370 likes | 534 Views
Rachunki Gentzena. Joanna Witoch. Plan prezentacji. 1. Wprowadzenie 2. Rachunek NK 3. Rachunek LK 4. Twierdzenie zasadnicze Gentzena 5 . Rachunek LJ 6. Tablice Betha 7. Logika liniowa. Wprowadzenie. Systemy Hilberta Pomysł Gentzena MP regułą wtórną
E N D
Rachunki Gentzena Joanna Witoch
Plan prezentacji 1. Wprowadzenie 2. Rachunek NK 3. Rachunek LK 4. Twierdzenie zasadnicze Gentzena 5. Rachunek LJ 6. Tablice Betha 7. Logika liniowa
Wprowadzenie • Systemy Hilberta • Pomysł Gentzena • MP regułą wtórną • Rozstrzygalność logiki intuicjonistycznej • Pojęcie dowodu • Problemy dowodów w logice: jednoznaczność, powtarzalność, odtwarzalność z części • Pomysł stworzenia schematów wnioskowania • Własność podformuły
Podstawowe pojęcia • Alfabet • Stałe zdaniowe • Zmienne zdaniowe p1, p2, p3, … • Spójniki logiczne • Nawiasy ),( • Formuła poprawnie zbudowana • Każda zmienna zdaniowa oraz stała zdaniowa • Jeśli A, B są formułami języka rachunku zdań, to napisy : • Nie ma innych formuł
Podstawowe pojęcia • Stopieniem formuły nazywamy liczbę występujących w niej stałych logicznych. • Główną stałą logiczną formuły nazywamy tę stałą logiczną, która została dołączona jako ostatnia podczas budowania formuły. • Podformułami danej formuły nazywamy te formuły, które mogły występować podczas jej budowania, włączając samą formułę. • Rachunek NJ ma odzwierciedlać rozumowanie naturalne
Intuicja • Figura wnioskowania Figura dowodu
Przykład • Rozumowanie naturalne: B i C są prawdziwe, to jeśli A jest prawdziwe, to również AB jest prawdziwe, a stąd i z tego, że C było prawdziwe, cały następnik implikacji jest prawdziwy; jeśli A jest fałszywe, to w poprzedniku mamy fałsz, a z fałszu można wywnioskować dowolne zdanie, w tym następnik badanej implikacji. Jeżeli B jest fałszywe to BC jest nieprawdą i stąd cały poprzednik jest nieprawdziwy. Ponownie możemy więc wnioskować następnik z fałszu. Podobnie dla fałszywego C. Zatem wyrażenie jest prawdziwe.
Przykład • 1) • 2)
Mieszanie • Modus ponens • Cięcie • Postać modus ponens • Mieszanie
Teza Modus ponens, czyli figura wnioskowania nie spełniająca własności podformuły, a dokładniej jej uogólnienie zwane mieszaniem, jest eliminowalne w rachunkach NJ, LK, LJ – to znaczy, możemy je zastąpić innymi figurami wnioskowania.
Przebieg dowodu • Dowód Gentzena ma 15 stron • Polega na sprawdzeniu wszystkich możliwych przypadków • Stosujemy indukcje matematyczną po stopniu i rzędzie inferencji • Chcemy udowodnić, że każdą inferencję można przekształcić na inferencję bez cięć, o takiej samej konkluzji
Przebieg dowodu • Udowadniamy tezę dla inferencji pewnego stopnia i zakładamy, że zachodzi dla inferencji o stopniu niższym • Najpierw rozważamy rząd 2, następnie formuły o wyższym rzędzie • Sprawdzamy przypadki, kiedy formuła mieszająca pochodzi z różnych figur wnioskowania i pokazujemy, że mieszanie może być przesunięte wyżej w inferencji, aż do aksjomatów
Przykład • Przesunięcie mieszania dla formuły mieszającej pochodzącej stopnia 1 pochodzącej z figur UES i UEA
Konstrukcja i rozstrzygalność • Usunięcie prawa wyłączonego środka • Skutek – tylko 1 formuła w sukcedensie (*) • Rozstrzygalność: • LJ powstaje z LK • LK ma własność podformuły • Żadna formuła nie zawiera w dowodzie innych formuł, prócz swoich podformuł • Zatem zgodnie z procedurą Gentzena dla każdej formuły można znaleźć dowód
Przykład • 1) Jedno z praw de Morgana • 2) Prawo wyłączonego środka
Konstrukcja • Rachunek Betha jest treściowo identyczny z rachunkiem Gentzena • Dowody w tablicach są dowodami nie wprost • Uogólnienia: • 4 zasady: implikacja, alternatywa, negacja, koniunkcja
Przykład dowodu • Tablica Betha • Korespondujący dowód Gentzena
Tezy • Wszystkie figury wnioskowania Gentzena (bez mieszania) są tautologiami (tzn istnieje ich tablicowy dowód Betha) • Tablice Betha korespondują z dowodami Gentzena – z tablicy Betha można odtworzyć dowód gentzenowski
Przykład • Dla figury UES
Wnioski • Systemy Gentzena umożliwiają wprowadzenie wnioskowanie automatycznego – pozwalającego na dowodzenie formuł bez rozumienia ich semantycznej treści • Figura MP jest figurą, która nie zachowuje własności podformuły i przez to uniemożliwia wnioskowanie automatyczne • Tablice Betha umożliwiają odtworzenie dowodu gentzenowskiego
Intuicja • Logiki podstrukturalne • Przykład Girarda • A – wydanie $1 • B – Zakupienie paczki Cameli • C – Zakupienie paczki Malboro
Konstrukcja • Nowe spójniki: • ! * + • Klasyczna logika liniowa powstaje z logiki klasycznej poprzez usunięcie figur osłabienia, skrócenia i wymiany • Intuicjonistyczna logika liniowa powstaje z logiki intuicjonistycznej, analogicznie • Dla klasycznej i intuicjonistycznej logiki liniowej zachodzi Hauptsatz. Dowód przebiega analogicznie
Zalety • Uwzględnia pojęcie zasobu • Formuły mogą być traktowane jako dane • A B – dana jednorazowa, do uzyskania danej typu A albo danej typu B • A*B – para danych • A B – zawiera daną typu A lub typu B (nie wiemy) • A B – sposób zamiany danej typu A na daną typu B • !A – nieograniczona ilość zasobu • Możliwa implementacja komputerowa