Skriðþungi og árekstrar

1. Skriðþungi og árekstrar Eðlisfræði 1 V/R haustið 2001 9. fyrirlestralota, sbr. 9. kafla hjá Benson, 4.2, 9.1 og 10. kafla í Fylgikveri

2. 9. Skriðþungi og árekstrar: Yfirlit • Skilgreining skriðþunga • Breytingar á heildarskriðþunga kerfis • Varðveisla skriðþungans • Atlag og árekstrar • Árekstrar og skriðþungi • Orkan, fjaðrandi og ófjaðrandi árekstrar • Einfaldar niðurstöður um fjaðrandi árekstra • Ýmis dæmi um beitingu

3. Skilgreining skriðþunga F. 4.2, 9.1; B. 9.1-2, bls. 172-174 • Skriðþungi eindar er skilgr. sem p = m v • (margfeldi massa og hraðavigurs) • Tengist 2. lögmáli Newtons: F = ma = mdv/dt = dp/dt • Heildarskriðþungi agnakerfis fæst sem summa: P = p1 + p2 + ... + pn • Varðveittur ef heildarkraftur = 0, sbr. næstu glæru

4. Breytingar á heildarskriðþunga F. 35; B. 174 • Tökum sem dæmi kerfi 2ja agna: P = p1 + p2 • Síðasta gl. og F12+F21=0 gefur: dP/dt = dp1/dt + dp2/dt = F1 + F2 =F1,ext + F12 + F2,ext + F21 = F1,ext + F2,ext • Með öðrum orðum: dP/dt = Fext • Gildir almennt, óháð fjölda agna

5. Varðveisla skriðþungans F. 36, B. 173-174 • Fext = dP/dt og Fext = 0 gefur dP/dt = 0 og P = fasti • Þetta nefnist varðveisla skriðþungans • Fext = 0 er mikilvæg forsenda • Stundum ytri kr. << innri • Ef engir ytri kraftar eða summa þeirra 0, þá er heildarskriðþungi kerfisins varðveittur • Dæmi: Árekstrar, sjá síðar

6. Atlag og árekstrar F. 39, B. 180-181 • Af F = dp/dt leiðir að pf - pi = Dp = Fdt • Táknað með I og nefnist atlag kraftsins (impulse) • Lítið fyrir venjulegan ytri kraft í árekstri vegna þess að áreksturinn tekur stuttan tíma • Atlag innri krafts getur hins vegar verið verulegt á hvorn hlut um sig, en um heildaratlagið gildir I = I1 + I2 = Dp1 + Dp2 = DP = 0

7. Einvítt atlag sem flatarmál • Í einni vídd er pf - pi = Dp =I = Fdt • Hollt er að horfa á þetta sem flatarmál eins og myndirnar sýna • Mikill kraftur í stuttan tíma getur gefið sama atlag og minni kraftur í lengri tíma

8. Árekstrar og skriðþungi q1 p1 p2 q2 F. 39, 35; B. 173-174 • Árekstur: tveir hlutir víxlverka í stuttan tíma með verulegu atlagi sín á milli og krafti sem við þekkjum þó etv. ekki í smærri atriðum • Skv. framansögðu erPþá fasti: P = p1 + p2 = q1 + q2 • Myndin sýnir áreksturinn eins og hann lítur út í viðmiðunarkerfi þar sem P = 0, svokölluðu massamiðjukerfi (CM system of reference)

9. Orkan og flokkun árekstra F. 39 neðst, 43; B. 175 • Árekstur fjaðrandi (elastic) ef heildarhreyfiorka er varðveitt, annars ófjaðrandi (inelastic) • Hreyfiorka fyrir og eftir: K = ½ m1 v12 + ½ m2 v22, K’ = ½ m1 u12 + ½ m2 u22 • Fjaðrandi: K = K’; ófjaðrandi: K > K’ • Dæmi: • Einvíður fjaðrandi árekstur, sjá næstu 2 glærur • Tvívíður, sjá þar næstu

10. Einvíður fjaðrandi árekstur F. 40, B. 179 • Höfum tvö varðveislulögmál: • Skriðþungi, P = P’, • Hreyfiorka, K = K’ • Ef t.d. m1, m2, u1 og u2 þekktir, fást tvær jöfnur með 2 óþekktum, v1 og v2 : • m1 u1+ m2 u2= m1 v1 + m2 v2 • m1 u12 + m2 u22 = m1 v12 + m2 v22 • (búið að margfalda með 2) • Þessar jöfnur er auðvelt að leysa, t.d. ef u2= 0

11. Einvíður fjaðrandi árekstur, lausn F. 40, B. 180 • Setjum u2 = 0 (m2 kyrrstæður fyrir árekstur) og fáum með útreikningi frá fyrri glæru: v1 = u1 (m1 - m2)/(m1 + m2) v2 = 2u1m1 /(m1 + m2) • Sértilvik: • m1 = m2 : v1 = 0, v2 = u1 • m1 >> m2 : v1 = u1, v2 = 2 u1 • m1 << m2 : v1 = - u1, v2 = 0

12. Tvívíður fjaðrandi árekstur á kyrrstæðan hlut u1 v1 q u2 F. 42, B. 182 • Hraðarnir eru nú tvívíðir vigrar en v2 er 0: • m1v1= m1u1 + m2u2(2 jöfnur) • m1 v12 = m1 u12 + m2 u22(K . 2) • 3 jöfnur með 4 óþekktum, u1x, u1y, u2x, u2y • Því ekki hægt að leysa nema meira sé vitað • Hins vegar má draga einfalda ályktun ef m1 = m2, sjá næstu glæru

13. Hornið í fjaðrandi árekstri tveggja eins massa • Höfum nú m1 = m2. Hefjum vigurjöfnuna á síðustu glæru í annað veldi og berum saman við hina jöfnuna (orkuvarðveislu). Fáum þá: • u1.u2 = u1u2 cos q = 0, q = 90o • Hornið milli hraðavigranna eftir árekstur er alltaf rétt við þessar aðstæður. • Myndir: a) Billjarðkúlur, b) róteind rekst á aðra kyrrstæða, v << c

14. Dæmi: Maður í “standandi” vandræðum • Hvað á maðurinn að gera til að komast út af vagninum án þess að brjóta neitt?

15. Dæmi: Skotpendúll • Skot rekst á kubb sem er hengdur upp eins og pendúll, og festist í honum, sbr mynd. • Meginatriðið er að aflfræðileg orka, E = K + U, er ekki varðveitt alla leið (kubbur hitnar). • Skriðþunginn P er varðveittur í árekstri skots og kubbs og E er varðveitt í hreyfingunni á eftir. • Gefur allt aðra niðurstöðu en ef menn ganga beint í gildruna! • Þetta er eitt af lykildæmunum í námskeiðinu.

16. Krsp.: Vinna núningskrafts Í öllum eftirtöldum tilvikum verkar núningur milli hlutar ogundirlags. Í hvaða tilviki framkvæmir núnings-krafturinn ekki vinnu? • Hlutur rennur niður eftir skáborði.    • Hlutur er dreginn eftir láréttu gólfimeð jöfnum hraða.    • Hlutur rennur eftir láréttu gólfi og stöðvast.    • Kúlaveltur eftir láréttu gólfi með jöfnum hraða.    • Bíll hemlar svo að hjólinlæsast.

17. Krsp.: Kraftur, færsla og vinna Ef hreyfing er í einni vídd og gert er línurit um kraft sem fall affærslu, þá fæst vinna kraftsins sem    • flatarmálið undir ferlinum fráupphafsstöðu til lokastöðu.    • hallatala ferilsins í hverjum punkti. • heildarfærslan sinnum breytingin á kraftinum.    • breytingin á hraða sinnummeðalkraftur.    • ekkert af þessu.

18. Krsp.: Hlutur á skáborði • Hlutur sem hefur massann 5 kg er á skáborði sem hallar þannig að 5 mfærsla eftir borðinu samsvarar 4 m færslu í lárétta stefnu. Reiknum með aðþyngdarhröðunin g sé 10 m/s2. Láréttur kraftur ýtir hlutnum upp eftirborðinu með jöfnum hraða. Þegar hluturinn hefur færst um 2 m eftir borðinu,hve mikla vinnu hefur þessi lárétti kraftur þáframkvæmt?    • 1) Enga, 2) 40 J, 3) 50 J,4) 60 J, 5) 80 J.

19. Krsp.: Vinna gorms Gormur er lengdur um 50 cm, og er krafturinn í lokin 100 N. Hve mikilvinna er framkvæmd?    • 10 J    • 25 J    • 50 J    • 100 J    • 500 N

20. Krsp.: Hraði í ófjaðrandi árekstri