Cursul - 2 Spatii vectoriale euclidiene

1. Cursul - 2Spatii vectoriale euclidiene Fie V un spaţiu vectorial real.Dacă adăugăm noţiunea de produs scalar, atunci putem defini noţiunile : - lungime a unui vector, - unghiul a doi vectori ortogonalitatea a doi vectori - distanta dintre doi vectori Definiţia 11.Un spaţiu vectorial V pe care s-a definit un produs scalar se numeşte spaţiu vectorial euclidian

2. Teorema 10.Dacă spaţiul vectorial V este un spaţiu vectorial euclidian atunci avem inegalitatea Cauchy-Schwarz: <x, y>2 <x, x>  <y, y> egalitatea având loc dacă şi numai dacă vectorii x şi y sunt liniar dependenţi . (dem) Exemplu.Fie spaţiul aritmetic Rn, x=(x1,x2,...,xn) şi y = (y1, y2,..., yn), doii vectori ,atunci operaţia<x, y> =: x1y1 + x2y2 +...+ xnyn defineşte un produs scalar pe Rn. Teorema 11.Într-un spaţiu vectorial euclidian V funcţia || ||: VR+definită prin este o normă pe V, adică satisface axiomele:a) || x || > 0,  x  0 şi || x || = 0  x = 0b) ||  || = |  |  || x ||,  x  V, Rc) ||x+ y||  ||x|| + ||y|| (inegalitatea triunghiului). Exemplu: In sp. aritmetic Rn defineste o norma(euc.) Folosind iegalitatea lui Couchy – Schwarz obtinem

3. Teorema 12.În spaţiul vectorial normat V, funcţia reală d: VVR+, definită prin d(x, y) = || x – y || este o metrică pe V, adică satisface axiomele: a) d(x, y)  0, d(x, y) = 0  x = y ,  x, y Vb)d(x, y) = d(y, x) ,  x, y Vc) d(x, y)  d(x, z) + d(z, x) ,  x, y, z V. Exemplu: In sp. aritmeticRn defineste o distanta(euclidiana). Definiţia 12.In spaţiul vectorial V vectorii x, y V se numesc ortogonali dacă < x, y > = 0 . Propoziţia 13.Într-un spaţiu vectorial euclidian V orice mulţime ortogonală, formată din elemente nenule, este liniar independentă. Consecinţă.Într-un spaţiu vectorial euclidian n-dimensional Vn, orice mulţime ortogonală formată din n vectori este o bază în Vn. unde - coordonate euclidiene Definiţia 13.Fie x, y  V, doi vectori oarecare.Vectorul , cu y  0 se numeşteproiecţie ortogonalăa vectorului x pe vectorul y, iar numărul pryx = se numeşte mărimea algebrică a proiecţiei ortogonale a lui x pe y . Definiţia 13.FieS  Vo submulţime oarecare a spaţiului euclidianV. Un element y V se zice ortogonal lui S dacă este ortogonal pe fiecare element al lui S, adică <y, x> = 0,  x S şi notăm prin y S.

4. Propoziţia 14.Mulţimea tuturor vectorilor y V ortogonali mulţimii S formează un subspaţiu vectorial notat cu S. În plus, dacă S este un subspaţiu vectorial atunci subspaţiul S se numeşte complementul ortogonal al lui S. Propoziţia 15.Dacă subspaţiul S V este de dimensiune finită, atunci S admite un unic supliment ortogonal S. Consecinţă.Dacă V = S  S şi x = y + y, y S, yS, atunci are loc teorema lui Pitagora, || x ||2 = || y ||2 + || y ||2 Teorema 5.(Gram - Schmidt) Dacă {v1, v2, ..., vn} este o bază în spaţiul vectorial euclidian Vn atunci există o bază ortonormată {e1, e2, ..., en}  V astfel încât sistemele de vectori {v1, v2, ..., vp} şi {e1, e2, ..., ep} generează acelaşi subspaţiu Up V, pentru . Consecinţă.Orice subspaţiu vectorial euclidian admite o bază ortonormată Propoziţia 16.La o schimbare de bază ortonormată B = tAB, într-un spaţiu vectorial euclidian Vn,, transformarea de coordonate este dată de X = AX, unde A este o matrice ortogonală.

5. SPATII AFINE Fie multimea nevida de puncte A = {A, B, C, ..., P, Q, R, ...} . Perechea de puncte (A, B) AA va fi numitabipunctal lui A. Vom spune ca A este originea bipunctului, iar punctul B se va numi extremitatea bipunctului (A, B). Bipunctele (A, B) şi (B, A) se vor numi bipuncte simetrice. Definitia 1.Numim spaţiu afin, tripletul (A, V, ) în care A este o mulţime nevidă de puncte, V un K-spaţiu vectorial şi funcţia : A ×AA , care satisface condiţiile: a1) A, B, C A,  (A, B) +  (B, C) =  (A, C) a2)A există un punct B A, unic determinat de relaţia Avem: • A - mulţime suport • V - spaţiul vectorial director→ Spatiu afin real (complex) K=R(K=C ) •  - funcţia de structură afină→  (A, A)= ,  (A, B) = -  (B,A) Într-un spaţiu afin (A, V, ) funcţia determină o relaţie de echivalenţă pe mulţimea bipunctelor lui A, pe care o vom numi relaţia de echipolenţă. (A, B) ~ (C, D) (A, B) =  (C, D)  A ×A/ ~ ≡ V

6. Spaţiul factor A  A/~ este în corespondenţă bijectivă cu spaţiulvectorial V.Clasa bip. (A,B),va fi numita vector liberConsecinta 1. Funcţia  este surjectivă şi în plus, pentru fiecare punct O A fixat , O:A V , O(A) = (O, A),  A A, este bijectivă.Multimea A° ={O}A = {(O, A)|A A } pote fi identificata cu V A° sipoate fi inzestrata cu o structura de spatiu vectorial. Vectorii acestui spatiu vor fi numiti vectori legati sau vectori tangenti in punctul O laA. Pentru un punct fixat OA, vectorul legatva fi numit vector de pozitie. Dimensiune a sp.afin = dim V = n. Notam cuAn = (A, V, ) . Daca V este un sp.v. euclidian  (A, V, ) – sp.punctual euclidian.Definitia 4. Se numeste reper cartezian intr-un spatiu afin An o pereche R = { O; B }, in careO este un punct fixat inA si este o baza a spatiului vectorial director Vn . In baza B, avem pentru  P A, exprimarea unica Astfel, dat fiind un reper cartezian R = { O; B }in spatiul afin An , oricarui punct P A i se poate asocia in mod unic n-upla (x1,x2,...,xn) , componentele careia se numesc coordonatele carteziene ale punctului P in reperul R = { O; B }

7. Exemple: 10 Spatiul afin standard. Kn = (Kn,Kn,) cu  (A,B)=(b1-a1,...,bn-an) 20Varietatile liniare sunt spatii afine. , V’ < V30 Orice spatiu vectorial este un spatiu afin 40 Spatiul geometric al vectorilor liberi Spatii afine Varietati iniare Spatii vectoriale Sp.v. euclidiene

8. Sptiul geometric al vectorilor liberi Fie E3 spatiul punctual al geometriei euclidiene si V3 spatiul vectorial al vectorilor liberii. Aplicatia : E3E3V3 , (A, B) = satisface proprietăţile : A1)  A, B, CE3, A2) V3, AE3 există un punct BE3 unic determinat de relaţia Definitia 1.TripletulA3 = ( E3, V3, )se numeste spatiul afin al vectorilor liberi. E3 – multimea suport V3 - sp. vectorial director - functia de structura afina( rel. de echipolenta) Fie O  E3 un punct fixat. Aplicaţia o: E3  V3 definită prin 0(A) = (O, A)este bijectivă  E3V3 Vectorul (O, A) = va fi numit vector de pozitie Vectori coliniari , R

9. Vectori coplanari: =  u,v,w – liniar dependentiTeortema 1. Dim V3 = 3 Orice trei vectori necoplanari sunt liniar C1 independenti si orice patru vectori sunt liniari dependenti. X O B1  A1 X1  E3V3 R3 Coordonatele x1 , x2 , x3 ale vectorului xvor fi numitecoordonatele punctului X Definitia 2. Numim reper cartezian in sp. afin al vectorilor liberi ansamblul R (O; e1, e2 ,e3), unde O este un punct fix iar {e1, e2 ,e3} o baza a sp. vectorial V3 .

10. Teorema 2.Funcţia  :V3 V3R, definită prindefineşte un produs scalar pe spaţiul vectorial al vectorilor liberi.Spatiul vectorial V3 este un spatiu vectorial euclidian, iar spatiul afinE3 = ( E3, V3, )va fi numit spatiul punctual euclidian al vectorilor liberi sau pe scurt spatiul geometric al vectorilor liberi.O bază în V3 formată din vesori ortogonali doi câte doi este numită bază ortonormată iar coordonatele unui vector într-o bază ortonormată se numesc coordonate euclidiene. Fie B= {i , j , k}o baza ortonormata in V3 si doi vectori oarecare si atunci ,

11. Produsul vectorial Fie vectorii şiV3. Pentru şi  , notăm cu  [0, ] unghiul dintre şi . Definiţia 3.Se numeşte produs vectorial, operaţia binară internă “”:V3 V3V3 , care asociază perechii ordonate (,) vectorul notat cu  , caracterizat de 1° || || = ||||  ||||  sin  2° este ortogonal pe şi 3° Sensul vectorului este dat de regula mâinii drepte când rotim pe peste sub un unghi ascuţit Proprietati:

12. DacaB = {i, j, k }este o baza ortonormata, iar atunci Doi vectori sunt coliniari  Dublul produs vectorial Produsul mixt Definitia 4.Se numeşte produsul mixt al vectorilor , , ,numărul real dat de

13. Proprietati: .

14. ☻Itemi fundamentali: ►Spatii vectoriale euclidiene ◘ produs scalar ▪ norma ▪ distanta ◘ inegalitatea Cauchy-Schwarz ▪ unghiul a doi vectori ▪ ortogonalitate ◘ baze ortonormate (Procedeul Gramm-Schmidt) ►Spatiu afin bipunct  functia de structura  relatia de echipolenta ►Reper cartezian ►Produse de vectori in spatiul geometric al vectorilor liberi produs scalar; conditia n.s.s. de ortogonalitate a doi vectori nenuli produs vectorial; conditia n.s.s. de coliniaritate a doi vectori nenuli produs mixt; conditia n.s.s. de coplanaritate a trei vectori nenuli