P( x , y )

1. 一、圓的標準式 1. 圓的意義：平面上與定點(圓心)的距離是定值(半徑)的 所有點所成的圖形稱為圓。 2. 圓的標準式：以 Q(h k)為圓心，r為半徑的圓方程式為 (xh)2 + (yk)2 = r2。 y 證明：若 P(x y)是圓 C上任意一點， P(x, y) r r r r r r r r Q(h, k) r r 因此圓上的點 P(x y)都滿足方程式 r r (xh)2 + (yk)2 = r2。 x O 反之，若點 A(x1  y1)滿足方程式 (xh)2 + (yk)2 = r2。 = r。 即所有滿足方程式的點 A到 Q的距離都等於r。 因此， (xh)2 + (yk)2 = r2即為圓 C的方程式。 本段結束 稱之為圓 C的標準式。

2. 3. 範例：(1) 求圓心為點 (2, 3)，半徑為 4 的圓方程式。 (2) 設圓 C：(x3)2 + (y+1)2 = 1，求與圓 C 有相同的圓心 且面積為圓 C 面積 2 倍的圓方程式。 (x  2)2 + [y  (3)]2 = 42 解：(1) 圓心 (2 3)，半徑 4 (x2)2 + (y+3)2 = 16。 (2) 圓 C：(x3)2 + (y+1)2 = 1的圓心為 (3 1)，半徑為 1， 圓面積為 2倍 故所求圓方程式為 (x3)2 + (y+1)2 = 2。 Let’s do an exercise !

3. 馬上練習：(1) 求圓心為點 (0, 0)，半徑為 1 的圓方程式。 (2) 與圓 C：(x3)2 + y2 = 16 有相同的圓心， 且圓周長為圓 C 一半的圓方程式。 解：(1) 圓心 (0 0)，半徑 1 (x0)2 + (y0)2 = 12 x2 + y2 = 1。 (2) 圓 C：(x3)2 + y2 = 42的圓心為 (3  0)，半徑為 4， 半徑為一半 圓周長為一半 所求圓半徑為 2。 故所求圓方程式為 (x3)2 + y2 = 4。 ＃

4. 4. 範例：設 A(4, 9)，B(6, 3)， 解： B(6, 3) A(4, 9) Q 故所求圓方程式為 (x5)2 + (y6)2 =10。 Let’s do an exercise ! 馬上練習：設 A(2, 3)，B(6, 1)， 解： B(6, 1) A(2, 3) Q 故所求圓方程式為 (x4)2 + (y1)2 = 8。 ＃

5. 5. 點與圓的關係：設點 P(x0 , y0)與圓 C： (xh)2 + (yk)2 = r2， 令圓心為 Q，半徑為r， P (1) 點 P在圓 C內部 P r P (2) 點 P在圓 C上 Q(h, k) (3) 點P在圓 C外部 範例：求以點 Q(2, 3) 為圓心，通過點 P(5, 1) 的圓方程式，並判斷 A(6 0)，B(2 1)，C(0 2) 是在圓內、圓外還是圓上。 解：  圓：(x2)2 + (y+3)2 = 25。 = 5 點 A在圓上。 點 B在圓內。 < 5 > 5 點 C在圓外。 Let’s do an exercise !

6. 馬上練習：設圓 C：x2 + y2 = k， (2) 若 P(1 2) 在圓 C 內部，Q(3 3)在圓 C 外部， 求 k 的範圍。 解： (2) P(1  2)在圓內部 12 + (2)2 < k k> 5。 Q(3  3 )在圓外部 (3)2 + 32 > k k< 18。 故 5 < k< 18。 ＃

7. 6. 範例：自 P(1, 2) 作圓 x2 + y2  4x + 2y  4 = 0 的兩條切線， 得切點 A、B，求 PAB 的外接圓方程式。 令 Q(2  1) 解：x2 + y2  4x + 2y  4 = 0 (x2)2 + (y+1)2 = 9， 因為 PAQ + PBQ = 180 PAQB四點共圓。 A Q P B 即 x2 + y2 3x  y = 0。 Let’s do an exercise ! 注意：若四邊形的對角互補 圓內接四邊形(四點共圓)

8. 馬上練習：自原點 O 作圓 x2 + y2 + 2x  4y + 1 = 0 的兩條切線， 得切點 P、Q，求 OPQ 的外接圓方程式。 解：x2 + y2 + 2x  4y + 1 = 0 (x+1)2 + (y2)2 = 4， 令 C(1 2) 因為 OPC + OQC = 180 OPCQ四點共圓。 P C O Q 即 x2 + y2 + x  2y = 0。 ＃

9. 7. 範例：求過 A(1, 1)，B(2, 2)，且與 x 軸相切的圓方程式。 = 1 解： L r B(2,2) Q 設圓心 Q(x, y) x + y = 3， r A(1,1) x 故所求為 (x2)2 + (y1)2 = 1或 (x+2)2 + (y5)2 = 25。 注意：圓心到切線的垂直距離等於圓的半徑 r。 Let’s do an exercise !

10. 馬上練習：設一圓通過 A(1, 2)，B(3, 4)，且圓心 在直線 L：2x y + 4 = 0上，求此圓的方程式。 = 3 解： M B r Q r A L ＃

11. 8. 地震波：地震發生時會產生兩種波： (1) 縱波(又稱 P 波)：振動方向與傳播方向一致，傳播速度快。 (2) 橫波(又稱 S 波)：振動方向與傳播方向垂直，傳播速度慢。 由於縱波速度比橫波快，因此地震時先感覺到上下振動， 再感覺到左右搖晃。 觀測站所接收到的第一個訊號為縱波，而後才是橫波， 利用兩者的時間差，可估算出觀測站與震央的距離。 To be continued  範 例

12. 範例：設某地震發生時，甲、乙、丙三個測站測得 P 波與 S 波 的時間差分別為 5 秒、10 秒、13 秒， 若此地區的 P 波速率為 6 (公里/秒)，S 波速率為 4 (公里/秒)， (1) 求震央到甲、乙、丙三個測站的距離。 (2) 若坐標平面的 1 單位長為 12 公里，且甲、乙、丙三個測站 在坐標平面上的位置分別為 O(0, 0)，A(3, 12)， B(8, 16)， 求震央在坐標平面上的位置。 解： To be continued  (2)

13. (2) 若坐標平面的 1 單位長為 12 公里，且甲、乙、丙三個測站 在坐標平面上的位置分別為 O(0, 0)，A(3, 12)， B(8, 16)， 求震央在坐標平面上的位置。 解： (2) B(8,16) A(3,12) (3, 4) O(0,0) 故所求為 (3, 4)。 ＃

14. 二、圓的一般式 1. 圓的一般式：將圓的標準式 (xh)2 + (yk)2 = r2 展開得 x2 + y2  2hx  2ky + h2 + k2  r2 = 0， 這是形如 x2 + y2 + dx + ey + f = 0 的方程式，稱之為圓的一般式。 反之，圓的一般式，分別對 x，y配方，也可化成標準式。 配方 即 x2+y2+dx+ey+f=0 (一般式) (xh)2+(yk)2 = (標準式)。 展開 (1) 若 > 0， 則圖形為一圓，圓心為 (h k)， (2) 若 = 0， 則圖形為一點，即點 (h k)。 (3) 若 < 0， 則圖形中沒有點，即圖形不存在。 本段結束

15. 2. 範例：說明下列方程式所代表的圖形。 (1) x2 + y2 2x + 6y + 6 = 0 (2) x2 + y2  2x + 6y + 10 = 0 (3) x2 + y2  2x + 6y + 16 = 0。 解：(1) 利用配方法，得 (x22x+1) + (y2+6y+9) = 6 + 1 + 9， (x1)2 + (y+3)2 = 4， 其圖形為圓心 (1  3)，半徑為 2的圓。 (2) 利用配方法，得 (x22x+1) + (y2+6y+9) = 10 + 1 + 9， (x1)2 + (y+3)2 = 0， 可得 (x  y) = (1  3)，其圖形為一點(1  3)。 (3) 利用配方法，得 (x22x+1) + (y2+6y+9) = 16 + 1 + 9 ， (x1)2 + (y+3)2 = 6， 此方程式沒有實數解，其圖形不存在。 Let’s do an exercise !

16. 馬上練習：試判斷下列方程式所代表的圖形： (1) x2 + y2 4x + 6y  12 = 0 (2) x2 + y2  4x + 6y + 13 = 0 (3) x2 + y2  4x + 6y + 17 = 0。 解：(1) 利用配方法，得 (x24x+4) + (y2+6y+9) = 12 + 4 + 9， (x2)2 + (y+3)2 = 25， 其圖形為圓心 (2 3)，半徑為 5的圓。 (2) 利用配方法，得 (x24x+4) + (y2+6y+9) = 13 + 4 + 9， (x2)2 + (y+3)2 = 0， 可得 (x y)=(2 3)，其圖形為一點 (2 3)。 (3) 利用配方法，得 (x24x+4) + (y2+6y+9) = 17 + 4 + 9， (x2)2 + (y+3)2 = 4， ＃ 此方程式沒有實數解，其圖形不存在。

17. 3. 範例：求通過 A(1, 1)，B(1, 1)，C(2, 1) 三點的圓方程式。 解：設所求的圓方程式為 x2 + y2 + dx + ey + f = 0 則 解得 d = 1，e = 0，f = 3， 故所求為 x2 + y2 + x  3 = 0。 Let’s do an exercise !

18. 馬上練習：設一圓通過 O(0 0)，P(1 1)，Q(4 2) 三點， 求其圓心與半徑。 解：設所求的圓方程式為 x2 + y2 + dx + ey + f = 0 解得 d = 8，e = 6，f = 0 x2 + y2  8x + 6y = 0， 其圓心 (4 , 3)，半徑 5。 即 (x4)2 + (y+3)2 = 25， ＃

19. 4. 範例：已知實數 x，y 滿足 x2 + y2  4x  2y + 4 = 0， 求 x2  (y1)2的最大值。 (x2)2  (y1)2 = 1 解：x2 + y2  4x  2y + 4 = 0 x2  (y1)2即為點(x  y)與 A(0  1)兩點距離的平方。 由右圖可知圓上的點與 A(0  1)的最大距離 y = 3， 故所求最大值為 3 2 = 9。 A(0, 1) 3 Q(2, 1) Let’s do an exercise ! x O

20. 馬上練習：已知實數 x，y 滿足 (x+2)2 (y1)2 = 9， 求 (x+5)2  (y5)2的最小值。 解：(x+2)2  (y1)2 = 32 (x+5)2  (y5)2即為點 (x  y)與 A(5  5)兩點距離的平方。 由右圖可知圓上的點與 A(5  5)的最小距離 A(5  5) = 2， 2 Q(2, 1) 故所求最小值為 2 2 = 4。 ＃

21. 5. 範例：A(0 0)，B(30 0)，若 P(x y) 為平面上動點， 求所有 P 點所成軌跡的方程式。 解： y P x A x2 + y2 = 4[ (x30)2 + y2 ] B  (x  40)2  y2 = 400。 故所有 P點所成的圖形為一圓，圓心 (40 0)，半徑為 20。 Let’s do an exercise !

22. 馬上練習：已知 A(3 0)，B(3 0)，若 P(xy) 為平面上動點， 求所有 P 點所成軌跡的方程式。 y 解： P x A B (x+3)2 + y2 = 2[ (x3)2 + y2 ] (x  9)2  y2 = 72。 故所有 P點所成的圖形為一圓，圓心(9 0)， ＃ To be continued  注 意

23. 注意：阿波羅尼斯圓： 設 A、B 為平面上兩相異點，P為動點， (1) 當 k = 1時， P 所有點 P的圖形為 B A (2) 當 k  1時，所有點 P的圖形為一圓。 例如： k = 2， k = 3， 的情形， 如右圖所示。 P P k=2 P k=3 本段結束 A B

24. 6. 範例：設 A(4, 9)，B(6, 3)， 之 P 點的軌跡方程式。 P(x, y) A(4, 9) 解：設 P(xy)， Q B(6, 3) 整理得 x2 + y2 10x  12y + 51 = 0。 故所求軌跡為一圓：x2 + y2  10x  12y + 51 = 0，其中 P  A、B。 Let’s do an exercise !

25. 馬上練習：設 A(2, 3)，B(5, 1)， 之 P 點的軌跡方程式。 A(2, 3) P(x, y) 解：設 P(xy)， Q B(5, 1) 整理得 x2 + y2 7x  2y + 7 = 0。 故所求軌跡為一圓：x2 + y2  7x  2y + 7 = 0，其中 P  A、B。 ＃

26. 7. 範例：設點 A(2, 0)，求圓 x2 + y2 = 9 中過點 A 的 所有弦中點的軌跡方程式。 解：設 P(x  y)為過點 A的弦之中點， P O A 整理得x2 + y2  2x = 0。 故所求的軌跡圖形為一圓：x2 + y2  2x = 0。 Let’s do an exercise !

27. 馬上練習：已知 A(0, 1) 為圓 (x2)2 + (y1)2 = 16 內部一點， 求過 A 點的所有弦中點的軌跡方程式。 解：設 P(x  y)為過點 A的弦之中點， Q P A 整理得x2 + y2  2x  1 = 0。 故所求的軌跡圖形為一圓：x2 + y2  2x  1 = 0。 ＃

28. 三、直線與圓的關係 1. 直線與圓：設一直線 L：ax+by+c=0 與圓 C：x2+y2+dx+ey+f=0， 令圓心 Q， (1) d(Q, L) <r  L與圓 C 交於兩點(相割)  方程組有兩相異實數解。 (2) d(Q, L) =r  L與圓 C 交於一點(相切) 方程組恰有一實數解。 (3) d(Q, L) >r L與圓 C 不相交(相離) 方程組沒有實數解。 Q Q Q L L L d(Q, L) < r d(Q, L) = r d(Q, L) > r 本段結束

29. 2. 範例：求直線 L：x  y + 1 = 0 與圓 C：x2+ y2 = 5 的交點。 y 解：將 L：y = x + 1代入x2+ y2 = 5， L：xy+1=0 (1, 2) 得 x2+ (x+1)2 = 5， x 解得 x = 1或 2。 O (2, 1) 即直線 L與圓 C和相交 於 (1 2)和 (2 1)兩點。 Let’s do an exercise !

30. 馬上練習：求直線 L：x + y  3 = 0 與圓 C：(x+1)2 + y2 = 8 的交點。 解：將 L：y = 3  x代入 (x+1)2+ y2 = 8， x+y3=0 得 (x+1)2+ (3x)2 = 8， (1, 2) 解得 x = 1。 Q(10) 即直線 L與圓 C和相切於點 (1 2)。 ＃

31. 3. 範例：若 P(3, 5) 為圓 C：x2 + y2  2x + 4y  11 = 0 的弦中點， 求此弦長及弦所在直線方程式。 (x1)2 + (y+2)2 = 16， 解：由 x2 + y2  2x + 4y  11 = 0 得圓心 Q(1, 2)，半徑 r = 4， Q L 4 P 因弦心距必垂直平分弦， 且過 P(3, 5)， 故所求為 2x  3y  21 = 0。 Let’s do an exercise !

32. 馬上練習：若 P(1, 2) 為圓 C：x2 + y2  2x  2y  7 = 0 的弦中點， 求此弦長及弦所在直線方程式。 (x1)2 + (y1)2 = 9， 解：由 x2 + y2  2x  2y  7 = 0 得圓心 Q(1, 1)，半徑r = 3， Q L 3 P = 4。 得所求直線斜率為 2， 因弦心距必垂直平分弦， 故所求為 2x  y + 4 = 0。 且過 P(1, 2)， ＃

33. 4. 範例：試就實數 m 的範圍，討論直線 L：y = mx + 2 與圓 C：x2+ y2 = 1 的相交情形。 解： y A(0 2) (1) 判別式> 0 x 此時圓 C和直線 L相交於兩點。 O (2) 判別式= 0 此時圓 C和直線 L相切於一點。 Let’s do an exercise ! (3) 判別式< 0 此時圓 C和直線 L不相交。 直線 L 恆過點 A(0 2)。 注意：直線 L：y=mx+2 的點斜式為 y2=m(x0)

34. 馬上練習：試就實數 k 的範圍，討論直線 L：y = x  k 與圓 C：x2+ y2 = 2 的相交情形。 解： y y=x+2 (1) 判別式> 0 y=x2 x 此時圓 C和直線 L相交於兩點。 O (2) 判別式= 0 此時圓 C和直線 L相切於一點。 (3) 判別式< 0 此時圓 C和直線 L不相交。 ＃

35. 5. 「圓上」已知點的切線方程式： (圓心到切點的斜率)(切線的斜率) = 1 。 範例：求通過圓 (x1)2 + (y+2)2= 25 上一點 A(4 2) 的切線方程式 解：令圓心 Q(1 2) 3x + 4y = 20 A(4, 2) Q(12) 設切線：3x + 4y = k。 又切線過 A(4 2 ) k = 34+ 42 = 20。 故所求切線為 3x + 4y = 20。 Let’s do an exercise !

36. 馬上練習：求通過 A(1 4) 且與圓 (x2)2 + (y+1)2 = 26 相切的直線方程式。 解：令圓心 Q(2 1) Q(21) =  5 。 A(1, 4) 設切線：x  5y = k。 x  5y + 19 = 0 又切線過 A(1 4 ) =  19。 k = 1 54 故所求切線為 x  5y + 19 = 0。 ＃

37. 6. 範例：直線 L：8x  3y + a = 0 與圓 x2 + y2 + 2x  y + b = 0， 相切於點 P(c 1)，求 a、b、c 。 解： P (3, 1) 8x  3y  27 = 0 c = 3  切點 P(31)。 P(31)代入 L：8x  3y + a = 0， 得 a =  27。 P(31)代入 x2 + y2 + 2x  y + b = 0， 得 b =  17。 故所求 a = 27 ， b = 17 ， c = 3。 ＃

38. 7. 已知切線斜率為 m 的切線方程式： 設切線 y = mx + k， 利用相切 判別式 = 0。 範例：設圓 C：x2 + y2 2y  4 = 0，求斜率為 2 且與圓 C 相切的直線方程式。 y=2x+6 解：設切線 L：y = 2x + k， y=2x4 Q ∵相切 ∴ 判別式 = 0 故所求切線為 y = 2x + 6或 y = 2x  4。 Let’s do an exercise !

39. 馬上練習：設圓 C：x2 + y2 = 5，求斜率為 2 且與圓 C 相切的直線方程式。 解：設切線 L：y = 2x + k， Q y=2x+5 ∵相切 ∴ 判別式 = 0 y=2x5 故所求切線為 y = 2x + 5或 y = 2x  5。 ＃

40. 8. 「圓外」已知點 (x0 , y0) 的切線方程式： 設切線 y  y0 = m(xx0)， 利用相切  判別式 = 0。 範例：(1)求點 P(1 2) 到圓 C：(x4)2 + (y3)2 = 5 的切線段長。 (2)求過點 P(1 2)且圓 C：(x4)2 + (y3)2 =5 相切的直線方程式。 L 解： A P(1, 2) (2) 設切線斜率為 m 切線：y2=m(x1)， Q(4, 3) L ∵相切∴判別式=0 因為切線必過點 (1 2)， 故所求切線為 x + 2y = 5或 2x y = 0。 Let’s do an exercise !

41. 馬上練習：(1) 求點 P(5 15) 到圓 C：x2 + y2 = 25 的切線段長。 (2) 求過點 P(5 15)且與圓 C：x2＋y2＝25 相切的直線方程式。 P(5,15) 解： 15 = 15。 (2) 設切線斜率為 m 切線：y  15 = m(x5)， A 5 O L L ∵相切 ∴ 判別式= 0 又切線必過 (5 15)  一條切線 L的方程式：4x  3y + 25 = 0。 因為 P在圓外，必有兩條切線， 所以另一條切線為過 P(5 15)而無斜率的鉛垂線， 即 x = 5。 ＃ 故所求為 4x  3y + 25 = 0與 x = 5。 注意：當點在圓外且切線斜率只能求出一解時，則另一條切線無斜率(即鉛垂線)。

42. 9. 範例：在坐標平面上 (7 5) 處有一光源， 求將圓 x2 + (y1)2 = 1 投影到 x軸的影長。 P(7,5) 解：設切線斜率為 m 切線：y  5 = m(x7)， L L Q(01) ∵ 相切 ∴ 判別式 = 0 A B y= 0 (x軸) 因為切線必過點 (7 5)，即切線為 5x  12y = 25與 3x  4y = 1， 本 節 結 束

43. 馬上練習：設 m 為實數， y = m(x+3) 在坐標平面上的兩個交點位於不同的象限，而滿足此 條件的 m 之最大範圍為 a < m < b，則 a = ? b = ? (化成最簡分數) <102數甲> 解： 此圓在 x軸上方， 若兩交點位於不同象限， 則必在一、二象限， y 設兩交點為 (x1y1) 、 (x2 y2) y=m(x+3) (x2y2) (x1y1) (2  1) x ＃ O (3  0) To be continued  注 意

44. 注意：若圓與直線 y = m(x+3)兩交點位於不同象限， y 由圖可知： y = m(x+3) (0  5) Q (0  2) (3  0) x O 本 節 結 束