Stokes 公式与场论初步 (2)

1. Stokes公式与场论初步(2)

2. 定义1 实函数 的梯度场 • 梯度 的实际意义—— 总是指向在点 处的最大方向导数的方向 二、Stokes公式的向量形式、场论初步 1. 梯度、散度、旋度 • 梯度(Gradient )

3. 表示在该方向上 变化最迅速(最快)。 例如， 表示温度数量场，为了 周围更暖处，必须沿 的方向移动。 从(x, y, z)点处出发，想以最快速度抵达 • 散度(Divergence) 定义2 的散度定义为

4. 向量场 的散度原始定义作 可以证明， 简单地说,散度是单位体积上的发散量的极限，

5. 当散度 正源（Sourse）, 是吸收通量的负源(Sink)，

6. 定义3 向量场 的旋度定义为 • 旋度(RotationorCurl) 简单地说,旋度是个向量，它的物理意义 是场在该向量方向上旋转性的强弱。

7. 向量场 沿空间有向闭曲线 C的 称为 沿闭曲线C 的环量。 2. 旋度与环量，Stokes公式的向量形式 定义4. 线积分

8. 利用环量与旋度(它可以从整体上描述场旋 转的强度)，我们可以用向量的形式重写 Stokes公式。 或

9. 由于Green公式可以看作是 中的 Stokes 这时的 公式，因 因此Green公式仍可 写成向量形式： 左端为沿平面曲线 L 的环(流)量。

10. 向量场 沿选定方向的曲面S的面积分 称为 向曲面指定一侧的通量。 3. 散度与通量，Gauss公式的向量形式 定义5 • 通量在物理学中有多种意义, 如液体流量， 电通量，磁通量等. • 利用通量及散度,我们也可以用向量形式重 写Gauss公式：

11. 或 有关三“度”——梯度、散度、旋度的运 算法则和某些关系公式，略。(需要时请自己去查阅。) 4. 几种场——无旋场、无源场、调和场 • 无旋场

12. (1)若线积分 的值在G内与路径无关， 则称 为保守场, (2)若在G内恒有 ,则称 为 (3)若存在G上的函数 ，使 ,则称 为 有势场，并称 为的势函数. 设向量场 定义6 其中A, B 为G 内任意两点； 无旋场;

13. 设G是单连域， • 是无旋场，即 • 是一保守场，即在G内线积分 定理4 则以下四个命题等价： • 沿G内任意简单闭曲线 C的环量 与路径无关；

14. 是一有势场，即在G内存在 ， • 以下我们只对定理4的2D空间的情况定理 定理 设区域 • 在 内,处处成立 作证明.它可以看作是 Green公式的推论. 则以下四个命题等价：

15. 沿 内沿任一分段光滑简单闭曲线C • 在 内线积分 与路径 • 在 内存在 的线积分 无关(只与始终点有关)； 以下证明.

16. 按 的顺序证. 因在 内,处处成立 其中 C 为 内任一分段光滑简单闭曲线， 区域 ，以 C 为其边界曲线。 证：我们用循环推证法来证明这四个等价命题. 由Green公式，立即有：

17. 设A, B为 中任意两点，以 A为始 点,B为终点的任意连续的属于 的两条 右图两曲线 除A, B两点外 无其它交点,则因 成立， 曲线APB和AQB, 如果象

18. 若如右图两曲线除 A,B 两点外还有其它交点, 则 可从A出发另作一条曲线 弧ARB, 使其与弧 APB和 弧 AQB 均不相交, 从而 于是证得了线积分只与始终点有关，而与 与路径无关.

19. 在 成立的条件下，在 内任取一定点 作始点， 动点 为终点， 仅是终点(上限) 的二元函数。 从而积分值 在与路径无关的条件下，

20. 以下证明,这个 恰满足： 如右图，给 一个改 • 利用偏导数定义 事实上,只需证 变量 , 取M点使

21. 最后一个等号是因为 在 上连续. 应用 积分 中值 定理

22. 因 故 在 可微， 即 (定理 证完) 同理可证： 于是 最后因 即其二阶偏导连续，所以

23. 定理4(及定理 )的重要性在于： • 给出场论中的一个具有实际意义及数学意 义的重要结论，即： 无旋场 保守场 有势场 • 给出了数学上判定保守场的多种方法； • 特别还给出了求势函数的方法：相当于 求某些二元函数的原函数的方法，同时 为解全微分方程提供了一种有效的方法。

24. 所以， 为有势场。 验证向量场 例4 是有势场，并求其势函数. 解 因 • 以下介绍两种求势函数方法。 方法1 在积分与路径无关条件下，选择 特殊路径，用线积分求势函数法.

25. y o x 是 的一个原函数 ( 势函数 )。 此例选积分路径由 即：

26. 要求势函数 先对 式，视 为定数，两边对 积分： 其一般表达式为： 方法2 用偏积分求势函数. 即 亦即

27. 故记作 代入 (c)式 这个积分“常数”当然可能是 y的函数， 将(c)式两端对 y求导, 并与 (b)式比较，得：

28. 点的有向弧段。 上由 点到 例5 计算线积分 其中C为摆线： 解 此例若用第二型曲线积分的基本方法计算是 很难算的， 但由于

29. 的路径 因此积分与路径无关，于是可选一路 径使线积分的计算最简单. 现选沿 x 轴从

30. 例6 求解全微分方程 解1 全微分方程中，当 就称为恰当方程, 这种方程可以用求偏积分 的方法来解，设 则

31. 由 • 得 • 式两边对y求偏导数得 • : 比较,可得 将结果与

32. 故 用线积分的方法求解全微分方程,(求原函 数), 由于是恰当方程,因此线积分与积分 路径无关，故 解2

33. y o x 解3 用凑全微分的方法。 将 改写为： 凑成

34. 于是原方程的通解为 • 以下是一些常出现的凑二元函数全微分的表达式

35. 对于保守场(无旋场),若求得势函数 线积分可以用类似 Newton-Leibniz公式

36. 若向量场 中处处有 则称 为无源场. 设 为二维单连域， 的方法计算： • 无源场 定义7 定理5 则以下四命题是等价的：

37. 是无源场，即在G内恒有 沿G内任一简单闭曲面S的通量为零： 在G内存在向量函数 使 为 称为 的一个 向量场 的旋度场， 穿过 G 内任一向量管的所有截面的通 向量势. 量均相等。

38. 既无源 又无旋 的向量场 称为调和场。 则 无旋 因为 为调和场， 但 又无源， • 调和场 定义8 调和场具有什么特征呢？ 故存在势函数 u, 于是

39. 即 • 这是二阶偏微分方程——著名的 Laplace 关于调和场有结论： 方程， “调和场的势函数必满足Laplace方程.” 《本节内容完》

40. 作业 P. 245-习题6.8 —— (A) N.5(2), 6(2)(3), 7(2), N.12(2), 16(2), 17(2), 18; (B) N.1, 2, 8.