Spektrala Transformer

Spektrala Transformer Introduktion svängningar & fasvektorer DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

När behövs spektrala transformer? • Kodning/komprimering: gsm, mp3, jpeg, mpeg… • Audio/musik: syntes, effekter (reverb, pitch-shift…) • Talteknologi: talsyntes, taligenkänning, talkodning • Bildbehandling: bildförbättring, datorseende… DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Harmoniska svängninar • Förekommer överallt i naturen • Återställande kraften proportionell mot avböjningen 1,5 k m F m x DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Harmoniska svängninar (forts.) • Newtons rörelseekvation och Hooks lag ger DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Summor av svängningar y(t) = sin ωt + sin ω(t + τ) ωτ = 0 ωτ =π ωτ = -1.58 + + + = = = DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Svängningar som cirkelrörelser i det komplexa talplanet fasvektor (eng: phasor) Im Re t DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Im y r θ Re x Komplexa tal j2 = -1 rektangulär form z = x + jy polär form z = r (cosθ + j sinθ) = re jθ Re x DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Im y r θ Re x Komplexa tal, räkneregler z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2 z1 + z2 = x1 + x2 + j(y1 + y2) z1 z2 = x1 x2 - y1y2 + j(x1 y2 + x2y1) polär form z1 z2 = r1 e jθ1 r2 e jθ2 = r1 r2 e j(θ1 +θ2) z1 / z2 = (r1/r2)e j(θ1 -θ2) Re x DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Komplexa tal (forts.) DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Svängningsmoder hos en sträng y(x) = sin(πx/L) y(x) = sin(2πx/L) y(x) = sin(3πx/L) y(x) = sin(4πx/L) y(x) = sin(5πx/L) ... DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Fourierserier • En periodisk vågform kan beskrivas som en summa av deltoner • Deltonerna är sinusvågor och med olika faslägen, amplituder och frekvenser DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Fourierserier f(t) = a1 cos t + b1 sin t + a2 cos 2t + b2 sin 2t + a3 cos 3t + b3 sin 3t + … DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Fourierserier • Viktad summa av basfunktioner • Koefficienterna kan bestämmas ur vågformen genom integraler Koefficient Koefficient Basfunktion Basfunktion

Fourierserier (komplex form) Basfunktion Koefficient DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

t f t f Fourierserier - spektrum • Plottar man amplituderna mot frekvensen så får man ett spektrum vågform spektrum

t f t f Fourierserier • Fourierserier är ett exempel på en Spektral Transform • Omvandlar mellan tids- och frekvensdomän Tidsdomän Frekvensdomän vågform spektrum

y q p x Vad då transformer? • En transform översätter mellan två koordinatsystem exempel: Den geometriska transformen p = x + y q = -x + y översätter punkten (x,y) till (p,q) DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

1 ... N Transformer (forts.) • En transform är en viktad summa av basvektorer • Rymderna – eller domänerna – som vi transformerar från och till kan ha godtyckligt många dimensioner. exempel:en samplad ljudsignal med N värden kan betraktas som en punkt i en N-dimensionell tidsdomän • En spektral transform transformerar mellan tidsdomänen och frekvensdomänen DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Sammanfattning • Harmoniska svängningar kan representeras med en roterande komplex fasvektor (eng. phasor) • Vibration hos en sträng kan beskrivas med en summa av sinusformade stående vågor, svängningsmoder • Alla periodiska vågformer kan uttryckas med en fourierserie som en viktad summa av sinusvågor alt. fasvektorer DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

Spektrala Transformer