Tehnica Greedy

1. Tehnica Greedy Este o optiune ce tine de specificul problemei cu implicatii asupra complexitatii. Se bazeaza pe statistica datelor de la intrare din care se extrag caracteristici ale datelor=>alegerea strategiei. Strategia Greedy=strategia in care optimul local se considera optim general. Este o strategie constructiva prin adaugarea treptata de solutii locale care construiesc solutia finala.Problema=problemele locale care dau solutii ce se asambleaza in solutia finala. Obs: cand strategia nu duce la o solutie(in cazul neliniaritatilor) Se da o multime A si se cere (B inclus in A) care are criteriile obligatorii si se cer si criteriile de optimalitate neobligatorii.Solutia este de a alege un elem. din A succesiv care maximalizeaza optimalitatea in momentul alegerii lui=>se construieste B prin respectarea criteriilor obligatorii.Solutiile cu ajutorul alg. Dextra.

2. Problemele au urmatoarea structura: - Se da o multime A={a1 a2, …, an} - Se cere sa determinam o submultime B a multimii A, care indeplineste anumite conditii pentru a fi acceptata in calitate de solutie.

3. Analiza Algoritmurilor • Pentru a putea decide care dintre algoritmii ce rezolvă aceeaşi problemă este mai bun, este nevoie să definim un criteriu de apreciere a valorii unui algoritm. In general, acest criteriu se referă la timpul de calcul şi la memoria necesară unui algoritm.

4. Greedy - Backtracking • tehnica Greedy poate fi privită ca un caz particular al tehniciiBacktracking, în care se renunţă la mecanismul de întoarcere; • ambele tehnici oferă soluţii sub formă de vector; • tehnica Backtracking poate oferi toate soluţiile problemei, în timp ce tehnica Greedy oferă o singură soluţie; • tehnica Greedy nu dispune de mecanimul întoarcerii, specific tehnicii Backtracking.

5. Greedy –Metoda trierii • tehnica Greedyconduce mai repede la o solutie. • problemele de tip Greedypot fi rezolvate prin metoda trierii , generînd consecutiv cele 2n submulîimi ale mulţimii A; • Dezavantajul metodei trierii constă în faptul că timpul cerut pentru executarea algoritmului respectiv este foarte mare.

6. De remarcat: • Cel care elaborează un algoritm Greedy, procedînd în modul ales de el, ajunge la rezultatul dorit. • Pentru fiecare problemă în parte, după ce se identifică un algoritm, este obligatoriu să se demonstreze că aceata conduce la soluţia optimă. • Demonstraţia faptul că se ajunge la soluţia optimă este specifică fiecărei probleme în parte. • Tehnica Greedy conduce la timp de calcul polinomial.

7. ·      Pentru a rezolva o problemă cu Greedy, soluţia se construieşte, după regula: Pentru fiecare element care urmeză să fie adăugat soluţiei finale, se efectuează o alegere a sa din elementele mulţimii A (după un mecanism specific fiecărei probleme în parte), iar dacă este posibil, aceasta este adăugat. Algoritmul se termină fie cînd a fost găsită soluţia cerută, fie cînd s-a constatat inexistenţa acesteia. Pentru a evita trierea tuturor submultimilor multimii A în metoda Greedy se utilizează un criteriu (o regulă) care asigură alegerea directă a elementelor necesare. De obicei regulile de selecţie nu sunt indicate în mod explicit în condiţia problemei si totul depinde de ingeniozitatea programatorului.

8. Schema generală a unui algoritm bazat pe metoda Greedy: While ExistaElementedo begin AlegeUnElement(x); IncludeElementul(x) end.

9. NU întotdeauna existăun algoritm de tip Greedy care găseşte soluţia optimă. Există probleme pentru care nu se cunosc astfel de algoritmi. Mai mult, pentru cele mai multe probleme, nu se cunosc algoritmi Greedy.

10. Nu tuturor problemelor li se pot aplica algoritmi de tip Greedy. Pentru problemele pentru care nu se cunosc algoritmicare necesită timp polinomial, se caută soliţii, chiar dacă nu optime, atunci apropiate de acestea, dar care au fost obţinute în timp util. Multe din aceste soliţii sunt obţinute cu Greedy. Astfel de agoritmi se numesc algoritmi euristici.

11. Probleme pentru care Greedy obţine soluţia optimă

12. 1. Suma componentelor prime : Fie a o variabilă indexată, ale cărei componente A(1) , A(2),…, A(n)sunt numere naturale nenule. Să se determine suma componentelor care sunt numere prime. Atunci când un număr prim se repetă, el va fi luat în consideraţie o singură dată. Solutie 2. Problema spectacolelor: Într-o sală într-o zi trebuie planificate n spectacole. Pentru fiecare spectacol se cunoaşte intervalul în care se desfăşoară: (st, sf). Se cere să se planifice un număr maxim de spectacole astfel încît să nu se suprapună. Solutie 3. Memorarea optimala a fisierelor pe benzi Se cere o aranjare optima a n fisiere cu lungimile L1, L2, ... ,Ln pe o banda magnetica in ipoteza ca timpul de citire al unui fisier este proportional cu lungimea sa, iar pe banda citirea fisierului k implica si citirea celor k‑1 fisiere precedente. Presupunem ca frecventa de citire a unui fisier este aceeasi pentru toate fisierele. Aranjarea optima a fisierelor pe o banda magnetica înseamna gasirea acelei dispuneri a fisierelor care sa permita obtinerea unui timp mediu de citire minim. Vom identifica fisierele printr-un numar natural cuprins оntre [1, n], iar lungimea fisierului i prin valoarea Lpi. Solutie 1 2 n Lp1 Lp2...............................Lpn

13. Metoda Greedy are două componente: - stabilirea soluţiei de început; - optimizarea acesteia. Să luăm un exemplu concret , pe baza căruia vom ilustra cum se ‘’construieşte’’ soluţia. Fie secvenţa : 8, 7, 8, 4, 9, 7, 5, 5, 4, 8, 7, 5, 9. Deoarece A (1) este 8, nefiind număr prim se porneşte cu soluţia iniţială S:=0 (dacă A(1) ar fi fost număr prim, am fi pornit cu soluţia s:=A(1)). Apoi valorile lui S vor fi: S:=0 S:=0+7=7 S:=7+5=12 De remarcat caracterul constructiv al soluţiei. Un termen curent (fie acesta A( i )) contribuie la valoarea lui S dacă îndeplineşte două condiţii : - este un număr prim; - n-a mai fost utilizat. Dacă in prealabil ordonăm crescător secvenţa considerată obţinem: 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9 şi astfel se “vede’’ mult mai uşor repetabilitatea unui numar prim( faţă de situaţia iniţială când pentru a constata dacă un număr prim a fost sau nu utilizat trebuie să parcurgem întreaga secvenţă de fiecare dată ).

14. Pe baza afirmaţiilor anterioare rezultă un model de rezolvare pentru problema propusă, model care dă structura generală a metodei Greedy : Citire ( n , A); Ordonare ( n , A ); If A [1] = NumarPrim Then S := A[1] Else S:=0; I := 2; While I  n do begin If (A[ I] <> A(I-1) )and (A [I] =Numarprim ) Then S := S +A [I] I := I+1; End;

15. Fie o planificare optimă a spectacolelor (un număr maxim k de spectacole i1, i2,...,ik unde i1, i2,...,ik{1,2,…N} şi spectacolul ij are loc înaintea spectacolului i j+1). O astfel de planificare îndeplineşte condiţia: spectacolul ij+1 începe după terminarea spectacolului ij. • o consecinţă imediată a condiţiei de mai sus este: spectacolul ij ia sfîrşit înaintea terminării spectacolului ij+1(consecinţa nu implică un efort de gîndire deosebit). • Vom construi o soluţie după următorul algoritm: • P1. Sortăm spectacolele după ora terminării lor; • P2 . Primul spectacol programat este cel care se termină cel mai devreme; • P3. Alegem primul spectacol dintre cele care urmează în şir după ultimului spectacol programat care îndeplineşte condiţia că începe după ce s-a terminat ultimul spectacol programat; • P4. Dacă tentativa de mai sus a eşuat (nu am găsit un astfel de spectacol) algoritmul se termină, astfel se programează spectacolul găsit şi algoritmul se reia de la pasul 3.

16. Lemă. Algoritmul de mai sus conduce la soluţie optimă (număr maxim de spectacole programate). Demonstraţie: Fie s1, s2,...,sl spectacole ordonate ca mai sus şi o soluţie optimă i1, i2,...,ik. Dacă l=k rezultă că soliţia găsită este optimă; Dacă l>k rezultă că soluţia i1, i2,...,ik nu este optimă (se contrazice ipoteza); Dacă l<k procedăm ca mai jos. Presupunem că i1s1. În acest caz putem înlocui i1 (în cadrul soluţiei opime) cu s1 (s1 este primul spectasol care se termină şi dacă ar figura pe altă poziţie în cadrul soluţiei optime, se contrazice ipoteza). În concluzie, soluţia s1, i2,...,ik rămîne optimă. Fie lt primul indice pentru care stit. Soluţia s1, s2,...,st-1 it... este optimă. Înlocuim it cu st. Înlocuirea este posibilă pentru că: St nu figurează în cadrul soluţiei optime între primele t-1 componente; St nu figurează între ultimile poziţii ale soluţiei optime (începînd cu poziţia t+1) pentru că în acest caz înseamnă că st începe după terminarea lei it, caz în care se contrazic modul în care a fost obţinut de algoritm alegerea lui st. Procedînd astfel, la un mment dat soluţia optimă aete de forma: s1, s2,...,sl...ik. Aceasta înseamnă că după sl a mai fost posibil să adăugăm alte spectacole. Se contrazicemodul de obţinere al soluţiei de către algoritm. De aici rezultă k=i şi că algoritmul obţine soluţia optimă.

17. Program SPECT; Type spectacol=array[1..2, 1..10] of integer; ordine=array[1..10] of integer; var s:spectacol; o:ordine; n,i,h1,m1,h2,m2:integer; procedure sortare; var gata:boolean; m,i:integer; begin repeat gata:=true; for I:=1 to n-1 do if s[2,o[i]]>s[2,[I+1]] then begin m:=o[i]; o[i]:=o[I+1]; o[I+1]:=m; gata:=false end until gata; end; begin write(‘n’); readln(n); for I:=1 to n do Begin o[i]:=i; write(‘ora de ]nceput pentru spestacolul’,I,’(hhmm)=’); readln(h1,m1); s[1,i]:=h1*60+m1; write(‘ora de sfrsit pentru spestacolul’,I,’(hhmm)=’); readln(h2,m2); s[2,i]:=h1*60+m2; end; sortare; writeln(‘ordinea spectacolelor este ’); writeln(o[1]); for I:=2 to n do if s[1,o[i]]>=s[2,o[I-1]] then writeln(o[i]); end.

18. Tehnica Greedy conduce la timp de calcul polinomial. Motivul care conduce la acest timp de calcul, tine de mecanismul tehnicii. Să presupunem că mulţimea din care se face alegerea are n elemente si că soluţia are tot n elemente (caz maxim). Se fac n alegeri, la fiecare alegere se fac n teste, rezulta un algoritm cu timp O(n2). De multe ori este necesar ca elementele mulţimii A să fie sortate, pentru ca apoi să alegem din acestea, iar sortarea necesita un timp minim O(n * log2n). Insă sortarea se efectuează la început. Prin urmare, acest timp se adună, deci nu influenţează rezultatul.