860 likes | 1.13k Views
Introdução. Falha da estrutura: Falha do material Deformação plástica Rotura Fadiga Aumento incontrolável de uma fractura Falha da estrutura “Flutter “ Encurvadura. Introdução. Definição :
E N D
Introdução • Falha da estrutura: • Falha do material • Deformação plástica • Rotura • Fadiga • Aumento incontrolável de uma fractura • Falha da estrutura • “Flutter “ • Encurvadura
Introdução • Definição : • Vigas são elementos estruturais que têm uma das dimensões (o comprimento) muito maior do que as outras duas e que resistem a esforços de flexão. • Objectivo : • Deduzir as equações de equilíbrio de uma viga plana em termos gerais de 2º ordem, linearizando depois as equações para o caso de pequenas deflexões
Equações de equilíbrio • Equilíbrio de um elemento de viga na sua configuração de deflectida, (viga falhou por encurvadura) P z
Equações de equilíbrio • Equações de equilíbrio de forças nas direcções horizontais e verticais e o equilibro de momentos
Equações de equilíbrio • Utilizando a equação de equilíbrio segundo z e substituindo na equação de equilíbrio dos momentos podemos obter:
x R z Equações de equilíbrio • Hipótese de Navier: “secções planas e perpendiculares ao eixo da viga, permanecem planas e perpendiculares após a deformação”:
Equações de equilíbrio • Comprimento da linha média: • Extensão: • Tensão • Momento
Equações de equilíbrio • Para pequenas deformações onde podemos negligenciar o encurtamento da barra e as deformações por corte e obter: • Substituindo na equação encontrada para o equilibro da viga obtemos: onde
Equações de equilíbrio • A solução da equação terá a seguinte forma: • Sujeita às seguintes condições fronteira Apoio simples Encastramento Apoio Livre
Viga simplesmente apoiada • Sujeita às seguintes condições fronteira
Viga simplesmente apoiada • Obtemos as seguintes equações : • Para não obtermos a solução trivial (C1=C2=C3=C4=0):
Viga simplesmente apoiada • As cargas que garentem a solução serão: • A que correspondem a deflexões
Viga simplesmente apoiada • Como podemos obter o 2º modo se há deflexão com a menor carga critica (1º modo)? • Introduzindo um apoio a meio da viga
Viga simplesmente apoiada • Assim o primeiro modo de encurvadura é suprimido. Logo a menor carga crítica: • Esta carga é quatro vezes a carga critica da viga quando esta não tem o suporte a meio vão.
Viga encastrada livre • As condições fronteira serão: Em que V=0 pode ser escrito como
Viga encastrada livre • Introduzindo as condições de fronteira acima descritas na Equação de equilíbrio: • Para não obtermos a solução trivial (C1=C2=C3=C4=0):
Viga encastrada livre • As cargas criticas de encurvadura e os modos de instabilidade serão:
Viga encastrada apoiada • As condições fronteira serão:
Viga encastrada apoiada • Introduzindo as condições de fronteira acima descritas na Equação de equilíbrio: • Para não obtermos a solução trivial (C1=C2=C3=C4=0):
Viga encastrada apoiada • A 1ª carga critica de encurvadura e o modo de instabilidade serão:
Viga duplamente encastrada • As condições fronteira serão:
Viga duplamente encastrada • Introduzindo as condições de fronteira acima descritas na Equação de equilíbrio: • Solução possível
Viga duplamente encastrada • As cargas criticas de encurvadura e os modos de instabilidade serão: z(x)=C2 cos kx + C4 = C2 (cos kx-1)
Comprimento equivalente • Todas as cargas criticas encontradas podem ser descritas na forma: • Le é o comprimento equivalente que seria necessário para uma coluna de Euler (simplesmente apoiada) ter a mesma carga crítica do que a coluna em questão
Comprimento equivalente • Para os casos estudados: • Le=L Coluna de Euler (simplesmente apoiada) • Le=0.5L Coluna duplamente encastrada • Le=0.7L Coluna encastrada apoiada • Le=2L Coluna encastrada livre
Exemplo • Considere-se a coluna da figura abaixo, onde a rigidez da metade esquerda é quatro vezes maior que a rigidez de metade direita:
Exemplo Continuação • Considere-se a coluna da figura abaixo, onde a rigidez da metade esquerda é quatro vezes maior que a rigidez de metade direita:
Exemplo • Considere-se a coluna simplesmente apoiada, de rigidez EI e comprimento L, carregada a meio vão pela força axial P:
Exemplo continuação • Considere-se a coluna simplesmente apoiada, de rigidez EI e comprimento L, carregada a meio vão pela força axial P:
Exemplo continuação • Considere-se a coluna simplesmente apoiada, de rigidez EI e comprimento L, carregada a meio vão pela força axial P:
Colunas com apoios elásticos • Numa estrutura muitas vezes os apoios são da viga são elásticos e não rígidos: • Em que os apoios de têm rigidez extensional ki (força por unidade de comprimento, N/m) e rigidez torcional hi (momento por radiano, Nm/rad).
Colunas com apoios elásticos • A equação de equilíbrio é a já encontrada para os casos anteriores. • As condições de fronteira serão
Colunas com apoios elásticos • Pode-se então escrever para os momentos: • Para o esforço transverso:
Colunas com apoios elásticos • Introduzindo os parâmetros: • Obtêm-se
Colunas com apoios elásticos • Dado que a solução é a já encontrada : • Podemos escrever:
Colunas com apoios elásticos • Que simplificando dá o sistema: • Cuja equação característica é
Colunas com apoios elásticos • Vamos agora aplicar este método às vigas já estudadas: • Coluna simplesmente apoiada • Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita • Rotação livre: Mola com rigidez zero
Coluna simplesmente apoiada • Introduzindo no sistema encontrado: • Para não obter a solução trivial
Coluna Encastrada-Livre • Encastramento • Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita • Não há Rotação: Mola com rigidez infinita • Extremo livre • Deslocamento livre: Mola com rigidez zero • Rotação Livre: Mola com rigidez zero
Coluna Encastrada-Livre • Então o nosso sistema será: • Com a solução não trivial:
Coluna Encastrada-Apoiada • Encastramento • Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita • Não há Rotação: Mola com rigidez infinita • Apoiada • Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita • Rotação Livre: Mola com rigidez zero
Coluna Encastrada-Apoiada • Então o nosso sistema será: • Com a solução não trivial:
Coluna Duplamente Encastrada • Encastramento • Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita • Não há Rotação: Mola com rigidez infinita
Coluna Duplamente Encastrada • Então o nosso sistema será: • Pode-se obter:
Coluna Duplamente Encastrada • Cuja equação característica é
Exemplo • Considere-se uma coluna uniforme, simplesmente apoiada em um dos apoios e tendo o outro apoio com elasticidade extensional de rigidez , conforme a figura abaixo.
Exemplo • Considere-se agora a coluna do exemplo anterior mas à qual se substitui o apoio esquerdo por um encastramento, tal como demonstrado na figura abaixo:
Estabilidade de Pórticos • As colunas das estruturas porticadas são um exemplo muito comum de colunas com apoios elásticos. • A rigidez extensional das vigas BC é igual a (EI)1/L1. Na maioria dos casos práticos esta rigidez costuma tomar-se como infinitamente grande.
Estabilidade de Pórticos • Então o modelo para o cálculo das cargas críticas das colunas AB • Onde a rigidez de rotação h do apoio B baseada nas propriedades de flexão das vigas BC
Estabilidade de Pórticos • Para deduzir estas rigidezes de rotação impõe-se um momento concentrado no apoio B da viga BC. • Para o 1º caso: