Bewegungsgleichungen lösen im Physikunterricht?

1. Bewegungsgleichungen lösen im Physikunterricht? Franz Embacher franz.embacher@univie.ac.at http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/ Didaktik der Physik und eLearningFakultät für PhysikUniversität Wien 25. November 2008

2. Anfangsdaten • Lösung Das zweite Newtonsche Axiom • „Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung“ • Bewegungsgleichung • „Bewegungs-Differentialgleichung“

3. Beispiele • Kräftefreier Fall:Lösung: • Bewegung im homogenen Schwerefeld: Lösung: • Harmonischer Oszillator: Lösung: • Mathematisches Pendel:( Auslenkungswinkel im Bogemaß)Lösung: nicht geschlossen darstellbar • wobei

4. Problem für den Physikunterricht • Aber: • Methoden der Analysis stehen nicht zur Verfügung. • Wünschenswert ist daher ein Verfahren, das • es ermöglicht, zumindest näherungsweise von einem Kraftgesetz auf den sich daraus ergebenden Bewegungstypus schließen zu können, • im Prinzip von SchülerInnen der Oberstufe (Sek 2) verstanden werden kann, und das • SchülerInnen eigenständiges Operieren (durchaus auch im Sinne spielerisch-experimenteller Erforschung) ermöglicht, • d. h. ein operationaler Zugang!

5. Idee zur näherungsweisen Lösung • Bewegung während eines kurzen Zeitintervalls verfolgen: • Geschwindigkeit • Beschleunigung Im Folgenden muss gerade so klein sein wie in diesen Definitionen!

6. nach dem • Zeitintervall ... • ... Näherung! Näherungsverfahren 1. Schritt • Anfangsort: • Anfangsgeschwindigkeit:

7. nach dem • Zeitintervall ... • ... Näherung! Näherungsverfahren 2. Schritt • Berücksichtigung der Änderung der Geschwindigkeit:

8. Näherungsverfahren • Euler-Cauchy-Verfahren • Iterative Anwendung: • Das Verfahren besitzt aber einen didaktischen Nachteil: • Es ist ungenau!

9. Beispiel • Harmonischer Oszillator:

10. Näherung Verbesserung 1. Schritt •  verbessertes Verfahren benötigt! • Voraussetzung: gleichmäßig beschleunigte Bewegung • Wenn Beschleunigung konstant und Anfangsgeschwindigkeit ,dann wird während des Zeitintervalls die Strecke • zurückgelegt.

11. Verbesserung 2. Schritt • beruht auf der Näherung Beschleunigung = Anfangsbeschleunigung.Da aber bereits berechnet wurde, kann die Näherung zu • Beschleunigung = (Anfangsbeschleunigung + Endbeschleunigung)/2 • verbessert werden:

12. Verbessertes Näherungsverfahren • ... quadratische Entwicklung • ... Heun- Verfahren •  keine erkennbaren numerischen Artefakte mehr! • Die Näherungslösung stimmt mit der exakten Lösung bis zur Ordnung überein. Für die gleichmäßigbeschleunigte Bewegung ist sie exakt.

13. Bezeichnungsweise ... • ... ist kein Dogma!

14. exakte Lösung: Umsetzung mit Tabellenkalkulation • Harmonischer Oszillator: • t x v • 0 1 0 • 0.1 0.995 -0.09975 • 0.2 0.98005 -0.1985025 • ... ... ... • 3.1 -0.999188064 -0.040238232 • 3.2 -0.998215967 0.05963197 • ... ... ... • 6.3 0.999810998 -0.019417108 • Visualisierung der ersten beiden Spalten  Zeit-Weg-Darstellung

15. Visualisierung • Harmonischer Oszillator:

16. Interaktivität ... • ... mit Hilfe von Schiebereglern

17. Perspektiven • Selbständiges Erschließen von Bewegungen aus Kraftgesetzen, vertieftes Verständnis der LogikKraftgesetz + Anfangsdaten  Bewegung • Spielerisch-experimentelles Erforschen • Interessantere Systeme können besprochen werden als normalerweise üblich (z. B. Pendel) • Besseres Verständnis der Bedeutung von Zeit-Weg-Darstellungen, Übersetzung Bewegung  Diagramm • Kombination mit (Real-)Experimenten  Wechselspiel zwischen Beobachtung und Theorie • Grundstock für das spätere Verständnis von Differentialgleichungen bei der Beschreibung dynamischer Systeme • Falls keine Kenntnisse über Tabellenkalkulation vorhanden sind  vorbereitete interaktive Spreadsheets

18. Einstiegs-Szenario • 5. Klasse • Unterrichtseinheit: Das zweite Newtonsche Axiom in der Lesart a = F/m bei gegebener Kraft. Kräfte können vom Ort abhängen. Beispiel: Federkraft. Idee, die Bewegung über kurze Zeitintervalle zu verfolgen, „Herleitung“ des Näherungsverfahrens. • Unterrichtseinheit : Umsetzung mit Tabellenkalkulation, Diskussion der Bewegung, Begriff der Schwingung. • Unterrichtseinheit : Wiederholung der Logik Kraftgesetz + Anfangsdaten  Bewegungsablauf. Die Rolle des zweiten Newtonschen Axioms in der Physik, der Laplacesche Dämon. Was besagt das zweite Newtonsche Axiom für F = 0? „Wiederentdeckung“ des Trägheitssatzes. Aufgaben (ggf. i. R. eines differenzierten Bewertungssystems): Übertragung des Algorithmus auf andere Kraftgesetze, allgemeine Formulierung.

19. Beispiel: Pendel, große Auslenkungen

20. 2D- und 3D-Verallgemeinerung • Keplerproblem (im Ursprung fixierte Zentralmasse): • Bewegung o.B.d.A.in der xy-Ebene

21. Keplerbewegung • Im Himmel und auf der Erde gelten die gleichen physikalischen Grundgesetze! „Universalität“ des zweiten Newtonschen Axioms!

22. Weitere Verallgemeinerungen • Geschwindigkeitsabhängige Kräfte, Reibung • Freier Fall mit Luftwiderstand, Grenzgeschwindigkeit • Gedämpfte Schwingungen • Explizit zeitabhängige („antreibende“) Kräfte • Erzwungene und gedämpfte Schwingungen • Resonanz und Resonanzkatastrophe • Phasenraumdiagramme: (x,p) bzw. (x,v) • Harmonische Schwingungen: Energieerhaltung • Gedämpfte Schwingungen: Energieverlust durch Reibung

23. beachte: Phasenraumdiagramm • Gedämpfte Schwingung:

24. Ausblick • Wunschzettel: • Den hier vorgestellten Zugang imPhysikunterricht erproben. • Die für den hier vorgestelltenZugang nötigen Kompetenzenim Lehramtsstudium vermitteln.

25. Danke... ... für Ihre Aufmerksamkeit! Excel-Spreadsheets zu den besprochenen Beispielen und zu einigen weiteren Anwendungen stehen unterhttp://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Bewgl/zur Verfügung.