Geometría Plana

1. Geometría Plana EJÉRCITO DE CHILE COMANDO DE INSTITUTOS Y DOCTRINA Academia Politécnica Militar Bases de la geometría Haroldo Cornejo Olivarí

2. Ángulo: Concepto y definición • Es la porción de un plano contenido entre dos semirrectas que tienen su origen en común. • Es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice. • El ángulo se designa con una letra griega o tres letras con el vértice en medio (α; β; AOM; ABC; etc)

3. Ángulo: Concepto y definición • Sus componentes son: • LADOS: Son las semirrectas. • VÉRTICE: Es el punto común de los lados. • VALOR O DIMENSIÓN: Es la abertura de los lados.

4. Clasificación de los ángulos • Ángulos Agudos: son aquellos que miden menos de 90 grados. • Ángulo Recto: es aquel que mide 90 grados. • Ángulo obtuso: son aquellos que miden más de 90 y menos de 180 grados.

5. Clasificación de los ángulos • Ángulo Llano o Extendido: es aquel que mide 180 grados. • Ángulo Convexo: son aquellos que miden más de 180 y menos de 360 grados. • Ángulo Completo: es aquel que mide 360 grados.

6. Ángulos complementarios • Dos ángulos son complementarios si su suma es un ángulo recto. • Complemento de un ángulo agudo es su diferencia con él ángulo recto.

7. Ángulos suplementarios • Dos ángulos son suplementarios si su suma es un ángulo extendido. • Suplemento de un ángulo cóncavo es su diferencial al ángulo extendido.

8. Ángulos adyacentes • Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado en común y los otros dos en línea recta. • Los ángulos adyacentes son suplementarios.

9. Ángulos opuestos por el vértice • Son aquellos ángulos que tienen un vértice en común y los lados de uno son la prolongación de los lados del otro. • Necesariamente son iguales.

10. ÁNGULOS ENTRE PARALELAS L // M 1 2 3 4 L 5 6 7 8 M

11. ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Ángulos Correspondientes < 1 y < 5 < 2 y < 6 < 3 y < 7 < 4 y < 8 1 2 3 4 L L // M 5 6 7 8 M

12. ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Ángulos Alternos Internos 1 2 < 3 y < 6 < 4 y < 5 3 4 L L // M 5 6 7 8 M

13. ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Ángulos Alternos Externos 1 2 < 1 y < 8 < 2 y < 7 3 4 L L // M 5 6 7 8 M

14. Bisectriz • Es la semirrecta, que partiendo del vértice divide al ángulo en dos ángulos iguales.

15. Triángulos • El triángulo es una figura geométrica formada por tres lados, unidos en tres puntos llamados vértices. La costumbre es utilizar letras mayúsculas para nombrar los vértices; la letra minúscula representa el lado opuesto al vértice correspondiente, o su longitud. Un lado, o su longitud, se puede también nombrar utilizando el nombre de los dos vértices en sus extremos.

16. Triángulos • La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º

17. Clasificación de los triángulos (tiene hipervínculos) • Según sus ángulos • Triángulo acutángulo • Triángulo rectángulo • Triángulo obtusángulo • Según sus lados • Triángulo escaleno • Triángulo isosceles • Triángulo equilátero

18. Elementos de un triangulo • Altura • Es la perpendicular desde un vértice de un triángulo hasta al lado opuesto. Existe una por cada vértice. • El punto de intersección de las alturas se conoce como ortocentro (O en las figuras).

19. Área de un triangulo b = base del triangulo h = Altura del triangulo Perímetro de un triangulo 2s = a + b + c s = semiperímetro

20. Elementos de un triangulo • Mediana o Transversal de Gravedad • Es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto, como ta en la figura. • Las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad (T en la figura).

21. Elementos de un triangulo • Bisectriz interior • Es la recta que pasa por un vértice y divide al ángulo interior en dicho vértice en dos partes iguales, como AR en la figura. • Las tres bisectrices internas se cortan en tres puntos llamados incentros. • Bisectriz exterior • Divide en dos partes iguales al ángulo exterior a dicho vértice, como AV en la figura. • Las tres bisectrices externas se cortan en tres puntos llamados excentros (I en la figura).

22. Elementos de un triangulo • Mediatriz o simetral • Es una recta perpendicular a un lado en su punto medio, como HK en la figura. • Las tres mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro (como H en la figura) que es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices del triángulo.

23. Teorema de Pitágoras • Relaciona los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo c2 =a2+ b2 a2 = + q2 b2 =+ p2

24. Geometría Plana EJÉRCITO DE CHILE COMANDO DE INSTITUTOS Y DOCTRINA Academia Politécnica Militar Circunferencia y Círculo Haroldo Cornejo Olivarí

25. Circunferencia y circulo • Circunferencia • Es el lugar geométrico de todos los puntos ubicados en un mismo plano, tal que equidistan de otro punto fijo llamado Centro. La distancia entre el centro y cada uno de los puntos se llama Radio. • La circunferencia es una línea curva convexa y su longitud es igual a 2пR.

26. Circunferencia y círculo • Círculo • Es la porción del plano encerrada por la circunferencia . • El área de la superficie es igual a

27. Circunferencia y círculo • Una recta puede estar fuera de la circunferencia sin cortar un solo punto de ella. Se dice entonces que la recta es exterior a la curva. • Si la recta tiene un punto en contacto, entonces esta recta se llama tangente. Y el punto de contacto es conocido como punto de tangencia (Punto T). • La perpendicular a la tangente por el punto de tangencia se llama Normal a la curva en dicho punto, y se confunde con el radio.

28. Circunferencia y círculo • Si se sigue acercando la recta tangente hacia el centro, cortará a la curva en dos puntos, y esta recta se llama Secante. • La porción de la secante, comprendida entre los dos puntos de corte se llama Cuerda.

29. Circunferencia y círculo • Segmento circular: Es la superficie encerrada entre una cuerda y el arco subtendido por esta cuerda. El área del segmento circular dependerá de la distancia de la cuerda al centro. • Sector Circular: Es la porción del círculo encerrado entre dos radios de la curva y el arco comprendido entre dichos radios. El área del sector circular dependerá de la abertura existente entre los dos radios.

30. Circunferencia y círculo • Posiciones relativas entre dos circunferencias: • Circunferencia Exterior a otra: Aquellas circunferencias que no tienen ningún punto en común. • Circunferencia Interior a otra: Cuando una de las circunferencias tiene su centro dentro del círculo, pero no existe punto de contacto entre las dos. La circunferencia de centro O2 es interior a la circunferencia O1, mientras que la de centro O3 es exterior.

31. Circunferencia y círculo • Posiciones relativas entre dos circunferencias: • Circunferencias Concéntricas: Son aquellas que tienen el mismo centro. Las circunferencias no se tocan en ningún punto. • La parte del circulo mayor comprendida entre las dos circunferencias se llama Corona o anillo circular y su área es

32. Circunferencia y círculo • Posiciones relativas entre dos circunferencias: • Circunferencias Tangentes: Tienen un solo punto en común. • Circunferencias Secantes: Son Circunferencias que se cortan.

33. Geometría Plana EJÉRCITO DE CHILE COMANDO DE INSTITUTOS Y DOCTRINA Academia Politécnica Militar Teorema de Thales Haroldo Cornejo Olivarí

34. T S L2 L1 a c a c b d d b L3 "Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales En el dibujo: Si L1 // L2 // L3 , T y S transversales, los segmentos a, b, c y d son proporcionales Es decir: = ¿DE ACUERDO?

35. L1 L2 T x 15 L3 S 8 X 8 24 15 24 Un ejemplo:En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida deltrazo x Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Thales Es decir: = Y resolvemos la proporción 24 • x = 8 • 15 Fácil X =8 • 15 24 X = 5

36. L3 L2 T 3 x+4 x+1 x+1 L1 2 D x+4 C S 3 2 Otro ejemplo: en la figura L1 // L2 // L3 , T y S son transversales, calcula x y el trazo CD Formamos la proporción = Resolvemos la proporción 3(x + 1) = 2(x + 4) 3x + 3 = 2x + 8 3x - 2x= 8 - 3 X=5 Luego, como CD = x + 4 CD= 5 + 4 = 9

37. H(altura de la pirámide) h (altura de bastón) s (sombra) S (sombra) Si pensamos en una pirámide.. TRIÁNGULOS DE  THALES Dos triángulos se dicen de Thales o que están en posición de Thales, cuando: Tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos. Podemos ver esto si trasladamos el triángulo formado por el bastón, su sombra y los rayos solares hacia el formado por la pirámide

38. A AE ED AB BC D E AE AB B C ED BC Triángulos de Thales En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la misma razón  de semejanza De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los triángulos AED y ABC ocurre: = O también = A esta forma de tomar los trazos, se le llama “la doble L”

39. 3 15 x 5 x 5 3 12 Aplicaciones de esta idea Calcula la altura del siguiente edificio Escribimos la proporción Por que 3+12=15 = Y resolvemos la proporción 3 • x = 5 • 15 x = 75 3 X = 25

40. C 8 12 X+3 2x+3 D 12 8 B A x+3 E x Otro ejercicio En el triángulo ABC, DE//BC , calcule x y el trazo AE Formamos la proporción Por que x+3+x = 2x+3 = Resolvemos la proporción 8(2x + 3) = 12( x + 3) 16x + 24 = 12x + 36 16x – 12x = 36 – 24 4x = 12 X = 12 = 3 4 Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = 6

41. Teorema de Euclides • Relaciona los lados de un triángulo rectángulo con sus proyecciones a2 =c · q b2 =c · p hc2 =p · q

42. Teorema de la bisectriz AQ = bisectriz del ángulo CAB

43. Geometría Plana EJÉRCITO DE CHILE COMANDO DE INSTITUTOS Y DOCTRINA Academia Politécnica Militar Polígonos Haroldo Cornejo Olivarí

44. Polígonos • Porción de plano limitado por líneas rectas, llamada línea poligonal. • En geometría se conoce como poligonal a la línea formada por segmentos cerrada (polígono) o abierta.

45. Polígono inscrito y circunscrito • Un polígono está inscrito en una circunferencia se todos sus vértices son puntos da la circunferencia. Esa circunferencia se dice circunscrita al polígono.

46. Clasificación de los polígonos • Según su forma • CONVEXOS - Todos sus ángulos son convexos • CONCAVOS - Al menos un ángulo cóncavo • REGULARES - Todos sus ángulos y lados iguales • IRREGULARES - Al menos un lado distinto • Según número de lados

47. Área de un polígono

48. Geometría Plana EJÉRCITO DE CHILE COMANDO DE INSTITUTOS Y DOCTRINA Academia Politécnica Militar FIN Haroldo Cornejo Olivarí

49. Clasificación de los triángulos • Triángulo acutángulo: es aquel que tiene sus tres ángulos agudos.

50. Clasificación de los triángulos • Triángulo rectángulo: es aquel que tiene un ángulo recto • El lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo, como HK en la figura , se denomina hipotenusa, y los otros dos lados se llaman catetos.