CHAPITRE 5. La théorie de l’assurance

1. CHAPITRE 5.La théorie de l’assurance

2. Objectif du chapitre 5 Ce chapitre présente une application de l’axiomatique de VNM à la demande d’assurance. Nous verrons, le principe de l’assurance par mutualisation des risques, l’assurance et l’aversion pour le risque ainsi que les limites de l’assurance.

3. I- Les mécanismes de l’assurance : Un assureur agit en qualité d’intermédiaire auprès de nombreuses personnes exposées au même risque. L’assureur perçoit une somme appelée prime ou cotisation. Les fonds recueillis servent à constituer une caisse commune permettant d’indemniser les victimes du sinistre.

4. Pour honorer ses engagements l’assureur doit tenir compte de trois éléments essentiels : 1- la fréquence : c-à-d du rapport existant entre les sinistres déclarés et le nombre d’assurés 2- Le coût moyen d’un sinistre : c-à-d le coût obtenu en rapportant le montant total des indemnités au nombre des sinistres. 3- la tendance : c-à-d la mesure de l’évolution d’une année sur l’autre de la fréquence et du coût moyen du sinistre.

5. II- La mutualisation des risques Considérons un individu ayant une richesse initiale w0 comportant un bien d’une valeur h pouvant être détruit avec la probabilité p. La richesse finale de l’agent est donc : Soit :

6. L’équivalent certain est déterminé par : La prime de risque est déterminée par : Donc l’individu sera prêt pour obtenir un contrat de pleine assurance à payer au maximum de :

7. Supposons maintenant que deux individus identiques fassent un « pool ». Trois cas se présentent : 1- soit il n’y a pas de sinistre et la richesse des membres du « pool » reste identique w0. Cet état survient avec la probabilité : 2- soit il n’y a qu’un seul sinistre. Chaque agent devra donc payer la moitié du montant du sinistre (y compris le sinistré). La richesse finale de chaque agent est donc égale à w0 – h/2. Cet état survient avec la probabilité :

8. 3- soit il y a deux sinistres. Chacun des deux agents devra donc payer la moitié du montant total des sinistres. La richesse finale de chaque agent est donc égale à w0 – 2.h/2. Cet état survient avec la probabilité : Donc lorsque les agents font un « pool » leur richesse finale devient :

9. Extension du « pool » Supposons qu’il y ait n agents identiques qui décident de former un « pool ». La richesse finale de chaque agent est :

10. Les caractéristiques du « pool » • Le fait d’intégrer le « pool » : • réduit les probabilités des états extrêmes, • ne modifie pas la richesse moyenne, • réduit la prime de risque, • réduit la variance, • augmente l’utilité.

11. Exemple : Soit deux agents identiques ayant les caractéristiques suivantes : 1- Déterminez dans le cas ou un agent est seul la richesse finale, la richesse moyenne, la prime de risque, la prime maximale de pleine assurance. 2- Même question dans le cas où le « pool » est formé de deux agents.

12. Réponse : 1- La richesse finale est : La richesse moyenne est : La prime de risque est :

13. L’équivalent certain déterminé par : La prime maximale de pleine assurance est :

14. 2- dans le cas du pool avec deux agents : 0 sinistre avec la probabilité : 1 seul sinistre avec la probabilité : 2 sinistres avec la probabilité : La richesse finale est : La richesse moyenne est :

15. La prime de risque est : L’équivalent certain déterminé par : La prime maximale de pleine assurance est :

16. Comparaison entre les deux situations :

17. Les contrats d’assurance : Le contrat de pleine assurance est un contrat où l’intégralité du sinistre est remboursée par l’assurance Le contrat de co-assurance est un contrat ou seulement une part du sinistre est remboursée par l’assurance Le contrat d’assurance avec franchise est un contrat où l’assuré prend à sa charge le sinistre jusqu’à un certain montant fixé. Au delà de ce montant, la différence entre la perte et la franchise est à la charge de l’assurance.

18. Par ailleurs on sait que : D’où : Équivalent certain = Richesse moyenne – Prime de risque

19. Le contrat de pleine assurance : Soit un agent tel que la richesse finale est donnée par : Le degré de satisfaction en l’absence d’assurance est mesuré par :

20. Supposons qu’une compagnie d’assurance propose un contrat de pleine assurance à l’agent. Moyennant le paiement d’une prime d’assurance P l’assurance verse une indemnité I égal au montant du sinistre L. La richesse finale n’est plus risquée. Elle est sûre et certaine.

21. La prime d’assurance P vérifie la relation suivante : Soit : Comme la prime est positive, il faut que la fonction d’utilité soit concave pour que l’inégalité précédente tienne. U’’>0 La prime maximum que l’individu acceptera de payer est telle que :

22. L’indemnité moyenne du sinistre coïncide avec l’espérance mathématique du sinistre quand l’assurance fait jouer la loi des grands nombres. On remarque que :

23. Le contrat de co-assurance : Soit un agent tel que la richesse finale est donnée par : Le degré de satisfaction en l’absence d’assurance est mesuré par :

24. Supposons qu’une compagnie d’assurance propose un contrat de co-assurance à l’agent. Moyennant le paiement d’une prime d’assurance P l’assurance verse une indemnité I égal au montant du sinistre L pondéré par un coefficient b positif mais strictement inférieur à 1 : I=b.L. La prime d’assurance est déterminée par l’espérance de l’indemnité :

25. L’individu choisira le pourcentage b maximisant son espérance d’utilité : En dérivant par rapport à b on obtient :

26. Donc l’individu choisirait toujours un contrat de plein assurance La compagnie d’assurance doit nécessairement appliquer un facteur de chargementl pour que l’individu accepte un contrat de co-assurance pour lequel il acceptera de prendre à sa charge une partie du risque. La prime d’assurance sera alors : A votre avis pourquoi une compagnie d’assurance à intérêt à proposer un contrat de co-assurance ?

27. Dans le cas d’un contrat de co-asurance, la richesse finale est donnée par :

28. Le contrat avec franchise : La décision d’assurance consiste donc à déterminer un montant Dqui correspond au montant en dessous duquel le risque incombe à l’assuré et non à l’assureur. Pour les même raisons que la co-assurance la prime d’assurance P est de la forme :

29. Dans le cas d’un contrat avec franchise, la richesse finale est donnée par : L’individu choisira le montant de la franchise optimale qui maximisera l’espérance de son utilité finale :

30. Exercice : Un propriétaire de chevaux de course possède un cheval acheter 150000€. Sa richesse initiale est de 1 000 000€ et sa fonction d’utilité est logarithmique. La compagnie d’assurance lui propose 2 contrats : Contrat 1- co-assurance avec un coefficient de chargement de 2% Contrat 2- Franchise avec chargement de 2% Pendant la période de préparation, le cheval a une chance sur 1000 d’avoir un accident le rendant inutilisable. 1- Calculez le taux de couverture b du contrat 1- 2- Calculez la franchise D du contrat 2-, concluez ?

31. Réponse : Le risque auquel fait face le propriétaire est : 1- le taux de couverture b est donné par la résolution du programme : Avec : p=1/1000, w0=1 000 000€, L=150 000€, l=0,02

32. Après de nombreux et douloureux calculs que vous ferez ….on obtient : La prime d’assurance est :

33. 2- La franchise optimale est déterminée par : La prime payée est déterminée par :

34. Comparaison des deux contrats : À quelques Euros prés, Le propriétaire devrait être indifférent entre les deux contrats