1 / 39

İNTEGRAL

İNTEGRAL. İntegral. Belirsiz İntegral. İntegral Alma Kuralları. İntegral Alma Metotları. İntegralde Trigonometrik Dönüşümler. Belirli İntegral. Belirli İntegralin Uygulamaları. BELİRSİZ İNTEGRAL. Belirsiz İntegral. Belirsiz İntegralin Özellikleri. İntegral Alma Kuralları.

sherri
Download Presentation

İNTEGRAL

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. İNTEGRAL

  2. İntegral Belirsiz İntegral İntegral Alma Kuralları İntegral Alma Metotları İntegralde Trigonometrik Dönüşümler Belirli İntegral Belirli İntegralin Uygulamaları

  3. BELİRSİZ İNTEGRAL Belirsiz İntegral Belirsiz İntegralin Özellikleri İntegral Alma Kuralları

  4. Tanım: f:[a,b]  R , F:[a,b]  R tanımlı iki fonksiyon olsun. Eğer F(x)’in türevi f(x) veya diferansiyeli f(x).dx olan F(x) fonksiyonuna, f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve f(x).dx=F(x)+C biçiminde gösterilir. slayt1 Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Örnek: F(x) = x2  F’(x) = 2x  F’(x).dx=2x.dx F’(x).dx = 2x.dx  F(x)=x2 + C  2x.dx = x2 + C dır.

  5. 1-) Bir belirsiz integralin türevi, integrali alınan fonksiyona eşittir. 2-) Bir belirsiz integralin diferansiyeli, integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir. 3-) Bir fonksiyonunun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyon ile bir C sabitinin toplamına eşittir. slayt2 Belirsiz İntegral Belirsiz İntegralin Özellikleri

  6. slayt3 Belirsiz İntegral İntegral Alma Kuralları

  7. Çözüm1: Çözüm2: slayt4 Belirsiz İntegral Örnek1:  (2x+1).dx belirsiz integralini bulalım. Örnek2: [(2x3-3x)/(x2)].dx belirsiz integralini bulalım.

  8. İNTEGRAL ALMA METOTLARI Yerine Koyma Metodu

  9. İntegral hesaplarında, uygun bir değişken değiştirmesi yapılarak integrali hesaplanacak ifade ilkeli kolaylıkla bulunabilecek bir ifadeye dönüştürülür. 1-) Çözüm: u=cosx diyelim. Her iki tarafın diferansiyelini alalım. du=-sinx.dx  sinx.dx=-du olur. Bu ifadeler integral de yerine konursa, slayt1 İNTEGRAL ALMA METOTLARI Örnek:  cos2x.sinx.dx integralini hesaplayalım.

  10. 2-) Çözüm: (3x-1)=u diyelim. d(3x-1)=d(u)  3.dx=du olur. Bu ifadeler integral de yerine konursa, slayt2 İNTEGRAL ALMA METOTLARI Örnek:  (3x-1)7 integralini hesaplayalım.

  11. 3-) Çözüm: tanx.dx=  (sinx/cosx).dx yazalım: cosx=u diyelim. İki tarafın diferansiyelini alalım. d(cosx)=d(u)  -sinx.dx=du olur. Bunları yerlerine yazalım: slayt3 İNTEGRAL ALMA METOTLARI Örnek:  tanx.dx integralini hesaplayalım.

  12. Örnek: Çözüm: slayt4 İNTEGRAL ALMA METOTLARI

  13. 4-) Çözüm: tanx=u dersek, 3.sec23x.dx=u olur. Bulunan değerleri yerlerine yazalım: slayt5 İNTEGRAL ALMA METOTLARI Örnek:  (2tan3x +1).sec2 x .dx integralini hesaplayalım.

  14. slayt6 İNTEGRAL ALMA METOTLARI

  15. İntegrandında Varsa (a>0) İntegrandında Varsa (|x/a|>0) İntegrandında Varsa (a>0) İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER

  16. İntegrandında Varsa (a>0) Örnek: integralini hesaplayınız. Çözüm: x=3sint dönüşümü yapılırsa; x=3sint  dx=3cost.dt olur. Bulunan değerleri yerine yazalım: slayt1 İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER

  17. Örnek: integralini x>4 için hesaplayınız. Çözüm: x=4sect dönüşümü yapılırsa; dx=3sect.tant.dt olur. Bulunan değerleri yerine yazalım: İntegrandında Varsa (|x/a|>0) slayt2 İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER

  18. Örnek: integralini hesaplayınız. Çözüm: x=2tant dönüşümü yapılırsa; x=2tant  dx=2.sec2t.dt olur. Bulunan değerler integral de yerine yazılırsa; İntegrandında Varsa (a>0) slayt3 İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER

  19. KISMI İNTEGRASYON METODU

  20. Çözüm1: Verilen integralde u=x, dv=cosx.dx seçelim. Bu durumda, du=dx ve v=sinx olur. slayt1 KISMI İNTEGRASYON METODU Örnek1: x.cosx.dx integralini hesaplayalım

  21. Çözüm2: slayt2 KISMI İNTEGRASYON METODU Örnek2: x2.lnx.dx integralini hesaplayalım.

  22. Çözüm3: slayt3 KISMI İNTEGRASYON METODU Örnek3: arctanx.dx integralini hesaplayalım.

  23. BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA

  24. Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm: slayt1 BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA Tanım: Payın derecesi, paydasının derecesinden küçük olan ve paydası çarpanlarına ayrılabilen bir kesrin, önceden hangi kesirlerin toplamı olduğunun bulunması işlemine, basit kesirlere ayırma işlemi denir.

  25. Payın Derecesi, Paydanın Derecesinden Büyük veya Eşit İse (P(x)/Q(x)).dx integralinde, P(x)’in derecesi Q(x)’in derecesinden büyük veya eşit ise; P(x)’in Q(x)’e bölünmesinden elde edilen bölüm B(x) ve kalan K(x) olmak üzere, Paydada <0 olan x2+px+q biçiminde bir ifade varsa; integral, (du/1+u2) şekline dönüştürülerek hesaplanır. slayt2 BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA

  26. Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm: slayt3 BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA

  27. a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere; Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm: slayt4 BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU İLE İNTEGRAL ALMA

  28. TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA sinmx.cosnx.dx (m,n  N) Şeklindeki İntegraller sinax.cosbx.dx, sinax.sinbx.dx ve cosax.cosbx.dx (a,b  N) Şeklindeki İntegraller İntegrandında sinx ve cosx‘in Rasyonel İfadeleri Bulunan İntegraller

  29. sinmx.cosnx.dx (m,n  N) Şeklindeki İntegraller A-) m veya n’den biri tek, biri çift ise; Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm: sin2x.cos3x.dx= sin2x.cos2x.cosx.dx şeklinde yazılır. cos2x=1-sin2x olduğundan, sin2x.(1-sin2x).cosx.dx olur. sinx = u  cosx.dx = du dur. slayt1 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA

  30. Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm: sin3x.cos5x.dx=cos5x.sin2x.sinx.dx=cos5x.(1-cos2x).sinx.dx olur. cosx = u  sinx.dx = -du dur. slayt2 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA B-) m ve n ‘nin ikiside tek kuvvet ise;

  31. Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm: slayt3 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA C-) m ve n ‘nin ikiside çift kuvvet ise;

  32. sinax.cosbx.dx, sinax.sinbx.dx ve cosax.cosbx.dx (a,b  N) Şeklindeki İntegraller Bu tip integraller hesaplanırken ters dönüşüm formülleri kullanılır. Örnek: integralini hesaplayalım Çözüm: slayt4 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA

  33. İntegrandında sinx ve cosx‘in Rasyonel İfadeleri Bulunan İntegraller Bu tip integrallerde, tan(x/2) = u dönüşümü yapılır. Yandaki dik üçgen yardımıyla, u x 2 Örnek: 1 1+u2 Çözüm: slayt5 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN FAYDALANARAK İNTEGRAL ALMA

  34. BELİRLİ İNTEGRAL

  35. Belirli İntegral Tanım: f:[a,b]  R , F:[a,b]  R ve sürekli yada süreksiz olduğu nokta sayısı sonlu tane olan bir fonksiyon ve [a,b] ‘nin bir bölüntüsü P olmak üzere: lim||P||0A(f,P)=lim||P||0Ü(f,P)=S ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığında integrallenebilir bir fonksiyondur, denir. S reel sayısına da f nin [a,b] aralığındaki belirli integrali denir ve bu, slayt1 Belirli İntegral

  36. Teorem1: f:[a,b]  R fonksiyonu, [a,b] aralığında sürekli ve F:[a,b]  R fonksiyonu, ile tanımlanmış olsun. Bu durumda, F(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevlenebilir ve (a,b) için F’(x)=f(x) tir. Örnek1: Çözüm1: slayt2 Belirli İntegral

  37. Örnek2: Fonksiyonu veriliyor. f(x) ‘in grafiğini x=1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? Çözüm2: slayt3 Belirli İntegral

  38. Teorem2: f:[a,b]  R integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Eğer f(x).dx=F(x)+C , C  R olacak biçimde f:[a,b]  R ye F(x) fonksiyonu varsa, dır. Örnek: Çözüm: slayt4 Belirli İntegral

  39. Belirli İntegralin Özellikleri Tanım: f:[a,b]  R fonksiyonu, [a,b] aralığında integrallenebilirse, 1-) 2-) biçiminde tanımlanır. slayt5 Belirli İntegral

More Related