Becslés

1. Becslés Dr. Varga Beatrix egy. docens

2. Mintából való következtetés Hipotézisvizsgálat Becslés:A sokaság bizonyos jellemzőinek, paraméterének közelítő megállapításával foglalkozik. Hipotézisvizsgálat:A sokaságra vonatkozó valamely állítás helyességét ellenőrzi. Becslés

3. Becslési alapfogalmak I. • Parameter (Θ) →a sokaság valamely jellemzője → pl.: várható érték, arány, szórás • Becslőfüggvény Olyan függvény, mely alkalmas a sokasági paraméter értékének mintából történő meghatározására • Standard hiba A becslő függvény valamennyi lehetséges mintából számított értékeinek a szórása

4. Statisztikai hiba • Nem mintavételi hiba • lefedési hiba • feldolgozási hiba • nem megfelelő adatszolgáltatás • Mintavételi hiba • A sokaság minden egységéről való lemondás ára • Nagysága matematikai eszközökkel becsülhető

5. A mintavételi hiba függ • Az alapsokaság eloszlásától • Az alkalmazott mintavételi eljárástól • A vizsgált mutatószám fajtájától • A minta nagyságától

6. Becslési alapfogalmak II. Pontbecslés A becslőfüggvény mintából számított konkrét értéke Intervallumbecslés Adott  megbízhatósági szinthez tartozó intervallum alsó és felső határának meghatározása Konfidencia-intervallum

7. Paraméter és konfidencia-intervallumok

8. Mintából számított bármely mutató értékei • mintáról mintára változnak • a megfelelő sokasági jellemzők körül ingadoznak • szóródásuk a mintanagyság növelésével csökken

9. Becslőfüggvény tulajdonságai torzítatlan ha várható értéke megegyezik a becsülni kívánt paraméterrel aszimptotikusan torzítatlan ha a mintanagysággal a végtelenbe tartva a torzítás eltűnik konzisztens a mintanagyság növelésével a becslés nagy valószínűséggel a paraméter felé tart. hatásos Minimális varianciájú torzítatlan becslőfüggvény

10. A torzítás különféle esetei

11. Példa a torzítás eseteire • Egy kisvállalkozásnak 4 alkalmazottja van, nettó átlagjövedelmük (eFt): 180, 90, 36, 30 • Becsüljük meg az átlagjövedelmüket különböző becslőfüggvény segítségével: mintaátlag minta-medián terjedelemközép (maximális és minimális mintaelem átlaga)

12. A minták jellemzői

13. Két becslőfüggvény hatásossága

14. A konzisztencia fogalma

15. Becslés

16. Várható érték becslése

17. 1.) sokaság eloszlása normális, ismert a sokasági szórás, mintanagyság tetszőleges 2.) sokaság eloszlása nem ismert, nem ismert a sokasági szórás, nagy minta 3.) sokaság eloszlása normális, nem ismert a sokasági szórás, n < 100

18. ahol:

19. A várható érték standard hibája

20. Ha nem tételezhető fel, hogy az x változó normális eloszlású, csak nagy minta alkalmazható Központi határeloszlás tétel: Független valószínűségi változók eloszlása akkor is közelítőleg normális eloszlást követ, ha a változók nem normális eloszlásúak, feltéve, hogy a minta-elemszám elég nagy.

21. Nagy minta: általában: n  100 unimodális, gyengén ferde eloszlásnál: n  30

22. Rétegzett minta • heterogén sokaság esetén, ha közel homogén rétegeket tudunk képezni • az egyes rétegekből egyszerű véletlen minták • a rétegzés javíthatja a minta reprezentativitását • Jelölések: rétegek elemszáma az alapsokaságban: N = N1 + N2 + N3 + ... + NH-1 + NH rétegek elemszáma a mintában: n = n1 + n2 + n3 + ... + nH-1 + nH

23. Várható érték becslése rétegzett mintából ahol

26. Valószínűség vagy arány becslése

28. Szórásnégyzet, szórás becslése

31. Példa 1 • A BSc hallgatók közül véletlenszerűen kiválasztottunk 15 elemű mintát. • π = 95 % • A minta adatai (nap): 5, 8, 12, 4, 9, 11, 12, 14, 9, 7, 6, 11, 9, 8, 10 • Készítsen becslést az átlagos tanulási időre! • Becsülje meg az átlagos tanulási idő szórását!

32. Feltétel: normál alapeloszlás A)1) ismert, hogy az alapsokaság szórása: 2 nap 2) – nem ismerjük az alapsokaság szórását - a mintabeli korrigált tapasztalati szórás: s = 2.7 B) Szórás becslése

33. Példa2. Egy 250 g kávét csomagoló gép működésének ellenőrzéséhez 100 elemű véletlen mintát vettek. Korábbi felmérések alapján feltételezhetjük, hogy a töltőtömeg normális eloszlást követ.

34. Feltételezve, hogy a töltősúly normális eloszlást követ, becsüljük meg az átlagos töltőtömeget! (π = 95 %) Milyen minta elemszámra lenne szükség ahhoz, hogy a maximális hibát felére csökkentsük? Milyen minta elemszámra lenne szükség ahhoz, hogy a maximális hibát 20%-kal csökkentsük, és 98%-os megbízhatóságra van szükségünk? Feltételezve, hogy a töltősúly normális eloszlást követ, készítsünk intervallumbecslést a töltőtömeg szórására! (π = 95 %) Mennyi kávéra van szükség naponta, ha a gép folyamatos műszakban termel, és műszakonként 12.000 csomagot tölt meg? (π = 95 %) Egy műszakban hány olyan kávécsomag készül, melynek tömege nem éri el az előírt 250 grammot? (π = 99 %)

35. Köszönöm a figyelmet!