Intégrales impropres

1. Intégrales impropres Qu’arrive-t-il si l’intervalle d’intégration est infini? Qu’arrive-t-il s’il y a une discontinuité dans l’intervalle? Qu’arrive-t-il si s’il y a une discontinuité dans l’intervalle et que celui est infini?

2. Mise en situation • Deux types d’intégrales impropres : • Celles où au moins une des bornes d’intégration est infinie • Celles qui possèdent une discontinuité à l’intérieur de l’intervalle d’intégration • Dans les deux cas, on remplace la «valeur fautive» par un paramètre t. On calcule l’intégrale définie avec ce paramètre t, puis on évalue la limite quand t tend vers cette valeur fautive. • Le calcul de la limite est toujours la dernièreétape à effectuer. • Si la limite existe (donne un nombre réel), on dira que l’intégrale est convergente (converge vers cette valeur réelle). • Si la limite n’existe pas ou égale ± ∞, l’intégrale est dite divergente

3. y y   x x  a y y a t  - x x b - t b 1er cas : Au moins une borne infinie Si les deux bornes sont infinies: on sépare l’intégrale en deux intégrales afin de revenir sur les cas précédents. où c est un point quelconque de l’intervalle Remarque : les deux intégrales doivent converger pour que l’intégrale converge

4. Trompette de Torricelli Soit la surface comprise entre la courbe de 1/x et l’axe des x(de 1 à l’infini) qui tourne autour de l’axe des x. Cela génère un solide de révolution appelé le cor de Gabriel ou la trompette de Torricelli (1608-1647) l’intégrale converge

5. Exemple : les deux bornes sont infinies l’intégrale converge

6.  a b a t b  a a t b b 2e cas: Discontinuité dans l’intervalle Si f(x) est discontinue en x = a Si f(x) est discontinue en x = b Si f(x) est discontinue en x = c  ]a, b[ Remarque: les deux doivent converger pour que l’intégrale converge

7. Discontinuité sur une borne d’intervalle  l’intégrale diverge

8. Discontinuité à l’intérieur de l’intervalle Discontinuité en x = 0