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1. JEUX EN STRAT�GIES MIXTES
G. Belzile
HEC Montr�al
Mai 2004
2. Plan de la pr�sentation Le probl�me�
La notion d��quilibre en strat�gies mixtes
Des applications
Conclusions
3. Le probl�me... La vacuit� des commentateurs sportifs
Even/odd
L�op�ration Overlord
Le tennis
Le but de chaque agent/joueur est de d�jouer l�anniversaire
4. Even and Odd
5. La notion d��quilibre en strat�gies mixtes Il n�existe pas toujours d��quilibre de Nash en strat�gies pures
Mais il existe un couple de probabilit�s (p,q) correspondant � une probabilit� choisie par chacun des joueurs telles que chacun ��mixera�� sa r�ponse optimalement
On verra comment
6. Un deuxi�me exemple: l�op�ration Overlord Les Alli�s consid�raient deux options:
Normandie
Pas de Calais
Le Pas-de-Calais pr�sentait des avantages strat�giques, mais cela �tait connu des Allemands. Sauf que cette perception �tait connue des Alli�s et...
7. Op�ration Overlord
8. Overlord (suite)... Aucun �quilibre de Nash en strat�gie pure
La seule strat�gie possible consiste � ��randomiser�� son comportement: � choisir une probabilit� � laquelle ob�ira son comportement
ID�E: il faut garder son adversaire sur la corde raide, rendre NOTRE action impr�visible
9. Comment choisir le ��mix�� Comment randomiser son choix ?
Choisir une probabilit� pour chaque choix telle que le gain attendu de chacun soit �gal
Ainsi, mon choix est impr�visible
10. Overlord (suite)... Posons que les ALLI�S choisissent la Normandie avec probabilit� ��p�� et les ALLEMANDS la Normandie avec probabilit� ��q�
(p,q) doivent �tre telles que les ALLEMANDS seront incertains de quel c�t� viendra le d�barquement...
11. Overlord (suite)... Ainsi, on peut �crire les gains esp�r�s (EG) des ALLI�S ainsi:
EGa(N)= q 60 + (1-q) 80
EGa (C)=q 100 + (1-q) 20
12. Overlord (suite)... Similairement, les ALLEMANDS font face �:
EGg(N)= p (-60) + (1-p) (-100)
EGg (C)=p (-80) + (1-p) (-20)
13. Overlord (suite)... On pourra v�rifier que seul le couple (p,q) = (0,80; 0,60)
a la propri�t� que
EGa(N) = EGa(C)
et
EGg(N) = EGg(C)
14. Le tennis Evert joue contre Navratilova
DL (down the line) ou CC (crosscourt)
p : prob que Evert choisisse DL
q : prob que Navratilova choisisse DL
15. Fig. 7.1
16. Fig. 7.2
17. Fig. 7.3
18. Fig. 7.4
19. Un exemple �conomique:la guerre d�attrition� Concurrence entre Nintendo et PlayStation
20. La guerre d�attrition... Ce jeu pr�sente deux �quilibres en strat�gies pures (IN,OUT) et (OUT,IN)�
et un �quilibre en strat�gie mixte:
(IN,IN): qui donne une guerre d�usure ou d�attrition
Jeu de type ��Winner-take-all��
21. La guerre d�attrition... � chaque p�riode, les deux concurrents se disputent le ��Prix��: P$
Leurs efforts de p�n�tration et la guerre d�imposition des normes co�tent L$ par p�riode aux deux concurrents
La dur�e de la guerre d�attrition d�pend, entre autres, de l�importance du prix P, de l�impatience des joueurs et de leurs liquidit�s�; si entr�e simultan�e,
profit ind. = w = {(P/2)-L}
22. La guerre d�attrition... Posons que le march� a un potentiel de profit de 300 (P=300)
Posons des co�ts fixes de 200 (L=200)
23. Recherche de l��quilibre en strat�gies mixtes Nintendo entre avec probabilit� p
PlayStation entre avec probabilit� q
Nintendo:
E1(in) = -50q + 100(1-q) = 100 - 150q
E1(out) = 0q + 0(1-q) = 0
Pour q<2/3 : in 100 - 150q>0
Pour q>2/3 : out 100 - 150q<0
Pour q=2/3 : indifferent 100 - 150q=0
24. Fonctions de r�action(Best Response Fonctions)
25. La morale de l�histoire� Il y a trois possibilit�s:
Aucune entreprise n�entre:
Prob = (1/3) ? (1/3) = 1/9
Nintendo et PlayStation entrent simultan�ment:
Prob = (2/3) ? (2/3) = (4/9)
Nintendo OU PlayStation �capture� le march�:
Prob = (2/9) + (2/9) = 4/9
Prob (Nintendo capture le march�) = 2/9
Prob (PlayStation capture le march�) = 2/9
26. La morale de l�histoire� La coordination est parfois difficile
Possibilit� de la concurrence destructrice
Dans un contexte s�quentiel:
Annoncer ses intentions
Menacer, cr�er un risque d�lib�r� de (p,q)
Exploiter l�avantage du premier acteur
Attention: si engagement simultan�, on obtient un �Chicken Game� !
27. Conclusions Dans les jeux � somme constante:
Bataille de parts de march�
��Even and odd��
Op�ration Overlord
Inexistence d�un �q. de Nash en strat�gies pures: cherchez les �quilibres en strat�gies mixtes
28. Conclusions (suite)... Nombreuses applications
Strat�gies de promotion : pourcentage des articles en vente / coupons, etc.
Strat�gies de contr�le: qualit�, inspection, fraude, ...
Strat�gies de localisation
Strat�gies de R&D: portefeuille de projets