS enačbe nam opisujejo dinamiko tekočin, ter so izpeljane iz 2. newtnovega zakona. • Uporabljajo se v meteorologiji, oceanografiji, energetiki, letalski in avtomobilski industriji ipd. • Kljub pogosti rabi pa matematikom še vedno ni uspelo dokazati, da v 3D vedno obstaja rešitev, ter da v primeru obstoja rešitev ne vsebuje nobenih singularnosti

5. Reynoldsovo število v NS enačbah Če Navier-Stokesove enačbe nekoliko preoblikujemo, opazimo, da vsebujejo Reynoldsovo število: Sklepati je mogoče, da so vsi tokovi z enakim Reynoldsovim številom primerljivi.

6. Laminarni tok • Primer za okroglo cev • Stacionaren tok • NS enačbe se poenostavijo na: • Rešitev je oblike:

7. Turbulentni tok • Nestacionaren tok, kar naredi reševanje NS enačb bolj težavno. • Pri Re>Rec , tok ni več nujno laminaren. • Problema se je prvi lotil Osbourne Reynolds, ki je hitrostno polje ter tlačno razdelil na stacionarno, ter na majhne fluktuacije.

8. Ker veljajo NS enačbe za v(r) in v0(r), dobimo ob upoštevanju kontinuitetne enačbe pogoj za v1: • Izkaže se, da ima lahko za Re~Rec motnja obliko: • Rešitev je stabilna takrat, ko velja γ1<0 (Re<Rec), saj motnja eksponentno ponikne s časom, ko pa je γ1 >0 (Re>Rec), bi velikost motnje morala naraščati v neskončnost, čeprav se to ne zgodi. Taka rešitev je nestabilna.

9. Pri reynoldsovih številih malo večjih od Rec, za amplitudo hitrosti v1 velja: • Tok je torej mogoče opisati kot vsoto stacionarnega toka, ter majhnega periodičnega toka: • Pojavi se prost parameter β1 , ki ga določajo začetni pogoji.

10. Pri večjih Re-Rec je hitrostno polje smotrno zapisati kot periodični tok v celoti: • Z nadaljnjim večanjem Re periodični tok dokončno postane nestabilen. Periodični hitrosti v dodamo majhno korelacijo v2: • Ψ ima periodo 2π/ω1 • Ko se Re še povečuje se pojavljajo še novi tokovi na vedno manjši skali. Končni rezultat je tok, ki mu pravimo turbulenten in ima obliko:

11. Popolno razvita turbulenca • Ob robovih še vedno tanka plast laminarnega toka, po večini cevi pa je povprečna hitrost enaka. • Turbulentni tok je lažje obravnavati statistično kot deterministično, zaradi velikega števila prostih parametrov. • Analogija: Makroskopsko telo, pri katerem ne poznamo začetnih položajev ter gibalnih količin vsake molekule.

12. Popolno razvito turbulenco je mogoče opisati kot superpozicijo vrtincev različnih velikosti. • Najprej se pojavijo večji vrtinci, nato z nadalnjim večanjem Re vedno manjši. • Vsakemu vrtincu lahko pripišemo lastno Re: • Pri večjih vrtincih je Reλ večji, kar ustreza manjši efektivni viskoznosti, do izgub energije pride večinoma pri manjših vrtincih.

13. Lokalna turbulenca • Vrtinci, katerih velikosti λ so mnogo manjše od velikosti prvotnih vrtincev L. • Izguba energije na enoto časa in mase je: • Fluktuacija hitrosti je sorazmerna tretjemu korenu velikosti vrtinca

14. Pri najmanjših vrtincih velikosti λ0, mora veljati Reλ~Rec, iz tega lahko dobimo velikost najmanjših možnih vrtincev v toku: • Število prostih parametrov na enoto volumna lahko ocenimo na:

15. Prehod v turbulentno stanje • Pri Reynoldsovih številih v okolici Rec , se v sicer laminarnem toku pojavljajo posamezne turbulentne motnje z značilno dolžino ~20D. • Motnja nastane pod pogojem, da v tok vnesemo majhno perturbacijo, ki spremeni profil hitrostnega polja. • Ob popolnoma gladkih ceveh je mogoče doseči laminaren tok tudi pri Re ~105. Prikaz turbulentne motnje

16. Najmanjša amplituda perturbacije, ki je potrebna za nastanek turbulentne motnje je sorazmerna z Re-σ. • Perturbacijo je pri eksperimentu mogoče doseči na več načinov, npr. z pravokolno vbrizganim curkom ali tanko žičko. • Ugotovljeno je, da imata oblika in amplituda perturbacije zanemarljiv vpliv na življenjski čas turbulentne motnje. Perturbacija v toku zaradi pravokotno vbrizganega curka

17. Čas obstoja posamezne turbulentne motnje je odvisen le od Re, ter se ob naraščanju Re podaljšuje eksponentno ali hitreje, vendar ne divergira. • Ugotovljeno je bilo, da se motnja poleg tega da razpade, lahko tudi razcepi na dve enako veliki motnji, zato se turbulenca sploh lahko ohranja Proces razcepa turbulentne motnje

18. Določanje Rec • S pravokotno vbrizganim curkom laminarni tok izmaknemo iz ravnovesja, ter povzročimo turbulentno motnjo • Nato z dvema tlačnima senzorjema spremljamo motnjo • Prvi senzor je postavljen blizu (50D od nastanka perturbacije) in nam pove, ali je res nastala natanko ena turbulentna motnja • Drugi senzor pomikamo po cevi, ter merimo število izmerjenih motenj. A-zaznani dve motnji B-zaznana ena sama motnja

19. Razcep in razpad motnje sta naključna procesa(podobno kot razpad jedra) • Verjetnost za razpad: • Verjetnost za razcep: Verjetnost da se motnja ne razcepi v odvisnosti od časa

20. Točka prehoda je pri Re~2040

21. Pri večjih Re(>2300), se turbulentne motnje ne cepijo več diskretno, temveč se širijo-turbulence se ‘’delokalizirajo’’ A-Re=2300B-Re=2450

22. Povzetek • Lastnosti Navier-Stokesovih enačb • Laminarni tok v NS enačbah • Turbulentni tok v NS enačbah • Lastnosti turbulentnega toka • Eksperimentalni prikaz prehoda toka iz laminarnega v turbulentni, ter določitev točke prehoda

23. Viri [1]http://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations [2] Landau, Lifshitz: Course of theoretical Physics, volume 6: Fluid Mechanics [3] Avila K.: The onset of turbulence in pipe flow: Science 333 (2011), str.192 [4] Busse F.H.:Visualizing the dynamics of the onset of turbulence: Scoence 305 (2004), str 1574