Incerteza na Medição Indireta Propagação de erros

1. Incerteza na Medição IndiretaPropagação de erros

2. Taylor-equação Uma equação funcional pode ser representada como uma funcão f(x) sobre um ponto f(x0) por uma expansão em série. (por exemplo Expansão de Taylor) O objetivo da aproximação local sobre um ponto é a possibilidade de simplificar calculos e análise. Brook Taylor (1685 - 1731) matemático inglês Cálculo de erro com Taylor-equação

3. grau de aproximação ponto de base para todo x Expansão em séries de Taylor da função cosseno

4. Ponto inicial: Série de Taylor da função da equação (de uma dimensão) simplificação por aproximação linear Desenvolvimento da função erro

5. Diferencial total (aproximação linear) geral: i - número de parâmetros de entrada j - número de parâmetros de saída Desenvolvimento da função erro

6. fator de influência ou fator de sensibilidade n parâmetros independência xi com i=1,...,n) Esta equação só é válida se o valor do erro é pequeno comparado com os valores nominais! Equação simplificada do erro

7. fator de influência ou fator de sensibilidade de segunda ordem n parâmetros independência xi com i=1,...,n) Esta equação só é válida se o valor do erro é pequeno comparado com os valores nominais! Equação simplificada do erro

8. Exemplo para um sistema de medião

9. Telêmetro militar

10. Exemplo: Dispositivo utilizado para medir distâncias parte superior da imagem parte inferior da imagem escala espelho rotativo olho Medidor de distância – telêmetro, transversal)

11. parte superior da imagem imagemnão-corrigida parte da imagem superior parte inferior da imagem modificação do ângulo α parte da imagem inferior imagemcorrigida α escala espelho rotativo olho a distância é vizualizada na escala b Telêmetro-transversal

12. objeto visto A telêmetro α b Erros: ΔZ1: folga da guia:  = 1,530817 Δα = ±0,000145 rad ΔZ2: erro da base: b =600mm Δb = ± 0,1mm Equação de função: Equação de erro: Telêmetro com base variável

13. A α b Erro máximo: Telêmetro com base variável

14. Câmeras com telêmetro

15. Variável aleatória 2 Variável aleatória 4 Caso de dependência: Caso de independência: r = 1 r = -1 Variável aleatória 3 Variável aleatória 1 r = 0 r: coeficiente de correlação Dependência e Independência estatística

16. fator de influência ou fator de sensibilidade (de primeira e de segunda ordem) Esta equação só é válida se o valor do erro é pequeno comparado com os valores nominais! n parâmetros independência xi com i=1,...,n) Equação simplificada do erro (influências estatísticamente independentes)

17. Determine a incerteza na determinação da velocidade média de um projétil a partir do tempo“t” que este leva para percorrer a distância “d” entre dois sensores. A distância foi medida,sendo encontrado d = (182,4 ± 0,4) m, determinado com 20 graus de liberdade efetivos e t =(52,6 ± 0,3) ms, determinado com 12 graus de liberdade, já incluindo a influência dos sensorese suas imperfeições. Problema resolvido

18. Solução: V = d/t “d” e “t” certamente sãoestatisticamente independentes k = 2,13 de k95 para 20 graus de liberdade: k = 2,23 de k95 para 12 graus de liberdade: u(d) = 0,4/2,13 = 0,188 m u(t) = 0,3/2,23 = 0,135 ms Problema resolvido

19. A incerteza padrão combinada pode ser determinada por: V = 182,4 m/52,6 ms = 3467,7 m/s A estamativa da incerteza padrão u(V) será: u(V) = 9,59 m/s Problema resolvido

20. Combinar graus de liberdade usando Welch-Satterthwaite: = 15,9 , k95 = 2,17 U95(V) = 2,17 . 9,59 = 20,8 m/s com  = 16 V = (3468 ± 21) m/s Problema resolvido

21. 9.4 Para determinar a altura de uma árvore um sábio do século VI ensinou a seusdiscípulos um método que aplicava trigonometria. A distância entre o centro do tronco daárvore e o ponto de observação foi determinada como (15,2 ± 0,2) m (n=10). O ângulo que oponto mais alto da árvore formava com ahorizontal, medido junto ao solo, foi de (48,6 ±0,8) ° (n=5). Q1) O que pode ser dito acerca da altura desta árvore? Q2) O que deve ser feito para reduzira incerteza da medição da altura desta árvore? Exemplo resolvido

22.  = 48,6° ± 0,8° h = ? D = 15,2 m ± 0,2 m Exemplo resolvido

23.  = 48,6° ± 0,8° (n=5) D = 15,2 m ± 0,2 m (n=10) 1o passo: tornar incertezas expandidas combináveis: Exemplo resolvido

24. 2o passo: combinar incertezas padrão: Exemplo resolvido (variante I)

25. 3o passo: combinar graus de liberdade: Exemplo resolvido (variante I)

26. Exemplo resolvido (variante I)

27. 4o passo: expandir incerteza combinada padrão: último passo: compatibilizar resultado!!! Exemplo resolvido (variante I)

28. 1o passo: tornar incertezas expandidas combináveis: continua igual 2o passo: combinar incertezas padrão: Exemplo resolvido

29. Exemplo resolvido

30. 3o passo: combinar graus de liberdade: Exemplo resolvido (variante II)

31. Exemplo resolvido (variante II)

32. 4o passo: expandir incerteza combinada padrão: último passo: compatibilizar resultado!!! Exemplo resolvido (variante II)

33. Teste de duas médias amostrais: Exemplo: Teste de hipótese

34. Teste de duas médias amostrais: Objetivo: Pode-se afirmar com seguramente que o tratamento B aumentou a dureza, se comparado ao tratamento A ? Teste de hipótese