1 / 35

Pertemuan ke-4

Pertemuan ke-4. KONVOLUSI DAN TRANSFORMASI FOURIER. Konvolusi. Dua operasi matematis penting dalam pengolahan citra: Operasi konvolusi (spatial filter/ discret convolution filter) Transformasi Fourier Konvolusi 2 buah fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai berikut:

sancho
Download Presentation

Pertemuan ke-4

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Pertemuan ke-4 KONVOLUSI DAN TRANSFORMASI FOURIER

  2. Konvolusi • Dua operasi matematis penting dalam pengolahan citra: • Operasi konvolusi (spatial filter/ discret convolution filter) • Transformasi Fourier • Konvolusi 2 buah fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai berikut: Tanda * menyatakan operator konvolusi, dan peubah (variable) a adalah peubah bantu (dummy variable)

  3. Cont. • Konvolusi merupakan proses penting pada analisis domain frekwensi karena f(x)*g(x) dan F(u)G(u) membentuk suatu pasangan transformasi Fourier (Fourier transform pair). • Teori konvolusi: f(x)*g(x)  F(u)G(u) f(x)g(x)  F(u)*G(u)

  4. Konvolusi pada Domain Diskrit Bila A adalah periode dalam diskritisasi f(x) dan B adalah periode dalam diskritisasi g(x), maka hasil konvolusi akan mempunyai periode M dimanaM=A+B Periode f(x) dan g(x) masing-masing dibesarkan menjadi M dengan menyisipkan 0 f(x)=f(x) bila 0 ≤ x ≤ A-1 dan f(x)=0 bila A ≤ x ≤ M-1 g(x)=g(x) bila 0 ≤ x ≤ B-1 dan f(x)=0 bila B ≤ x ≤ M-1 Konvolusi diskrit dilakukan melalui proses flip dan shift terhadap fungsi g(x).

  5. Cont. • g(x) disebut kernel konvolusi atau kernel penapis (filter).  Kernel g(x) merupakan suatu jendela yang dioperasikan secara bergeser pada sinyal masukan f(x), yang dalam hal ini, jumlah perkalian kedua fungsi pada setiap titik merupakan hasil konvolusi yang dinyatakan dengan keluaran h(x).

  6. Pendekatan Shift Kernel Operator Maka f(x)*g(x)= 0x-1 + 0x4 + 1x-1 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = -1 0x0 + 0x-1 + 1x4 + 2X-1 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 +0x0 = 2 0x0 + 0x0 + 1x-1 + 2x4 + 3x-1 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = 4 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x-1 + 3x4 + 4x-1 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = 6 0x0 +0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x-1 + 4x4 + 0x-1 + 0x0 + 0x0 = 13 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x-1 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = -4 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x-1 + 0x4 + 0x-1 = 0 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x-1 + 0x4 = 0 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x-1 = 0 F(x)*g(x) = [-1 2 4 6 13 -4 0 0 0]

  7. Pendekatan Rumus Konvolusi Kita lihat kembali rumusan konvolusi: f(0)=0; f(1)=0; f(2)=1; f(3)=2; f(4)=3; f(5)=4; f(6)=0; ...; f(8)=0 g(6)=0; ...; g(1)=0; g(0)=-1; g(-1)=4; g(-2)=-1 f(0)*g(0) = f(0)g(0) + f(1)g(-1) + f(2)g(-2) + dst = -1 f(1)*g(1) = f(0)g(1) + f(1)g(0) + f(2)g(-1) + dst = 2 f(2)*g(2) = f(0)g(2) + f(1)g(1) + f(2)g(0) + dst = 4 Dst Hasil yang diperoleh sama dengan cara sebelumnya!

  8. Proses Konvolusi pada Citra 2-D • Bentuk Kontinue dan Diskrit: 8

  9. Ilustrasi konvolusi 9

  10. Contoh : citra f(x,y) berukuran 5 X 3 5 dengan kernel atau mask 3 X • f(x,y) * g(x,y) • Operasinya : Tempatkankernelpada sudut kiri atas kemudian pada posisi (0,0) dari kernel hitung nilai piksel Geser kernel satu piksel ke kanan kemudian hitung nilai piksel pada posisi (0,0) kernel, begitu seterusnyahinggageser satu piksel ke bawah, lalumulai lagi melakukankonvolusi darisisi kiricitra. 10

  11. baris piksel • Dengancara dikovolusi yang sama, setiap 11

  12. Hasil konvolusi : • Jikanilaipiksel(-),nilaitsbdijadikan levelmakadilakukanclipping 0,jikanilai> nilaimaxgray • Untukmasalahpikselpinggir,solusiuntukmasalahiniadalah: – – Pikselpinggirdiabaikan, tidak dikonvolusi Duplikasi elemen citra, elemen kolom ke-1 disalinke kolom M+1, begitu juga sebaliknya lalu konvolusikan. Elemenyang ditandai dengan(?) diasumsikan bernilai 0 atau konstanta yang lain sehingga konvolusi piksel pinggir dapat dilakukan. – • Konvolusipikselpinggirtidakmemperlihatkanefekyangkasat mata. 12

  13. Proses KonvolusidanDekonvolusi(1) Blurring merupakan efek pemerataan (integrasi), sedangkan deblurring / sharpening / outlining merupakan efek differensiasi Proses blurring dapat diperoleh dengan mengaplikasikan low pass filter dan sebaliknya, prosessharpening dapat diperoleh dengan mengaplikasikan high pass filter Filtering akan dipelajari pada proses peningkatan mutu citra (image enhancement) • • • 13

  14. Proses KonvolusidanDekonvolusi(2) • Contoh efek blurring (bayangkan piksel citra 2-dimensi) bila terjadi pada point responsefunction idealresponse (averaging) deconvolutionfunction (filtering) 14

  15. • Filter/ mask/ kernel gaussian 15

  16. TRANSFORMASI Mengapaperlutransformasi? CITRA • Setiaporangpadasuatusaatpernahmenggunakansuatu analisisdengantransformasiuntukmenyederhanakan penyelesaiansuatumasalah[Brigham,1974] Contoh:penyelesaianfungsiy= x/z •Analisakonvensional: pembagiansecaramanual •Analisatransformasi: melakukantransformasi –log(y)= log(x)–log(z) –look-uptablepenguranganlook-uptable teknik – – • Transformasijugadiperlukanbilakitainginmengetahuisuatu informasitertentuyangtidaktersediasebelumnya 16

  17. Transformasi Citra • Contoh: – jikainginmengetahuiinformasifrekuensikitamemerlukan transformasiFourier – Jikainginmengetahuiinformasitentangkombinasiskaladan frekuensikitamemerlukantransformasiwavelet • Transformasicitra,sesuainamanya,merupakanprosesperubahan bentukcitrauntukmendapatkansuatuinformasi tertentu • Transformasibisadibagimenjadi2: – Transformasipiksel/transformasigeometris – Transformasiruang/domain/space 17

  18. Transformasi Piksel danRuang • Transformasipikselmasihbermaindiruang/domainyangsama (domainspasial),hanyaposisipikselyangkadangdiubah Contoh:rotasi,translasi,scaling,invers,shear,dll. Transformasijenisinirelatifmudahdiimplementasikandanbanyak aplikasiyangdapatmelakukannya(Paint,ACDSee,dll) Transformasiruangmerupakanprosesperubahancitradarisuatu ruang/domain keruang/domainlainnya,contoh:dariruangspasial keruangfrekuensi Adabeberapatransformasiruangyaitu: • • • • – – Fourier(basis:cos-sin) Hadamard/Walsh(basis:kolomdanbarisyang Transformasi Transformasi ortogonal) Transformasi – DCT(basis:cos) 18

  19. 19

  20. Transformasi Fourier (FT) • Pada tahun1822,Joseph Fourier, ahli matematika dari Prancis menemukan bahwa:setiap fungsi periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan gelombang-gelombang sinus/cosinus. • dari fungsi- Contoh: Sinyalkotakmerupakanpenjumlahan fungsisinusberikut f(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7+ sin(9x)/9 … 20

  21. Fungsi kotak sebagai penjumlahan fungsi-fungsi sinus • Cobakan juga program matlab berikut untuk melihat sampai batas n berapa fungsi berbentuk fungsi kotak. yang dihasilkan sudah – functionkotak(n) t = 0:pi/200:8*pi; kot = sin(t); for i = 3 : 2: n kot = kot + (sin(i*t))/i; end plot(kot) 21

  22. (a) (b) (c) Gambar (d) a)n= 1, b)n=3, c)n= 7, d)n= 99 22

  23. FT - Motivasi • Jika semua sinyal periodik dapat dinyatakan dalam penjumlahan fungsi-fungsi sinus-cosinus, pertanyaan berikutnya yang muncul adalah: – Jikasayamemilikisebuahsinyalsembarang,bagaimanasaya tahufungsi-fungsicos–sinapayangmembentuknya? Atau dengan kata lain – Berapakahfrekuensiyangdominandisinyaltersebut? Pertanyaan di atas dapat dijawab dengan menghitung • • nilai F(u) dari sinyal tersebut. Dari nilai F(u) kemudian dapat diperoleh kembali sinyal awal dengan menghitung f(x), menggunakan rumus: 23

  24. Rumus FT – 1 D • Rumus FT kontinu 1 dimensi f(x)exp[−2jπux]dx ∞ ∫−∞ ∫−∞ F(u)= ∞ F(u)exp[2jπux]du f(x)= Euler'sformula:exp[−2jπux]=cos2πux− jsin2πux • Rumus FT diskret 1 dimensi f (x)exp[−2jπux/N] 1 N−1 ∑x=0 F(u)= N 1 N−1 ∑x=0 F(u)exp[2jπux/N] f (x)= N 24

  25. Contoh FT 1D Contoh berikut diambil dari Polikar (http://engineering.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html) Misalkan kita memiliki sinyal x(t) dengan rumus sbb: x(t) = cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) + cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t) frekuensi yaitu Sinyal inimemiliki empat komponen 5,10,20,50 25

  26. Contoh sinyal 1 Dimensi x(t) Gambar sinyal satu dimensi dengan rumus x(t)= cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) + cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t) (Sumber: Polikar) 26

  27. FT dari sinyal tersebut FTdarisinyaltersebut. Terlihat bahwaFT dapat menangkap frekuensi- frekuensi yang dominan dalamsinyaltersebut,yaitu 5,10,20,50 (nilai pada maksimum F(u) angka 5,10, 20, berada 50) 27

  28. Contoh Penghitungan FT 1 dimensi (Gonzalez hlm 90-92) 1 1 N−1 N−1 ∑ ∑ f(x)exp[−2jπux/N]= f(x)(cos(2πux/N)− jsin(2πux/N))] F(u)= x=0 x=0 N N contoh: f(0)=2,f(1)=3,f(2)=4,f(3)=4 1 N−1 ∑ f(x)(cos(2π0x/N)−jsin(2π0x/N))] F(0)= x=0 N =1[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]=3.25 4 1∑3 f(x)(cos(2πx/4)−jsin(2πx/4))] F(1)= x=0 4 =1[2(1−0)+3(0−j)+4(−1−0)+4(0+j) 4 =1(2−3j−4+4j)=1(−2+j)=−0.5+0.25j 4 F(2)=−1[1]=−0.25 4 4 F(3)=−1[2+j]=−0.5−0.25j 4 28

  29. Contoh Penghitungan FT • Hasil penghitungan FT biasanya mengandung bilangan real dan imajiner Fourier Spectrum didapatkan dari magnitude kedua • bilangan tersebut shg|F(u)| = [R 2(u) + I 2(u)]1/2 • Untuk contoh dihalaman sebelumnya, Fourier Spectrumnya adalah sebagai berikut: |F(0)|= 3.25|F(1)| =[(-0.5)2+(0.25)2]1/2= 0.5590 |F(2)|= 0.25|F(3)|=[(0.5)2+(0.25)2]1/2= 0.5590 • • 29

  30. Rumus Rumus FT 2 dimensi FT – 2 D • M−1N−1 ∑∑ 1 f(x,y)exp[−2jπ(ux/M FT:F(u,v)= +vy/N)] MN x=0y=0 M−1N−1 InversFT:f(x,y)=∑∑F(u,v)exp[2jπ(ux/M u=0v=0 M=tinggicitra(jumlahbaris) N =lebarcitra(jumlahkolom) +vy/ N)] 30

  31. Contoh FT 2 Dimensi Sumber: http://www.icaen.uiowa.edu/~dip/LECTURE/LinTransforms.html Untuk menampilkan nilai FT suatu citra,karenaketerbatasandisplay,seringkali digunakan nilai D(u,v)= c log [1 + |F(u,v)|] 31

  32. Sifat-sifat Separable : FT 2 dimensi • –Pemrosesan FT 2 dimensi dapat dengan melakukan FT 1 dimensi kemudian dilanjutkan dengan FT terhadap baris Translasi : dilakukan terhadap kolom, 1 dimensi • f(x,y)exp[−2jπ(u0x+v0y)/N]⇔F(u−u0,v−v0) f(x−x,y−y)⇔F(u,v)exp[−2jπ(ux0+vy0)/N] 32

  33. Sifat-sifat Periodik FT 2 dimensi • (N –FT dan IFT bersifat periodik dengan periode N adalah jumlah titik) Rotasi –Jika kita merotasikan f(x,y) sebanyakθ0. maka • F(u,x) θ0, demikian pula juga akan berotasi sebanyak sebaliknya. Distributif –FT dan IFT bersifat distributif tapi tidak terhadap perkalian • terhadap penjumlahan 33

  34. Sifat-sifat Penskalaan FT 2 dimensi • af(x,y)⇔aF(u,v) f(ax,by)⇔1 F(u/a,v/b) ab • Nilai rata-rata N−1N−1 ∑∑ x=0 y=0 1 1 y)= = f(x, f(x, y) F(0,0) 2 N N 34

  35. Fast Fourier Transform (FFT) • Merupakan algoritma penghitungan yang N2 mengurangi kompleksitas FT biasa dari menjadi N log2N saja • Pada implementasinya, FFT merupakan cara yang umum digunakan untuk menghitung FT diskret • InversFT juga dapat dihitung dengan kompleksitas N log2N (IFFT) –Di Matlab : fft(x) atau fft2(X) untuk FT dan ifft2(X) untuk invers FT ifft(x) atau 35

More Related