等比数列 的前 n 项和

1. 等比数列的前 n 项和

2. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它 的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就 叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公 比通常用字母 q 来表示. • （一）复习： • 1. 等比数列的定义： 2. 等比数列的通项公式： 等比数列的通项公式： a n = a 1 q n –1 .

3. （二）解决关于国际象棋的传说问题： • 也就是求数列： 1，2，4，8，· · · ，263 的和. • S 64 = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 263 . • 两边同时乘以等比数列的公比 2 ， • 2 S 64 = 2 + 4 + 8 + 16 + · · · + 263 +264. • 比较这两个式子： • S 64 = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 263 . ① • 2 S 64 = 2 + 4 + 8 + · · · + 263 + 264. ② • ② - ① 得， • S 64 = 264 –1 . • 264 –1  1.84×1019（粒），假定千粒重为40g，那么麦粒的总重量约为7378.7亿吨，国王是拿不出这么多麦子的.

4. （三）等比数列的前 n 项和公式 • 设有等比数列 • a 1 ，a 2 ，a 3 ，· · · ，a n ，· · · . • 它的公比是 q ，它的前 n 项和为 • S n = a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a n . • 由等比数列的通项公式，上式可以写成： • S n = a 1+ a 1q+ a 1q 2+ · · · + a 1q n –2+ a 1q n –1 ① • 两边同时乘以公比 q， • q S n = a 1q+ a 1q 2+ · · · + a 1q n –2+ a 1q n –1 +a 1q n ② • ① - ② 得， • ( 1 - q ) S n = a 1 – a 1 q n .

5. 因为 a 1 q n = ( a 1 q n-1 ) q = a n q , 所以等比数列的前 n 项和公式还可以写成 当 q = 1 时，S n = n a 1 .

6. 注： （1）当已知 a 1，q，n 时用第一个公式，当已知 a 1，q，a n 时用第二个公式 . （2）如果公比 q 是一个字母，在求和时要对公比是否为 1 进行讨论. （3）要把公式记准，通项公式 a n 中，q 的指数是 n -1，前 n 项和公式 S n 中， q 的指数是 n . （4）可以用等比数列前 n 项和公式解决关于国际象棋的传说问题， 因为 a 1 = 1 ，q = 2 ，n = 64 ，所以，

7. 例 2 某商场第 1 年销售计算机 5000 台，如果 平均每年的销售量比上一年增加 10%，那么从第 1 年起，约几年内可使总销售量达到 30 000台（保留 到个位）？ 分析：根据题意，每年销售量比上一年增加的 百分数相同，所以从第一年起，每年的销售量组成 一个等比数列 { a n }，其中，a 1 = 5000 ，q = 1+10% = 1.1，S n = 30000，代入等比数列求和公式，即可得 关于 n 的一个方程，解方程即可求得 n .

8. 分析：上面括号内的式子均由两项组成 . 其中各 括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求 出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和 .