Método de NewtonRaphson

1. Aurora Pozo Método de NewtonRaphson

2. É um dos mais conhecidos e poderosos para obtenção de raízes de equações não-lineares. Considere uma função f(x) continua e diferençável no intervalo [a,b]. A função possui, portanto, tangente única em cada ponto do intervalo. Metodo de Newton-Raphson

5. Teorema: Se f(a) * f(b) < 0 e f’ e f’’ forem não nulas e preservarem o sinal em [a; b], então partindo-se de uma aproximação inicial x0 2 [a; b] tal que f(x0) £ f00(x0) > 0 é possível gerar, pelo Método de Newton, uma sequência de aproximações xk que converge para a raiz de f(x) = 0. Escolhadaaproximaçãoinicial

7. O Método de Newton-Raphson tem convergência muito boa (quadrática). • Entretanto, apresentaas seguintesdesvantagens: (i) Exige o cálculo e a análise do sinal de f’ e f’’ (ii) Se f’(xk) for muito elevado a convergência será lenta (iii) Se f’(xk) for próximo de zero pode ocorrer overflow • Para contornar o item (i), o qual é necessário para a escolha da aproximação inicial, é comum apenas calcular-se o valor da função e o de sua derivada segunda nos extremos a e b, considerando para x0 o extremo que satisfazer a condição f’(x0)f’’(x0) > 0. • Para tanto, é importante que o intervalo [a; b] considerado seja sucientemente pequeno, de forma a minimizar a possibilidade de variação de sinal de f’ e f’’. Vantagens e desvantagens do Método de Newton

8. Método de Newton-Raphson • Um grande inconveniente é a necessidade da obtenção de f’(x)e o cálculo de seu valor numérico a cada iteração • Forma de desvio do inconveniente • Substituição da derivada f’(xk) pelo quociente das diferenças f’(xk) ≈ [f(xk) - f(xk-1)]/(xk - xk-1)‏ onde xk-1e xksão duas aproximações para a raiz Considerações Iniciais Secante

9. Considerações Iniciais Secante • A função de iteração será g(x) = xk - f(xk)/[(f(xk) - f(xk-1))/(xk - xk-1)] = (xk - xk-1) . f(xk)/[f(xk) - f(xk-1)] = [xk-1 .f(xk) – xk .f(xk-1)]/[f(xk) - f(xk-1)]

10. Interpretação Geométrica Secante • A partir de duas aproximações xk-1e xk • Obtém-se o ponto xk+1como sendo a abscissa do ponto de intersecção do eixo oxe da reta que passa pelos pontos (xk-1 , f(xk-1)) e (xk , f(xk)) (secante à curva da função)

11. f(x)‏ 1a iteração 2a iteração 3a iteração 4a iteração x4 x3 x5 x0 x1 x2 x  Repete-se o processo até que o valor de xatenda às condições de parada. Análise Gráfica Secante

12. Testes de Parada • A cada iteração, testa-se se a aproximação encontrada poderá ser considerada como a solução do problema. • |f(xk)| • |((xk+1 – xk)/xk+1 )| Secante

13. Algoritmo k := 0; x0 := X0; x1 := X1 while critério de interrupção não satisfeito andk  L k := k +1; xk+1 := (xk-1*f(xk) - xk*f(xk-1))/(f(xk) - f(xk-1)) endwhile Secante

14. Vantagens: • Rapidez processo de convergência; • Cálculos mais convenientes que do método de Newton; • Desempenho elevado. Secante

15. Desvantagens: • Se o cálculo f’(x) não for difícil, então o método logo será substituído pelo de Newton-Raphson; • Se o gráfico da função for paralela a um dos eixos e/ou tangencia o eixo das abscissas em um ou mais pontos, logo não se deve usar o método da Secante ; • Difícil implementação. Secante