Teoría de Probabilidad

1. Teoría de Probabilidad Análisis combinatorio y probabilidad: Una aplicación a la teoría del muestreo Problema general: Supóngase que se tiene una urna que contiene M bolas, de las cuales MB son blancas (con MB < M) y MR = M – MB son rojas. Se extrae una muestra de tamaño n, ya sea sin reemplazo (en tal caso n menor o igual a M), o con reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga exactamente k bolas blancas, para k = 0, 1, 2, ..., n? Traducción a un problema de muestreo: M indica el número de artefactos de un lote de producción. Blanca significa defectuosa, y roja no defectuosa. Se extrae una muestra aleatoria de tamaño n (con reemplazo o sin reemplazo) para el control de calidad. Se pregunta entonces, ¿cuál es la probabilidad de encontrar k defectuosos de los n artículos bajo revisión al azar?

2. Teoría de Probabilidad Solución al problema anterior: sin reemplazo El espacio muestral son n-uplas de la forma donde cada zi es un elemento entre 1 y M, y además las componentes son todas distintas (sin reposición) Es claro que la cardinalidad de este espacio muestral es Es adecuado pensar que cualquier selección de muestra es igualmente probable, esto es

3. Teoría de Probabilidad Solución al problema anterior: sin reemplazo Definamos por Ak el evento de “obtener k bolas blancas” cuando se extrae n bolas, sin reposición, de una urna que contiene M bolas, de las cuales MB son blancas y el resto son rojas. De tal manera entonces que la probabilidad de Ak adopta la forma Vamos a caracterizar al suceso Ak, para poder saber cuántos elementos contiene.

4. Valores distintos en de una particular elección de k índices seleccionados entre Teoría de Probabilidad Solución al problema anterior: sin reemplazo Los elementos de Ak son de la forma Donde hay k elementos de los zi que toman valores en el conjunto {1, 2, ..., MB}. De otra forma

5. Para esta particular elección de índices existen La expresión en rectángulo rojo se denota por Teoría de Probabilidad Solución al problema anterior: sin reemplazo maneras de formar n-uplas con k componentes con valores entre {1, 2, ... , MB} en los lugares j1, j2, ... , jk y las demás componentes con los valores restantes

6. Para esta particular elección de índices entonces hay maneras de seleccionar k bolas blancas Teoría de Probabilidad Solución al problema anterior: sin reemplazo Por lo tanto el conjunto Ak tendrá tantos elementos de esta forma, conforme haya tantas elecciones de k elementos entre {1, 2, ..., n}, esto es Por lo tanto

7. Teoría de Probabilidad Solución al problema anterior: sin reemplazo Se puede demostrar algebraicamente que ... sin embargo la expresión de la derecha admite una sencilla interpretación

8. Teoría de Probabilidad Solución al problema anterior: sin reemplazo Número de formas distintas de obtener n – k elementos no defectuosos de un total de M - MB Número de formas distintas de obtener k elementos defectuosos de un total de MB defectuosos Número de formas de seleccionar n elementos distintos de un total de M

9. Teoría de Probabilidad Solución al problema anterior: con reemplazo Con un razonamiento análogo al caso del muestreo sin reemplazo se concluye que Donde el exponente n indica la opción de “con reemplazo”, significando con esto que un valor se puede repetir por la forma de seleccionar el muestreo

10. Teoría de Probabilidad Otra aplicación: muestreo por aceptación Supongamos que tenemos un lote de una producción consistente en 1000 unidades. Las altas exigencias de calidad exigen que el lote se rechace si en el muestreo, es decir dentro de los artículos que efectivamente se van a revisar, no existan más de una unidad defectuosa. Ahora bien, se desconoce la proporción de defectuosos, es decir se desconoce el número de artículos defectuosos que contiene el lote de mil unidades. Está claro que si sabemos que, por ejemplo, D es el número de defectuosos, entonces p = D / 1000 será la proporción de defectuosos. Nuestro interés en saber cuál es la probabilidad de que no se rechace el lote en base a las unidades que se van a revisar. De otra forma esta probabilidad será una función de la proporción de artículos defectuosos. Por otro lado, vamos a suponer que la muestra a revisar es de 100 unidades seleccionadas aleatoriamente sin reposición

11. Teoría de Probabilidad Otra aplicación: muestreo por aceptación Del resultado obtenido en la transparencia 6, sabemos que la probabilidad de aceptar el lote, es decir la probabilidad de encontrar no más de 1 artículo defectuoso está dada por Esto es, si D es el número de defectuosos entonces la probabilidad de aceptación del lote es de hagamos donde

12. Teoría de Probabilidad Otra aplicación: muestreo por aceptación Entonces la probabilidad de aceptación la podemos poner en función de la proporción p, y la denotaremos como ¡cuidado! que p no es un valor “continuo” entre 0 y 1, como se puede pensar rápidamente, sino que La gráfica de la función Pr(p) se conoce como curva característica de operación, o curva OC del plan de aceptación de muestreo.

13. Teoría de Probabilidad Otra aplicación: muestreo por aceptación Escriba esta función en el DERIVE y calcule el valor de p para aceptar el lote con probabilidad de 0.95