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Aulas 9,10

Aulas 9,10. Fábio Nakano. Definições, teoremas e algoritmos. Definição é uma especificação precisa de um objeto. Um teorema é uma afirmação que pode ser provada. Podemos usar o resultado, ou,

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Aulas 9,10

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Presentation Transcript

  1. Aulas 9,10 Fábio Nakano

  2. Definições, teoremas e algoritmos • Definição é uma especificação precisa de um objeto. • Um teorema é uma afirmação que pode ser provada. • Podemos usar o resultado, ou, • Numa demonstração de um teorema, pode-se construir um objeto ou uma solução genérica com a finalidade de demonstrar o teorema. • Então a demonstração é um algoritmo para a construção do objeto ou da solução.

  3. Exemplos • Definição: n!=n*(n-1)! E 0!=1 • Construa um método (iterativo) que calcula n!

  4. Por que preciso saber demonstrar? • Demonstrar é a maneira de ter certeza que algo é verdadeiro ou falso; • Quando argumentamos com alguém, o que procuramos é uma demonstração de que o que defendemos é verdadeiro. • Não há argumento contra uma demonstração formal. • Uma demonstração apresenta um algoritmo para solução do problema.

  5. Técnicas de Demonstração • Prova Direta • Contradição • Indução

  6. Demonstrações Típicas • Prove por contradição que 2 não pertence a Q. • Prove que n<2npara n  N.

  7. 2 não pertence a Q • Suponha por absurdo que 2=m/n, com m e n pertencendo a Z e m/n irredutível. • Elevando ao quadrado temos 2=m2/n2. • Então m2=2*n2. Logo m2 é par, consequentemente, m é par. • Se m é par podemos escrever m como 2*k • Como m2=2*n2 , então, (2*k)2=2*n2. • Então 22*k2=2*n2 • Logo, 2*k2=n2 portanto n também é par • Se m e n são pares, m/n é redutível, o que é uma contradição. • Portanto 2 não pertence a Q.

  8. n<2n para n  N, Prova direta • Chamemos f(n)=n e g(n)=2n . • Note que as duas funções são crescentes. • Considere n=0: f(n)=0 e g(n)=1, logo g(0)>f(0). • A cada incremento de uma unidade sobre n (n é Natural, esse incremento faz n passar por todos os elementos do conjunto N), f(n) cresce de 1 e g(n) dobra. Logo g(n) cresce mais rápido que f(n). • Como inicialmente g(0) é maior que f(0) (note que na sequencia de incrementos, zero é o menor valor), então para todo nN, g(n)>f(n).

  9. Indução matemática • A técnica da indução apresenta uma maneira de resolver problemas através da resolução de problemas menores!! • Mecânica • Mostre que funciona para um n0 pequeno • Suponha por hipótese que vale para um n • Demonstre que se vale para n, vale para n+1 • Por que funciona?? • Base • Hipótese • Passo

  10. Prove por indução que n^2>2n+1 para n>2

  11. Como um teorema melhora nossa vida... • Construa um método que calcula a soma dos n primeiros inteiros (“pela definição”) • Teorema 1: A soma dos n primeiros inteiros, s(n), vale n(n+1)/2 • Construa um método que calcula a soma dos n primeiros inteiros usando o Teorema 1 • Compare as complexidades.

  12. Exemplo suplementarn<2n para n  N, Prova por indução • Base: para algum valor pequeno, mostrar que é verdade: Para n=0, a sentença é 0<1, que é verdadeira. • Hipótese: para algum k, k<2k • Passo: k+1<?2k+1 • Prova: k+1<? 2k+2k • Pela HI, 2k+1? 2k+2k Note que como substituí um valor por outro MAIOR que ele, então posso relaxar a desigualdade . Esta nova desigualdade “tem menos folga”. Se eu conseguir provar esta nova desigualdade, “vô tá bem na fita!” • Cancelando: 1 ? 2k . • Note que 2k é crescente e para k=0, a desigualdade é verdade, então para os k>0, ela vai continuar sendo verdade! Portanto n<2n para n  N.

  13. Pondo tudo em ordem • Base: 20>0 • Por hipótese, 2k>k • Some 1 a ambos os lados: 2k+1>k+1 • É claro que 2k+2k é maior que 2k+1, então podemos substituir 1 por 2k pois não alteramos as desigualdades. • Note que 2k+2k=2k+1 • Logo, 2k+1>k+1.

  14. Recursão • É um conceito em computação. • É relacionado ao conceito de indução pois • É uma forma indutiva de definir programas. • Nesta, um método chama a si mesmo com os parâmetros adequados.

  15. Exemplo • Definição: n!=n*(n-1)! E 0!=1 • Construa um método recursivo que calcula n!

  16. Como se implementa recursão em um computador? • TAD - Pilha • Prog - Pilha de execução • Prog – Chamada de função • Prog - Recursão

  17. Como o método recursivo calcula 4!

  18. Projeto coletivo Quantos grupos já concluiram o projeto?

  19. São aprox. 11 grupos • 1 roda problemas de tamanho até 2000 em intervalos de 10 • 2 rodam problemas de 2000 a 20000 em intervalos de 100 • 3 rodam problemas de 20000 até 40000 em intervalos de 200 • 5 rodam problemas de 40000 até 60000 em intervalos de 500 • Roda por algumas horas (6?), pode (deve) paralelizar

  20. Lista para 15.09 • Prove por indução que 2^n>n^2 defina n0, o valor mínimo para que sua demonstração seja válida. • Dê uma prova direta e uma por indução de que • Apresente os códigos (ou pseudo-códigos) dos métodos que calculam s(n) pela definição (iterativo e recursivo) e usando o resultado do teorema. Qual a complexidade de tempo de cada método? Apresente a simulação da pilha de execução para n=3.

  21. Diga se é verdadeiro e justifique usando a definição da notação O-grande

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