Vectors and Motion In Space

1. Chapter 10 Vectors and Motion In Space 170 121 Engineering Mathematics II 16 พฤศจิกายน 2547

2. Content เนื้อหาในบทนี้ Cartesian Coordinate, vector และ operations ในสามมิติ, เส้นตรงและระนาบในสามมิติ, พื้นผิวสามมิติ, vector-valued functions และ curve สามมิติ, ความยาวของ curve และ unit vector ที่สัมผัสกับ curve คำว่า Space (แปลตรงตัวว่า อวกาศ) ในทางคณิตศาสตร์ไม่ได้หมายถึงที่ๆไม่มี อากาศ แต่หมายถึง ที่ที่บรรจุระบบของเราเอาไว้ เช่นตัวเราเองก็อยู่ใน Three Dimensional Space คือเราอยู่ในระบบสามมิติที่มีทั้งความกว้าง ความยาวและความสูง (ความจริง Space ที่เราอยู่มีมากกว่าสามมิติ เช่นทฤษฎีสัมพัทธภาพได้นับเอาเวลา เป็นอีกมิติหนึ่ง และอาจจะมีมิติมากกว่านี้ที่เหนือการรับรู้ของเราแต่เนื้อหาของเราใน วิชานี้ใช้แค่ Space สามมิติก็เพียงพอ)

3. Cartesian Coordinate Z Z P(x,y,z) C z Y Y (0,0,0) x X X y การบอกตำแหน่งใน 3 มิติ เรานิยมใช้ Cartesian Coordinate ซึ่งประกอบ ด้วยเลข 3 ตัว (x,y,z) ซึ่งแทนระยะทางตามแนวแกน X, Y และ Z ตามลำดับ วัดเทียบกับจุด Origin (0,0,0) แกน X แกน Y และแกน Z จัดเรียงตามระบบมือขวา (RightHand System) ดังรูป กล่าวคือ ถ้านิ้วมือขวาทั้ง 4 กวาดจากแกน X ไปยังแกน Y แล้ว นิ้วหัวแม่มือจะชี้ ไปทางแกน Z

4. Cartesian Coordinate Cartesian Coordinate มีชื่อเรียกอีกชื่อว่า Rectangular Coordinate เนื่องจากว่า แกน X, Y, Z ตั้งฉากกันดังนั้นจุด (x,y,z) ก็คือจุดยอดของกล่อง สี่เหลี่ยม (Rectangular box) จุดที่อยู่ตรงข้ามกับจุด (0,0,0) Z P(x,y,z) Y (0,0,0) X

5. Octants เมื่อเราใช้แกน XYZ เป็นแกนอ้างอิง(Reference frame)เราสามารถแบ่ง Space โดยใช้ระนาบ x=0, ระนาบ y=0 และระนาบ z=0 ออกเป็น 8 ส่วนเท่าๆกัน เรียกว่า Octant ส่วนที่ x เป็น +, y เป็น +, z เป็น + เรียกว่า First Octant Z ระนาบ x=0 (เรียกว่า YZ plane) ระนาบ y=0 (เรียกว่า XZ plane) Y ระนาบ z=0 (เรียกว่า XY plane) X

6. Cylinder ใน 3 มิติเราสามารถสร้างพื้นผิวของทรงกระบอก ที่มีแกน Z เป็นแกนกลางได้จากสมการ โดย R คือรัศมีของทรงกระบอก สมการนี้ออกมาเป็นพื้นผิวทรง กระบอกได้เพราะว่า ค่า z ไม่ได้ ถูกระบุไว้ในสมการ แปลว่า z จะเป็นอะไรก็ได้ ดังนั้นที่ความสูง z = ค่าคงที่ใดๆ เราก็จะได้ วงกลม 1 เสมอ เมื่อนำวงกลมที่ ทุกๆค่า z มาต่อกันก็จะได้ผิว ทรงกระบอกออกมา (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

7. Component Form of a Vector in Space เราสามารถอธิบาย vector ใน Space 3 มิติได้หลายรูปแบบ เช่น แบบ Component Form Z v1, v2, v3คือส่วนประกอบของ ในแนวแกน X,Y, Z ตามลำดับ Y X

8. Standard Unit Vectors For 3D Space เราสามารถอธิบาย vector โดยใช้ standard unit vector ดังนี้ โดย คือ standard Unit vectors ตามแนวแกน X, Y, Z ตามลำดับ ดังรูป Z Y X

9. Position Vector เมื่อเราใช้ vector ในการบอกตำแหน่ง เราเรียก vector นี้ว่า Position vector เช่น เป็น Position vector ของจุด P(x,y,z) (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

10. Directed Line Segment (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

11. Magnitude of Vectors ขนาดของ vector สามารถคำนวณได้จากสูตร (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

12. Unit Vector ใช้ในการบอกทิศทางของ vector โดยขนาดของ unit vector จะเป็น 1 เสมอ เราสามารถเขียน vector ในรูปของ “ขนาดและทิศทาง” ได้ดังนี้ ขนาดของ ทิศทางของ

13. Dot Product นิยาม เป็น operation ระหว่าง vector กับ vector ที่ได้ผลเป็น Scalar สามารถใช้หามุมระหว่าง vector สองตัวได้ ถ้า ตั้งฉากกับ จะได้

14. Properties of Dot Product 1. 2. 3. 4. 5.

15. Vector Projection Projection of onto หมายถึงส่วนประกอบของ ในทิศทางเดียวกับ (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

16. Vector Project เราสามารถแบ่ง ออกเป็น 2 ส่วนประกอบ ส่วนประกอบของ ที่ขนานกับ ส่วนประกอบของ ที่ตั้งฉากกับ (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

17. Cross Product นิยาม เป็น Operation ระหว่าง กับ ที่ให้ผลเป็น vector อีกตัวที่ตั้งฉากกับทั้ง และ (นับตามตามกฎมือขวา) (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

18. Cross Product ขนาดของ เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน (Parallelogram)ที่มีด้านประกอบเป็น และ (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

19. Properties of Cross Product 1. (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

20. Properties of Cross Product 2. 3. 4. 5.

21. Cross Products of Standard Unit Vectors บวก - ลบ - -

22. Determinant Formula for Cross Product

23. Application of Cross Product: Torque Torque ในทางกลศาสตร์หมายถึงแรงกระทำที่ทำให้เกิดการหมุน คำนวณได้จาก (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

24. Box Product (Triple Scalar Product) นิยาม Box product ระหว่าง (เรียงตามลำดับ) คำนวณจาก มีค่าเท่ากับปริมาตรของ parallelpiped ดังรูป (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

25. Formula for Box Product Box product สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร Determinant ดังนี้ คุณสมบัติของ Box product

26. Lines in Space เราสามารถสร้างเส้นตรงได้ ก็ต่อเมื่อเรารู้จุด P0ที่เส้นตรงลากผ่าน และทิศทางv ของเส้นตรง (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus) เมื่อเรารู้ว่าเส้นตรงผ่านจุด P0และ P เราจะได้ว่า vector ขนานกับ v กล่าวคือ tเป็นค่า scalar ค่าหนึ่ง

27. Equations for a Line in Space และ จาก เราได้ เขียนให้อยู่ Parametric Equations for a Line เราได้ เราสามารถคำนวณหาจุดใดๆบนเส้นตรงนี้ได้ตามสมการข้างบนนี้ ถ้าเขียนในรูป vector equation เราจะได้ โดย Position vector

28. Example: Lines in Space จงเขียนสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (-2,0,4) และ (0,4,2) วิธีทำ 1. คำนวณทิศทาง 2. เขียนสมการ 0 (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

29. Distance Between a Point and a Line ระยะทางจากจุด S ถึงเส้นตรง L คำนวณได้จาก L

30. Planes in Space เราจะสร้างระนาบได้ก็ต่อเมื่อเราทราบตำแหน่งของจุด P0ที่อยู่บนระนาบและ Vectorที่ตั้งฉากกับระนาบ (Normal vector) (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus) เนื่องจาก ตั้งฉากกับระนาบ ดังนั้น Dot product ระหว่าง vector ใดๆใน ระนาบกับ จะเป็น 0 เสมอ

31. Equations for a Plane in Space ให้ P0(x0,y0,z0) และ P(x,y,z) เป็นจุดใดๆบนระนาบ M เราจะได้ เป็น vector บนระนาบ M ดังนั้นเราจะได้สมการของระนาบเป็น เมื่อ เป็น normal vector ของระนาบ M

32. Equations for a Plane in Space จากสมการระนาบ เราสามารถเขียนเป็น จะได้ หรือ โดย

33. Example: a Plane in Space จงสร้างสมการของระนาบที่ผ่านจุด A(0,0,1), B(2,0,0) และ C(0,3,0) วิธีทำ 1. สร้าง vector 2 ตัวที่อยู่บนระนาบนี้ 2. คำนวณ normal vector ของระนาบ 3. จัดรูป =

34. Example: a Plane in Space ระนาบที่ผ่านจุด A(0,0,1), B(2,0,0) และ C(0,3,0) (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

35. Lines of Intersection Between Planes เราสามารถคำนวณหาทิศทางvของเส้นตรงที่เกิดจากการตัดกันของระนาบได้จาก (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

36. Example: a Line of Intersection Between Planes จงคำนวณหาเส้นตรงที่เกิดจากการตัดกันระหว่างสองระนาบ 1. คำนวณทิศทางของเส้นตรง 2. คำนวณหาจุดที่เส้นตรงผ่าน 3. สร้างสมการเส้นตรง

37. Distance Between a point and a Plane ระยะทางจากจุด S ถึงระนาบ M คำนวณได้จาก q M (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

38. Example: Distance Between a point and a Plane

39. Cylinders ตามปกติเมื่อพูดถึง Cylinder เรามักจะนึกถึงท่อทรงกระบอกกลมๆ แต่ในที่นี้ Cylinder ไม่ได้จำกัดอยู่ที่ทรงกระบอกกลมๆอย่างเดียว แต่ Cylinder หมายถึง พื้นผิวที่ประกอบขึ้นมาจากเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรงเส้นหนึ่งที่กำหนดให้ ตัวอย่าง สมการ ใน space 3 มิติคือรูปนี้ เส้นตรง ขนานกับ แกน z เสมอ ไม่ว่า x0เป็นค่าอะไร (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

40. Example: Cylinder คือพื้นผิวในรูป (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

41. Cylinders จากตัวอย่างจะเห็นว่า - ถ้าสมการของ Cylinder อยู่ในรูป f(x,y) = c เราจะได้ Cylinder ที่ประกอบ ด้วยเส้นตรงที่ขนานกับแกน Z - ถ้าสมการของ Cylinder อยู่ในรูป f(x,z) = c เราจะได้ Cylinder ที่ประกอบ ด้วยเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y สรุปได้ว่า สมการของ 2 ตัวแปรในระบบ Cartesian coordinate 3 มิติ คือสมการของ Cylinder ที่ขนานกับแกนของตัวแปรที่เหลือ อย่างไรก็ตาม Cylinder ไม่จำเป็นที่จะต้องขนานกับแกนใดแกนหนึ่งเสมอไป Cylinder อาจจะวางเฉียงๆก็ได้

42. Example: Cylinder พื้นผิวของ Cylinder (ขนานกับแกน X) (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

43. Quadric Surfaces Quadric Surface เป็น graph ใน Space ของสมการดีกรี 2 ของตัวแปร x,y, และz โดยมีรูปแบบทั่วไปดังนี้ (1) โดย A, B, C, D, E, F, G, H, J และ K คือค่าคงที่ สำหรับใน 2 มิติเราคงจะคุ้นเคยกับ Ellipses, Parabolas และ Hyperbolas เช่นเดียวกัน ใน Space 3 มิติเรามี Quadric Surfaces ที่สำคัญคือ Ellipsoids, Paraboloids, Elliptic Cones และ Hyperboloids สำหรับทรงกลม (Sphere)นับเป็น Ellipsoid แบบหนึ่ง

44. Analysis of Quadric Surface เวลาที่เราต้องการวิเคราะห์ถึงรูปร่างของ Quadric surface ว่าเป็นอย่างไร เรามักจะ นิยมสังเกตที่ Graph ที่เกิดจากการตัดกันของ Quadric surface กับระนาบ XY, ระนาบ YZ และระนาบ XZ (ระนาบเหล่านี้เรียกว่า Coordinate planes) เมื่อต้องการดู Graph ที่เกิดจากการตัดกันของ Surface กับระนาบ YZ เราสามารถ ทำได้โดยการตั้งค่าให้ x ในสมการของ Quadric surface เป็น 0 เมื่อต้องการดู Graph ที่เกิดจากการตัดกันของ Surface กับระนาบ XY เราสามารถ ทำได้โดยการตั้งค่าให้ z ในสมการของ Quadric surface เป็น 0 เมื่อต้องการดู Graph ที่เกิดจากการตัดกันของ Surface กับระนาบ XZ เราสามารถ ทำได้โดยการตั้งค่าให้ y ในสมการของ Quadric surface เป็น 0 Graph ที่เกิดจาการตัดกันของระนาบกับ Quadric Surface จะเป็น Curve ในเรื่องภาคตัดกรวย

45. Ellipsoid สมการทั่วไปของ Ellipsoid ที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ (2) c Ellipsoid ที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) จะมี จุดตัดแกน X ที่ (a,0,0) และ (-a,0,0) มีจุดตัดแกน Yที่ (0,b,0) และ (0,-b,0) มีจุดตัดแกน Z ที่ (0,0,c) และ (0,0,-c) a b -c (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

46. Cross Sections of an Ellipsoid เมื่อ set ให้ z = z0เราได้ เมื่อ set ให้ z = 0 เราได้วงรี เมื่อ set ให้ x = 0 เราได้วงรี (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

47. Cross Sections of an Ellipsoid จะเห็นว่า Cross sections ของ Ellipsoid กับ Coordinate planes จะเป็นสมการของวงรี (Ellipse)เสมอ สำหรับ Cross section ของ Ellipsoid กับระนาบ z = z0เราจะได้ จัดรูปใหม่เป็น ซึ่งยังคงเป็นสมการของวงรี ถ้าค่า a,b,c ของสมการ Ellipsoid คู่ใดคู่หนึ่งเท่ากันเราเรียกว่า Ellipsoid of Revolutionและถ้าค่า a,b,c เท่ากันทั้งหมดเราจะได้ทรงกลม(Sphere)

48. Elliptic Paraboloid สมการทั่วไปของ Elliptic Paraboloid ที่สมมาตรกับแกน X และ Y คือ (3) สมการนี้ผ่านจุด Origin (0,0,0) ซึ่งเป็นจุด Vertex ของ Graph และมีแกน z เป็นแกนของ Paraboloid รูปทรงของจานรับส่งสัญญาณดาวเทียม โดยทั่วไปที่ใช้ในการสื่อสารเป็นทรงของ Elliptic Paraboloid ที่มีค่า a =b (0,0,0) (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

49. Cross Sections of Paraboloid เมื่อ set ให้ y = 0 เราได้ เมื่อ set ให้ z = c เราได้วงรี เมื่อ set ให้ x = 0 เราได้ (ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

50. Cross Sections of Paraboloid - Cross section ที่เกิดจากระนาบ z = z0, z0 > 0 ตัด Paraboloid ในสมการที่ 3 จะเป็นรูป Ellipse เสมอ - ระนาบแนวดิ่งที่บรรจุแกน z เอาไว้เมื่อตัดกับ Paraboloid ในสมการที่ 3 จะได้ Parabola เสมอ