Tema 2. Límites

1. Índice • ¿Qué es el Cálculo? • El problema del área • Introducción a los límites • Límites que no existen • Definición formal de límite • Cálculo analítico de límites • Continuidad en un punto • Definición de continuidad • Discontinuidades Tema 2. Límites • Límites laterales • Continuidad en un intervalo • Propiedades de la continuidad • Teorema del valor intermedio • Límites infinitos • Asíntotas verticales • Propiedades de los límites infinitos • Concepto de límite infinito • Definición de límites en el infinito • Propiedades de los límites en el infinito • Formas indeterminadas 0/0 , / • Formas indeterminadas 0.  , - • Formas indeterminadas 1  , 0 , 00 • Asíntotas horizontales • Asíntotas oblicuas • Ejemplo Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 2. Límites 1

2. El Cálculo es la matemática de los cambios, velocidades y aceleraciones. Se estudian las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco,... y una gran variedad de conceptos para crear modelos para las situaciones de la vida real. Matemáticas previas al Cálculo Estáticas Cálculo Dinámico tasa de variación media t=a t=b tasa de variación instantánea en t=c Describe un objeto que se mueve con velocidad constante Describe la velocidad de un objeto que se mueve aceleradamente Dy Dx dy dx Describe la pendiente de una recta Describe la pendiente de una curva Describe el área de un réctángulo Describe el área bajo una curva ¿Qué es el Cálculo? Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 2

3. Consideremos la región limitada por la gráfica de la función y=f(x) , el eje x y las rectas verticales x=a y x=b Y=f(x) Y=f(x) Se puede estimar su área usando varios rectángulos Y=f(x) Al hacer crecer el nºde rectángulos la aproximación va mejorando cada vez más El problema del área x=a x=b Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva El objetivo es determinar el límite de la suma de las áreas de los rectángulos cuando su número crece sin tope Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 3

4. x 0,75 09 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,25 f(x) 2,313 2,710 2,970 2,997 ? 3,003 3,030 3,310 3,813 x tiende a 1 por la izquierda x tiende a 1 por la derecha f(x) tiende a 3 f(x) tiende3 A pesar de que x no puede ser igual a 1, podemos acercarnos arbitrariamente a 1, y como resultado, f(x) se acerca arbitrariamente a 3. Esto se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 3 - - - Supongamos que necesitamos dibujar la gráfica de la función Introducción a los límites 3 - - - - (1,3) 2 Con los procedimientos usuales para x 1 obtenemos 1 -2 -1 ¿Qué sucede en las proximidades de x=1? Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 4

5. x 1 -1 1 -1 1 -1 El límite no existe f(x) crece o decrece sin cota cuando x tiende a c. - - - - - - - - - - - - - f(x)=1 f(x) oscila entre dos valores fijos cuando x tiende a c. Comportamientos típicos asociados a la no existencia de un límite Límites que no existen - - - - - - - f(x) tiende a números diferentes según x tienda a c por la derecha o por la izquierda f(x)=-1 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 5

6. Sean f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c (salvo, posiblemente, en c) y L un número real. La afirmación Formalmente significa que para todo e 0 existe un d 0 tal que si Definición formal de límite A partir de los ejemplos Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L cuando x tiende a c por cualquiera de sus dos lados, decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es L, y escribimos Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Si el límite de una función existe, entonces es único Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 6

7. Cálculo analítico de límites • Límites básicos • Propiedades de los límites • Límites de funciones polinómicas y racionales • Límite de una función radical • Límite de una función compuesta • Límites de funciones trigonométricas • Técnicas de cancelación y racionalización • Regla del Sandwich • Límites trigonométricos especiales Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 7

8. Condiciones para que el gráfico de f no sea continuo en x=c c c c a a a b b b No existe límite de f (x) en x=c El límite de f (x) en x=c existe, pero no es igual a f (c) f (c) no está definida en x=c Continuidad en un punto Una función es continua en x=c si no hay interrupción de la gráfica de f en c No hay “saltos”, “agujeros” ni “aberturas” Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 8

9. Decimos que una función f es continua en x=csi se satisfacen las tres condiciones siguientes f (c) está definida. existe Decimos que una función f es continua en un intervalo abierto (a,b) si es continua en cada punto del intervalo. Una función que es continua en toda la recta real (- ,  ) se llama continua en todas partes Continuidad en un intervalo abierto Definición de Continuidad Continuidad en un punto Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 9

10. Sea I un intervalo abierto que continene un número real c. Si una función f está definida en I (salvo, posiblemente, en c) y no es continua en c se dice que f tiene una discontinuidad en c Discontinuidades - - - - - - f se puede hacer continua definiendo (o redefiniendo) apropiadamente f (c) discontinuidades evitables - - - - - - - 2 1 1 Discontinuidad evitable en x=1 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva f no se puede redefinir para evitar la discontinuidad discontinuidades inevitables 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 Discontinuidad inevitable en x=1 Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 10

11. x tiende a c para valores superiores a c x Límite por la izquierda x tiende a c para valores inferiores a c x Límite por la derecha Ejemplo 2 Función parte entera 1 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 Existencia de límite Sean f una función y sean L y c números reales. El límite de f(x) cuando x tiende a c es L si y solo si Límites laterales c Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 11

12. La función es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b [ a ] b Continuidad en un intervalo Decimos que una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el intervalo abierto (a,b) y Continuidad en un intervalo cerrado Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 12

13. Las funciones de los tipos siguientes son continuas en sus dominios Funciones polinómicas: Múltiplo escalar: bf Producto: fg Funciones racionales: Suma y diferencia: Funciones radicales: Cociente: Funciones trigonométricas: Muchas funciones elementales son continuas en sus dominios Si g es continua en x=c y f es continua en g(c), la función compuesta (f o g)(x)=f(g(x)) es continua en c Propiedades de la continuidad Si b es un número real y f , g son continuas en x=c, entonces las siguientes funciones también son continuas Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 13

14. Ejemplo f es continua en [0,1] Tiene un cero en el invervalo [0,1] (1,2) (c,0) 0 1 (0,-1) Teorema del valor intermedio f(a) - k - f(b) - Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), existe al menos un número c en tal que f(c)=k [ ] ac1c2c3b Útil para localizar ceros de una función continua en un intervalo cerrado Si f es continua en [a,b] y f(a) y f(b) difieren de signo, entonces existe al menos un cero de f en[a,b] (Teorema de Bolzano) Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 14

15. f decrece sin cota cuando x tiende a 2 por la izquierda Ejemplo 2 fcrece sin cota cuando x tiende a 2 por la derecha y Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c, salvo, posiblemente, en el propio c. La expresión M d d significa que para todo M>0 existe un d>0 tal que f(x) > M siempre que 0 < l x-c l <d. x c Análogamente la expresión significa que para todo N < 0 existe un d>0 tal que f(x) <N siempre que 0 < l x-c l <d. Para definir el límite infinito por la izquierda, basta sustituir 0 < l x-c l <d por c-d < x <c. Para definir el límite infinito por la derecha, basta sustituir 0 < l x-c l <d por c < x <c +d. Límites infinitos Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 15

16. Observación Si una función f posee una asíntota vertical en x =c , entonces f no es contínua en c Ejemplos -1 1 -1 Asíntota en x=-1 Asíntotas en x=-1 , x=1 Asíntotas verticales Si f(x) tiende a infinito (o menos infinito) cuando x tiende a c por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta x =ces una asíntota vertical de la gráfica de f Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 16

17. Suma o diferencia Producto Cociente Propiedades de los límites infinitos Sean c y L números reales, y sean f y g funciones tales que Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Propiedades análogas son válidas para límites laterales y para funciones cuyo límite cuando x tiende a c es - Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 17

18. x - -100 -10 -1 0 1 10 100  f(x) 3 2,999 2,97 1,5 0 1,5 2,97 2,999 3 x decrece sin tope x crece sin tope f(x) se acerca a 3 f(x) se acerca 3 Límite en - Límite en + - - - Supongamos que necesitamos dibujar la gráfica de la función Concepto de límite en el infinito 3 - - - - 2 Gráficamente los valores de f(x) parecen aproximarse a 3 cuando x crece sin tope 1 -2 -1 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 18

19. La expresión significa que para todo e>0 existe unN < 0 tal que l f(x) - L l < e siempre que x < N Definición de Límites en el infinito Sea L un número real. y La expresión e e significa que para todo e>0 existe unM >0 tal que l f(x) - L l < e siempre que x >M L Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva x M Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 19

20. Si r es un número racional positivo y c es cualquier número real, entonces Cociente Además, si xr está definida para x< 0 , entonces Propiedades análogas son válidas para límites en - Propiedades de los límites en el infinito Si existen ambos Suma Producto Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 20

21. no es el resultado de ningún límite Los límites de este tipo pueden tener resultados diversos Es un tipo de indeterminación Si f y g son polinomios, descomponer en factores y simplicar puede ayudar a resolver la indeterminación Para resolver la indeterminación se puede intentar dividir todos los términos por x elevado a la potencia más alta Sea p un número real, + o -  Formas indeterminadas , es del tipo Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 21

22. Se puede resolver multiplicando y dividiendo por la conjugada También se puede transformar en Formas indeterminadas , Es fácil transformar esta indeterminación en otra del tipo ya que cuando Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 22

23. Para resolver la indeterminación usualmente el límite se transforma (tomando logaritmos) en otro del tipo , y éste, a su vez, en otro del tipo También es habitual el uso de la Regla de L´Hôpital (Tema 3) Formas indeterminadas Para resolver la indeterminación se hace uso del número e Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 23

24. Ejemplos asíntota horizontal por la derecha 2 Asíntota vertical en x=-1 -1 y=2 asíntota horizontal asíntota horizontal por la izquierda La gráfica de f(x) tiende hacia la recta y=L cuando x crece sin cota La recta y = L es asíntota horizontal de la gráfica de f si y Asíntotas horizontales L o bien x Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 24

25. La función f(x) se va aproximando a la asíntota oblícua cuando x tiende a - o a + Asíntotas oblícuas Ejemplo Asíntota oblícua y = x Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 2 2 Asíntota vertical en x=2 Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 25

26. 1 - 0,75 - 0,5 - 0,25 - l l l l 2 4 6 8 El nivel de oxígeno en el estanque tiende al nivel normal 1 cuando t tiende a Supongamos que f(t) mide el nivel de oxígeno en un estanque, donde f(t)=1 corresponde al nivel normal (sin polución) y el tiempo t se mide en semanas. Cuando t =0, se vierten resíduos orgánicos en el estanque y, con la oxidación de ese material, el nivel de oxígeno pasa a ser Ejemplo de aplicación de los límites ¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno hay en el estanque 1 semana después? ¿Y 2 semanas? ¿Y 10 semanas? ¿Y una vez transcurrido “suficiente” tiempo? Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 26

27. Bibliografía Cálculo y Geometría Analítica Larson, Hostetler, Eduards. Volumen 1, 1999 (6ª edición), Ed. McGraw-Hill Ejercicios y problemas Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Problemas de Matemáticas para ingeniería técnica agrícola y veterinaria Alejandre, Allueva,González. Tomo 1, 2000 Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2) Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 27